İçeriğe geç

10. sınıf · Matematik · 1. hafta (14-18 Eylül 2026)

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Temel Özdeşlikler

Geometrik Şekiller teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Aynı dar açıya sahip dik üçgenlerde kenar uzunlukları değişse de uygun kenar oranları değişmez. Trigonometri bu ilişkileri kullanır. Önce açıyı ve kenarları belirleyecek, sonra oranlardan ve Pisagor bağıntısından sonuç çıkaracağız.

Önce açıyı ve kenarları belirle

Hipotenüs, dik açının karşısındaki ve dik üçgenin en uzun kenarıdır. Seçilen dar açının karşısında bulunan dik kenar karşı kenar; açıya değen öteki dik kenar komşu kenardır.

Öteki dar açı seçildiğinde karşı ve komşu dik kenarlar yer değiştirir. Hipotenüs ise değişmez. Bu nedenle bir oran yazmadan önce hangi açının kullanıldığını işaretlemek gerekir.

αKomşu dik kenarKarşıdikkenarHipotenüs

Dört trigonometrik oran

0° < α < 90° için sin α = karşı dik kenarhipotenüs, cos α = komşu dik kenarhipotenüs, tan α = karşı dik kenarkomşu dik kenar, cot α = komşu dik kenarkarşı dik kenar. Oranlar aynı birimle ölçülen uzunluklardan oluşturulduğu için birimsizdir.

Bir dar açısı eş olan dik üçgenler benzerdir. Kenarların hepsi aynı katsayıyla büyütülürse bu katsayı pay ve paydada sadeleşir. Böylece açı değişmediği sürece sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değişmez.

Dar açı için dört oran da pozitiftir. Hipotenüs her dik kenardan büyük olduğu için sinüs ve kosinüs 1’den küçüktür. Tanjant ve kotanjant ise 1’den büyük olabilir.

Pisagor bağıntısından özdeşliğe

Karşı dik kenar a, komşu dik kenar b ve hipotenüs c olsun. a² + b² = c² eşitliği c²’ye bölünürse sin α2 + cos α2 = 1 elde edilir. Burada sin²α, sinüs değerinin karesi anlamındadır.

Tanjant ile kotanjantın pay ve paydaları yer değiştirmiştir. Bu yüzden tan α · cot α = 1 olur. Ayrıca tan α = sin αcos α ve cot α = cos αsin α yazılabilir.

Bir dar açının sinüsü biliniyorsa cos²α = 1 − sin²α bulunur. Dar açı koşulu kosinüsün pozitif olmasını gerektirir; karekök alınırken bu koşul kullanılır.

Özdeşliklerin kaynağıPisagor bağıntısıa² + b² = c²c²’ye bölmesin²α + cos²α = 1Ters oranların çarpımıtan α · cot α = 1

Tümler açılar ve özel açılar

Dik üçgenin dar açıları toplamı 90°dir. Bir dar açı α, diğeri β ise karşı ve komşu kenarlar yer değiştirdiğinden sin α = cos β ve tan α = cot β olur.

İkizkenar dik üçgende açılar 45°dir. Dik kenarlar 1 birim seçildiğinde hipotenüs √2 birim olur. Buradan sin45° = cos45° = √22 ve tan45° = cot45° = 1 bulunur.

Bir kenarı 2 birim olan eşkenar üçgenin yüksekliği onu iki dik üçgene ayırır. Oluşan üçgende 30°nin karşısı 1, 60°nin karşısı √3, hipotenüs 2 birimdir. Böylece sin30° = cos60° = 12; cos30° = sin60° = √32; tan30° = cot60° = √33; tan60° = cot30° = √3 olur.

Bir problemi oranla çözmek

Önce durumu bir dik üçgenle modelleyiniz. Bilinen uzunlukları ve aranan uzunluğu seçilen açıya göre adlandırınız. Yalnız gerekli iki kenarı içeren oranı seçip eşitlik kurunuz.

Bir rampanın dikey yükselmesi h, yatay ilerlemesi x ve zeminle yaptığı açı α ise tan α = h/x olur. Rampa boyunca ölçülen uzunluk hipotenüstür; yatay uzaklıkla karıştırılmaz. Eğim yüzdesi 100·h/x biçiminde bulunur.

Sonucu uzunluk birimiyle yazınız. Bulunan hipotenüsün dik kenarlardan büyük olması ve tüm uzunlukların pozitif olması gibi temel kontrolleri yapınız.

Örnekler

  1. Örnek 1Bir dik üçgende α açısının karşısı 7 cm, komşusu 24 cm, hipotenüs 25 cm. Dört oranı bulunuz.

    Cevabı göster

    sin α = 725, cos α = 2425, tan α = 724, cot α = 247. Pay ve payda seçilen açıya göre belirlenir.

  2. Örnek 2Aynı üçgenin bütün kenarları üç katına çıkarılıyor. Sinüs oranı nasıl değişir?

    Cevabı göster

    Değişmez: 2175 = 725. Büyütme katsayısı sadeleşir; dar açı aynı kalır.

  3. Örnek 3α dar açı ve sin α = 817. cos α ile tan α değerlerini bulunuz.

    Cevabı göster

    cos²α = 1 − 64289 = 225289. Dar açıdan cos α = 1517; tan α = 815 olur.

  4. Örnek 4Bir model rampanın zeminle açısı 30°, rampanın uzunluğu 3,6 m. Dikey yükselmesi kaç metredir?

    Cevabı göster

    sin30° = h/3,6 = 1/2 olduğundan h = 1,8 m. Verilen rampa uzunluğu hipotenüstür.

  5. Örnek 5α ve β bir dik üçgenin dar açıları. tan α = 940 ise cot β kaçtır?

    Cevabı göster

    Tümler açılarda tan α = cot β olduğundan sonuç 940 olur. cot α sorulsaydı 409 bulunurdu.

  6. Örnek 6Yatayda 25 m ilerleyen bir yol 3 m yükseliyor. Eğim yüzdesi kaçtır?

    Cevabı göster

    Eğim oranı 3/25; yüzde olarak 100·3/25 = 12’dir. Sonuç %12 olur. 25 m, yolun yatay uzaklığıdır.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Bir dik üçgende θ açısının karşı dik kenarı 20 birim, komşu dik kenarı 21 birim, hipotenüsü 29 birimdir. cos θ kaçtır?

  2. 2Bir öğrenci dar açı için sin α = 0,6 buluyor. cos α değerini hesaplamak için sin²α + cos²α = 1 kullanıyor. Hangi sonuca ulaşır?

  3. 3Bir çizimde rampanın yatay ilerlemesi 14 m, dikey yükselmesi 4 m. Zeminle yaptığı açı β için tan β hangi değerdir?

  4. 4Yargıları değerlendiriniz; açıklamalarla cevabınızı karşılaştırınız.

    • Dar açı değişmeden üçgen büyütülürse sinüs değeri artar.
    • Dar açı için sinüs ve kosinüs değerleri pozitiftir.
    • sin²α ifadesi sinüs değerinin karesidir.
    • Dik üçgende açı değiştiğinde hipotenüs değişir.

  5. 5İlişkili kavram ve açıklamaları eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  6. 6Kelimeleri uygun boşluklara yerleştiriniz. Bir kelime artacak.

    1. Bir dar açı için sin²α + cos²α = olur.
    2. İkizkenar dik üçgendeki dar açılar derecedir.
    3. sin30° değeri ondalık olarak biçiminde yazılır.

  7. 7Bir öğrenci, iki dik kenarı eşit bir dik üçgende sin45° = 1 yazıyor. Hangi iki uzunluğu karıştırmış olabilir?

  8. 8α dar açı ve tan α = 5/12. sin α nasıl bulunur?

Kısaca

  • Oran yazmadan önce dar açıyı ve üç kenarı belirleyiniz.
  • Benzer dik üçgenlerde aynı açıya ait oranlar eşittir.
  • sin²α + cos²α = 1 ve tan α · cot α = 1 olur.
  • Tümler açılarda sinüs-kosinüs ve tanjant-kotanjant eşleşir.
  • Problemlerde yatay uzaklık ile hipotenüsü ayırınız.

Bu dersin öteki kaynakları