İçeriğe geç

12. sınıf · Matematik · 1. hafta (14-18 Eylül 2026)

Üstel Fonksiyon ve Grafiği

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Üssü değişken olan fonksiyonları tanıyacak; tabanın grafiğin artma veya azalma davranışını nasıl etkilediğini inceleyeceksiniz. Üslü ifade kurallarını, değer hesaplamayı ve bire bir–örten olma özelliklerini birlikte kullanacaksınız.

Neden üstel fonksiyon?

Bazı modellerde nicelik eşit zaman aralıklarında aynı miktarda değil, aynı katsayıyla değişir. Örneğin her adımda iki katına çıkan bir modelin değerleri 1, 2, 4, 8, … biçiminde ilerler.

Ders kitabı üstel modellerin nüfus, bakteri çoğalması ve farklı bilim alanlarında kullanılabildiğini belirtir. Modelin gerçek bir duruma uygunluğu, verilen koşullara bağlıdır.

Üslü ifadeleri hatırlayalım

Pozitif a tabanı için am · an = am+n; aᵐaⁿ = am−n; (am)ⁿ = am·n. Aynı tabanlı çarpımda üsler toplanır, bölümde çıkarılır.

a0 = 1 ve a−n = 1aⁿ. Negatif üs sayıyı doğrudan negatif yapmaz; çarpmaya göre tersini verir. Pozitif tabanın gerçek sayı kuvvetleri pozitiftir.

Tanım ve tabanın koşulları

a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere f: ℝ → ℝ⁺, f(x) = ax biçimindeki fonksiyon, bu derste incelenen üstel fonksiyondur. Değişken tabanda değil, üsttedir.

a = 1 seçilirse bütün değerler 1 olur; kitap bu sabit fonksiyonu tanımdaki üstel fonksiyonlar arasında saymaz. Negatif taban ise her gerçek x için gerçek değer vermez.

Değer tablosundan grafiğe

Grafik çizmek için önce bazı x değerleri seçilip f(x) hesaplanır. f(x) = 2x için x = −2, −1, 0, 1, 2 değerlerinin karşılıkları sırasıyla 14, 12, 1, 2, 4 olur.

Grafik y eksenini (0, 1) noktasında keser. Değerler daima pozitif olduğundan x eksenini kesmez. Noktalar tek tek işaretlenir ve fonksiyonun sürekli değişimi gözetilerek grafik çizilir.

Taban grafiği nasıl etkiler?

a > 1 ise f(x) = ax artandır: x büyürken f(x) büyür. 0 < a < 1 ise fonksiyon azalandır: x büyürken f(x) küçülür.

Örneğin 2x artarken 12ˣ azalır. İkisinin de bütün değerleri pozitiftir ve ikisi de (0, 1) noktasından geçer. Azalan olmak, değerlerin negatif olması demek değildir.

Aynı noktadan geçen iki üstel grafik1248xy-3-2-10123y = 2xy = 2−xHer iki grafik de (0, 1) noktasından geçer.

Bire bir ve örten olma

Tanım kümesi ℝ olan bu fonksiyonlarda farklı x değerleri farklı sonuç verir; fonksiyon bire birdir. Grafiğe çizilen bir yatay doğru, grafiği en fazla bir noktada keser.

Görüntü kümesi ℝ⁺’dır. Değer kümesi ℝ⁺ seçildiğinde fonksiyon örtendir. Değer kümesi ℝ seçilirse 0 ve negatif sayılara ulaşılamadığı için örten olmaz.

Örnekler

  1. Örnek 1Bir modelde başlangıç değeri 1, her adımın çarpanı 4’tür. n adım sonraki değer nasıl gösterilir; üçüncü adımda kaç olur?

    Cevabı göster

    Değer 4n ile gösterilir. Üçüncü adımda 43 = 64 olur. Her adımda 4 eklenmez; önceki değer 4 ile çarpılır.

  2. Örnek 254 · 25−1 işleminin sonucu kaçtır?

    Cevabı göster

    25 = 52 olduğundan 25−1 = 5−2. Çarpım 54−2 = 52 = 25 olur.

  3. Örnek 3f(x) = (2k−1)x tanımdaki üstel fonksiyon olsun. k için hangi koşullar gerekir?

    Cevabı göster

    Taban pozitif olmalı: 2k − 1 > 0, yani k > 12. Taban 1 olmamalı: 2k − 1 ≠ 1, yani k ≠ 1. İki koşul birlikte sağlanmalıdır.

  4. Örnek 4f(x) = 4x için f(−1), f(0) ve f(1) değerleri nedir?

    Cevabı göster

    Sırasıyla 14, 1 ve 4’tür. x değerleri arttıkça sonuçlar da artar; negatif girdi negatif sonuç üretmez.

  5. Örnek 5g(x) = 15ˣ için g(−1) ile g(2) değerlerini karşılaştırınız.

    Cevabı göster

    g(−1) = 5; g(2) = 125. Dolayısıyla g(−1) > g(2). Taban 0 ile 1 arasında olduğu için fonksiyon azalandır.

  6. Örnek 6f(x) = 6x fonksiyonunun tanım kümesi ℝ’dir. Değer kümesi ℝ⁺ yerine ℝ seçilirse örtenlik durumu nasıl değişir?

    Cevabı göster

    Görüntü kümesi her iki durumda da ℝ⁺ kalır. ℝ⁺’ya örtendir; ℝ’ye örten değildir, çünkü 0 ve negatif değerler elde edilmez.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Bir grafik (0, 1)’den geçiyor, bütün değerleri pozitif ve x arttıkça değerleri azalıyor. Hangi fonksiyon bu özelliklere uyar?

  2. 2f(x) = (m+2)x bir üstel fonksiyondur. m için doğru koşul hangisidir?

  3. 3f(x) = 3x için f(−2) + f(0) kaçtır?

  4. 4Yargıları değerlendiriniz; açıklamalarla cevabınızı karşılaştırınız.

    • a > 0 ve a ≠ 1 için f(0) = 1’dir.
    • 0 < a < 1 olduğunda üstel fonksiyon negatif değerler alır.
    • f: ℝ → ℝ⁺, f(x) = 7x bire birdir.
    • f: ℝ → ℝ, f(x) = 7x fonksiyonu örtendir.

  5. 5İlişkili kavram ve açıklamaları eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  6. 6Kelimeleri uygun boşluklara yerleştiriniz. Bir kelime artacak.

    1. Üstel fonksiyonda değişken, ifadenin kısmındadır.
    2. a = 1 tabanı tanımdan tutulur.
    3. f: ℝ → ℝ⁺ için görüntü ve değer kümeleri eşit olduğundan fonksiyon olur.

  7. 7Bir öğrenci 2−3 = −8 yazdı. Hangi kuralla hatasını düzeltirsiniz?

  8. 8Bir grafiğin azalan olması ile bire bir olması arasında bu konu için nasıl ilişki kurarsınız?

Bu dersin öteki kaynakları