Kesişen Çemberler Yardımıyla Eşkenar ve İkizkenar Üçgen İnşası
MAT.5.3.5. Düzlemde iki noktada kesişen çember çiftinin merkezleri ve kesişim noktaları arasındaki uzaklık ilişkilerini analiz edebilme · MAT.5.3.6. Pergel ve cetvel kullanarak kesişen çemberler yardımıyla eşkenar ve ikizkenar üçgen modelleri inşa edebilme
- Uzunluğu belirlenmiş bir [AB] doğru parçasının uç noktalarından, pergel açıklığı |AB| kadar ayarlanıp bozulmadan çizilen iki çember yayının kesişimiyle eşkenar üçgen inşa edilir.
- Pergel açıklığı [AB] taban uzunluğunun yarısından (12’sinden) büyük ve tabandan farklı seçilerek eş yarıçaplı iki yay kesiştirildiğinde ikizkenar üçgen elde edilir.
- Yarıçapları toplamı merkezler arası uzaklığa eşit olan iki çember dıştan teğettir (tek noktada değer); yarıçaplar toplamı merkezler arası uzaklıktan küçükse çemberler ayrıktır.
- İki noktada kesişen eş çemberlerin üst (C) ve alt (D) kesişim noktalarını birleştiren doğru parçası, merkezleri birleştiren tabanı tam ortadan dik olarak ikiye böler.
Çemberlerin düzlemdeki konumlarını ve üçgen inşa kavramlarını açıklamalarıyla eşleştiriniz.
Görselde merkezleri P ve R olan iki eş çember birbirinin merkezinden geçmekte ve S noktasında kesişmektedir. PRS üçgeninin çevresi 27 cm olduğuna göre çemberlerden birinin yarıçapı kaç santimetredir?
- A7 cm
- B9 cm
- C12 cm
- D15 cm
Görselde A ve B merkezli 9 cm yarıçaplı iki eş çemberin üstte C, altta D noktasında kesiştiği ve |AB| = 12 cm olduğu verilmiştir. Oluşan ABC ve ABD üçgenlerinin çeşidini ve birinin çevresini yazınız.
Kesişen çemberlerle üçgen inşası hakkındaki ifadelerden doğru olanların D, yanlış olanların Y kutusunu işaretleyiniz.
| D | Y | |
| Birbirinin merkezinden geçen iki eş çemberin merkezleri ve kesişim noktası birleştirilirse eşkenar üçgen oluşur. | ✓ | |
| Uzunluğu 10 cm olan bir tabanın uçlarından 4 cm yarıçaplı iki çember çizilirse çemberler iki noktada kesişir. | ✓ | |
| Yarıçapları 5 cm ve 8 cm olan iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık 13 cm ise bu çemberler dıştan teğettir. | ✓ | |
| İkizkenar üçgen inşasında pergel açıklığı taban uzunluğunun 12’sinden (yarısından) büyük seçilmelidir. | ✓ | |
| Merkezleri arasındaki uzaklık 14 cm olan 4 cm ve 6 cm yarıçaplı iki çemberin iki ortak kesişim noktası vardır. | ✓ |
Cümlelerdeki boşlukları kutudaki uygun sözcüklerle tamamlayınız.
- Taban uzunluğu kadar açılan pergelle iki uçtan yay çizilerek eşkenar üçgen inşa edilir.
- Merkezler arası uzaklık yarıçaplar toplamına eşitse iki çember dıştan teğet olur.
- Merkezler arası uzaklık yarıçaplar toplamından büyük olduğunda çemberler ayrık kalır.
- Eş iki çemberin üst ve alt kesişim noktalarını birleştiren doğru tabanı iki eşit parçaya böler.
Görselde O₁ ve O₂ merkezli iki çember dıştan T noktasında birbirine teğettir. Birinci çemberin yarıçapı 6 cm ve merkezler arası |O₁O₂| uzaklığı 15 cm olduğuna göre ikinci çemberin çapı kaç santimetredir?
- A9 cm
- B18 cm
- C12 cm
- D21 cm
Görseldeki dört inşa kartında [AB] taban uzunluğu ve A ile B merkezlerinden çizilen eş yayların yarıçapları (R) verilmiştir. Hangi karttaki verilerle çemberler kesişmeyeceği için üçgen inşa edilemez?
- A1. Kart (Taban: 6 cm — Eş yaylar: R = 6 cm)
- B2. Kart (Taban: 8 cm — Eş yaylar: R = 7 cm)
- C3. Kart (Taban: 10 cm — Eş yaylar: R = 4 cm)
- D4. Kart (Taban: 6 cm — Eş yaylar: R = 5 cm)
Görselde merkezleri arasındaki uzaklık |AB| = 9 cm olan A merkezli (r₁ = 7 cm) ve B merkezli (r₂ = 7 cm) iki çember C noktasında kesişmektedir. Oluşan ABC üçgeninin çeşidi ve çevresi hangisidir?
- Aİkizkenar üçgen — 23 cm
- BEşkenar üçgen — 21 cm
- CÇeşitkenar üçgen — 23 cm
- Dİkizkenar üçgen — 25 cm
İpuçlarındaki kavramları kutulara yazınız. Numaralı harflerle “merkezden eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kapalı eğri” kavramını bulunuz.
Turuncu kutulardaki harfler yukarıdan aşağıya: ÇEMBER
Görseldeki deneyde uzunluğu 12 cm olan [AB] doğru parçasının uçlarından 5 cm yarıçaplı iki çember çizildiğinde üçgen oluşmadığı görülmüştür. Nedenini açıklayınız.
Görseldeki dört kartta A ve B merkezli iki çemberin yarıçapları ile merkezleri arasındaki uzaklık (d) verilmiştir. Çemberlerin düzlemdeki konumunu ve oluşan ABC üçgeninin çeşidini yazınız.
| Çember Kartı | Çemberlerin Konumu | Oluşan Üçgen / Durum |
|---|---|---|
| 1. Kart (r₁=7, r₂=7, d=7 cm) | İki noktada kesişir | Eşkenar üçgen (21 cm) |
| 2. Kart (r₁=8, r₂=8, d=6 cm) | İki noktada kesişir | İkizkenar üçgen (22 cm) |
| 3. Kart (r₁=5, r₂=6, d=11 cm) | Dıştan teğettir | Üçgen oluşmaz (Tek nokta) |
| 4. Kart (r₁=4, r₂=5, d=12 cm) | Ayrık çemberlerdir | Üçgen oluşmaz (Kesişmez) |
Görselde taban uzunluğu 6 cm ve yan kenarları 8 cm olan ABC ikizkenar üçgenini pergel ve cetvelle inşa etme adımları karışık verilmiştir. Doğru uygulama sırasına göre 1’den 4’e kadar numaralandırınız.
- 3Pergelin açıklığını bozmadan A ve B uçlarından kesişen iki çember yayı çizmek
- 1Cetvel yardımıyla düzlemde 6 cm uzunluğunda bir [AB] taban doğru parçası çizmek
- 2Pergelin açıklığını cetvel üzerinde ölçerek 8 cm olacak biçimde ayarlamak
- 4Yayların kesiştiği C tepe noktasını A ve B köşeleriyle birleştirip ikizkenar üçgeni tamamlamak
Görselde K ve L merkezli iki eş çemberin üst kesişim noktası M, alt kesişim noktası N olarak işaretlenmiş ve [MN] doğru parçası [KL] tabanını H noktasında kesmiştir. Buna göre hangisine ulaşılamaz?
- AKLM üçgeni ile KLN üçgeninin yan kenar uzunlukları birbirine eşittir.
- BH noktası, KL doğru parçasını iki eşit parçaya ayıran orta noktadır.
- CMN doğru parçası ile KL doğru parçası H noktasında dik (90°) kesişir.
- DKM uzunluğu, KL taban uzunluğunun 12’sinden (yarısından) daha küçüktür.