Geometrik Nicelikler (1) — Dikdörtgenler Prizmasının Yüzey Açınımı, Yüzey Alanı, Birim Küplerle Hacim ve Hacim Bağıntısı (MAT.7.4.2, MAT.7.4.3, MAT.7.4.4)
MAT.7.4.2. Dikdörtgenler prizmasının farklı yüzey açınımlarını inceleyerek yüzey açınımı ile yüzey alanı arasındaki ilişkiyi kurar ve yüzey alanını hesaplar. · MAT.7.4.3 / MAT.7.4.4. Dikdörtgenler prizmasının hacmini birim küplerle yorumlar; katman ve sütun stratejisiyle hacim bağıntısını (V = a · b · c) değerlendirir.
- Dikdörtgenler prizmasının 6 yüzü, 12 ayrıtı ve 8 köşesi vardır; yüzey açınımında karşılıklı yüzler ikişer ikişer birbirine eş dikdörtgenlerden oluşur.
- Farklı ayrıtları a, b ve c olan dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı: Alan = 2 · (a·b + a·c + b·c); bir ayrıtı a olan küpün yüzey alanı ise 6 · a² bağıntısıyla bulunur.
- Ayrıtları 1 birim olan küpe birim küp (1 br³) denir; bir prizmanın içini boşluk kalmadan dolduran toplam birim küp sayısı prizmanın birimküp cinsinden hacmini verir.
- Prizmanın ilk katmanındaki birim küp sayısı taban alanını (a · b), katman sayısı yüksekliği (c) verir: Hacim (V) = Taban Alanı × Yükseklik = a · b · c (küpte V = a³).
Sol sütundaki prizma ve hacim kavramlarını sağ sütundaki matematiksel bağıntı veya açıklamalarıyla eşleştiriniz.
Görseldeki hediye kutusu dikdörtgenler prizması biçiminde olup ayrıt uzunlukları 5 cm, 4 cm ve 3 cm’dir. Bu kutunun tüm dış yüzey alanı kaç santimetrekaredir ve hacmi kaç santimetreküptür?
- AYüzey alanı: 94 cm² — Hacmi: 60 cm³
- BYüzey alanı: 47 cm² — Hacmi: 60 cm³
- CYüzey alanı: 94 cm² — Hacmi: 48 cm³
- DYüzey alanı: 120 cm² — Hacmi: 94 cm³
Görseldeki yüzey açınımı verilen dikdörtgenler prizması katlanarak kapatıldığında 1, 2 ve 3 numaralı yüzlerin tam karşısına sırasıyla hangi harfli yüzler gelir?
- A1 ↔ K yüzü, 2 ↔ L yüzü, 3 ↔ M yüzü
- B1 ↔ L yüzü, 2 ↔ M yüzü, 3 ↔ K yüzü
- C1 ↔ M yüzü, 2 ↔ K yüzü, 3 ↔ L yüzü
- D1 ↔ L yüzü, 2 ↔ K yüzü, 3 ↔ M yüzü
Görseldeki dört prizma kartında verilen boyutlara göre her prizmanın taban alanını (1. katmandaki küp sayısı) ve toplam hacmini tabloya yazınız. İlk satır örnektir.
| Prizma Kartı ve Boyutları | Taban Alanı (a · b) | Hacmi (V = a · b · c) |
|---|---|---|
| 1. K Prizması (4 br × 3 br × 2 br) | 12 br² | 24 br³ |
| 2. L Prizması (5 br × 4 br × 3 br) | 20 br² | 60 br³ |
| 3. M Kare Prizması (6 cm × 6 cm × 5 cm) | 36 cm² | 180 cm³ |
| 4. N Küpü (4 cm × 4 cm × 4 cm) | 16 cm² | 64 cm³ |
Dikdörtgenler prizmasının açınımı, yüzey alanı ve hacmiyle ilgili ifadelerden doğru olanlara D, yanlış olanlara Y kutusunu işaretleyiniz.
| D | Y | |
| Dikdörtgenler prizmasının yüzey açınımında karşılıklı yüzler ikişer ikişer birbirine eş dikdörtgenlerdir. | ✓ | |
| Ayrıt uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 6 cm olan bir prizmanın hacmi 3 + 4 + 6 = 13 cm³ olarak hesaplanır. | ✓ | |
| Bir dikdörtgenler prizmasının içini boşluk kalmadan dolduran toplam birim küp sayısı o prizmanın hacmini verir. | ✓ | |
| Tüm yüzey alanı 150 cm² olan bir küpün bir yüzünün alanı 25 cm² ve bir ayrıtının uzunluğu 5 cm’dir. | ✓ | |
| Bir ayrıtının uzunluğu 2 katına çıkarılan bir küpün hacmi de 2 katına çıkar. | ✓ |
Cümlelerdeki boşlukları kutuda verilen uygun matematiksel kavramlarla tamamlayınız.
- Prizmanın ayrıtları boyunca kesilerek düz bir zemin üzerine serilmesine yüzey açınımı denir.
- Üç boyutlu bir cismin uzayda (boşlukta) kapladığı yere o cismin hacmi adı verilir.
- Birim küplerle oluşturulan prizmanın birinci katmanındaki küp sayısı taban alanına eşittir.
- Altı yüzünün tamamı birbirine eş karesel bölgelerden oluşan özel prizmaya küp denir.
Görseldeki şeffaf dikdörtgenler prizması kutunun taban ayrıtlarına 5 br ve 3 br, yüksekliğine ise 4 br sığacak şekilde 11 adet birim küp yerleştirilmiştir. Kutunun tamamen dolması için kaç birim küp daha gerekir?
- A39 birim küp daha gerekir
- B45 birim küp daha gerekir
- C49 birim küp daha gerekir
- D60 birim küp daha gerekir
Görseldeki üstü açık cam akvaryumun taban ayrıtları 8 dm ve 5 dm, yüksekliği 4 dm’dir. Bu akvaryumu üretmek için toplam kaç desimetrekare (dm²) cam kullanılmıştır?
Görseldeki A (6×4×2 br) ve B (4×4×3 br) dikdörtgenler prizmalarının hacimlerini ve yüzey alanlarını karşılaştırarak «Hacimleri eşit olan iki prizmanın yüzey alanları da kesinlikle eşittir.» iddiasını değerlendiriniz.
Görseldeki problem kartında «Tüm yüzey alanı 216 cm² olan bir küpün hacmini bulma» adımları karışık verilmiştir. Çözüm sırasına göre 1’den 4’e kadar numaralandırınız.
- 3Küpün hacim bağıntısı olan V = a · a · a (a³) formülünde a yerine 6 cm yazmak
- 1Küpün 6 eş karesel yüzü olduğu için 216 cm² toplam yüzey alanını 6’ya bölerek bir yüzün alanını 36 cm² bulmak
- 2Alanı 36 cm² olan karesel yüzün bir ayrıt uzunluğunu a = 6 cm olarak belirlemek
- 46 · 6 · 6 çarpma işlemini gerçekleştirerek küpün hacmini 216 cm³ olarak hesaplamak
Görseldeki depolama kolisinin ayrıtları 16 cm, 12 cm ve 8 cm’dir. Bu kolinin önce 34’lük kısmı ayrıtı 2 cm olan küp kutularla dolduruluyor. Buna göre koliye kaç adet küp kutu yerleştirilmiştir?
- A96 adet küp kutu yerleştirilmiştir
- B120 adet küp kutu yerleştirilmiştir
- C192 adet küp kutu yerleştirilmiştir
- D144 adet küp kutu yerleştirilmiştir
İpuçlarındaki kavramları kutulara yazınız. Numaralı harflerle «üç boyutlu bir cismin uzayda kapladığı yer ve birim küp sayısı» kavramını bulunuz.
Turuncu kutulardaki harfler yukarıdan aşağıya: HACİM