İçeriğe geç

7. sınıf · Matematik · 9. hafta (9-13 Kasım 2026)

Dikdörtgenler Prizmasının Yüzey Alanı ve Hacmi: Açınım, Birim Küplerle Hacim Hesabı ve Gerçek Yaşam Problemleri (MAT.7.4.2 & MAT.7.4.3)

Geometrik Nicelikler (1) teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Bir hediye kutusunu kaplamak için ne kadar ambalaj kâğıdı gerektiğini hesaplarken kutunun yüzey alanını; aynı kutunun içine kaç adet eş küp şeker veya koli sığacağını bulurken ise kutunun hacmini kullanırız. Geometrik Nicelikler (1) temamızın bu haftasında dikdörtgenler prizmasının düzlem üzerindeki açınımlarından yararlanarak yüzey alanını hesaplamayı ve birim küpler yardımıyla hacim bağıntısına ulaşmayı öğreneceğiz.

Dikdörtgenler Prizmasının Yüzey Açınımı ve Yüzey Alanı (MAT.7.4.2)

Dikdörtgenler prizmasının 6 yüzü, 12 ayrıtı ve 8 köşesi vardır. Prizmanın yüzeyleri ayrıtları boyunca kesilip düz bir zemin üzerine serildiğinde elde edilen iki boyutlu şekle yüzey açınımı denir. Açınımda karşılıklı yüzler ikişer ikişer birbirine eş dikdörtgenlerden oluşur ve prizma tekrar kapatıldığında bu eş yüzler birbirine paralel ve karşılıklı konumlanır.

Bir dikdörtgenler prizmasının farklı boyutlardaki üç ayrıt uzunluğuna a (boy), b (en) ve c (yükseklik) dersek; alt ve üst tabanların her birinin alanı a · b, ön ve arka yüzlerin her birinin alanı a · c, sağ ve sol yan yüzlerin her birinin alanı ise b · c birimkaredir.

Prizmanın yüzey alanı (tüm alanı), açınımındaki 6 dikdörtgensel bölgenin alanları toplamına eşittir. Her yüzeyden ikişer tane bulunduğu için yüzey alanı bağıntısı: Yüzey Alanı = 2 · (a·b + a·c + b·c) şeklinde ifade edilir. Tüm ayrıtları birbirine eşit (a) olan küpün yüzey alanı ise 6 eş kareden oluştuğu için 6 · a² formülüyle hesaplanır.

DİKDÖRTGENLER PRİZMASININ AÇINIMI VE YÜZEY ALANI Yüzey Açınımı (6 Dikdörtgensel Yüz) Üst (a·b) Sol (b·c) Ön (a·c) Sağ (b·c) Arka (a·c) Alt (a·b) Karşılıklı yüzler ikişer ikişer birbirine eşittir! Yüzey Alanı Bağıntısı • Ayrıt uzunlukları: a (boy), b (en), c (yükseklik) • Alt ve Üst Taban: 2 · (a · b) • Ön ve Arka Yüz: 2 · (a · c) • Sağ ve Sol Yan Yüz: 2 · (b · c) Yüzey Alanı = 2 · (a·b + a·c + b·c)
🔍 Büyütmek için dokunun

Eş Nesneler ve Birim Küplerle Hacim Kavramı (MAT.7.4.3)

Üç boyutlu herhangi bir cismin uzayda (boşlukta) kapladığı yere o cismin hacmi denir. İki dikdörtgenler prizmasının hacimlerini karşılaştırırken içlerinin aynı büyüklükteki eş nesnelerle (arada hiç boşluk kalmayacak ve taşmayacak biçimde) doldurulması temel ölçüttür.

Standart hacim ölçümünde temel birim olarak ayrıt uzunlukları 1 birim olan küp seçilir ve buna birim küp denir. Bir birim küpün hacmi 1 birimküp (1 br3) olarak kabul edilir. Bir dikdörtgenler prizmasının içini tamamen dolduran toplam birim küp sayısı, o prizmanın birimküp cinsinden hacmini verir.

İçi tamamen doldurulmamış, yalnızca taban sırası ve yüksekliği boyunca dizilmiş birim küpleri verilen bir prizmanın toplam hacmini bulmak için prizmanın taban ayrıtlarına kaç birim küp sığdığı ve üst üste kaç katmandan oluştuğu belirlenir.

BİRİM KÜPLERLE DİKDÖRTGENLER PRİZMASININ HACMİ Birim Küp Sayma Stratejisi • Bir cismin boşlukta kapladığı yere hacim denir. • Ölçüt: Ayrıtı 1 birim olan birim küp (1 br³). • 1. Katmandaki küp sayısı = Boy × En (a · b) • Toplam katman sayısı = Yükseklik (c) Prizmanın içi boşluk kalmadan doldurulur! Hacim Bağıntısı (MAT.7.4.4) Örnek Prizma: a = 4 br, b = 3 br, c = 2 br • Tabandaki 1 katmanda: 4 × 3 = 12 birim küp • 2 katmanda toplam: 12 × 2 = 24 birim küp Hacim = Taban Alanı × Yükseklik V = (a · b) · c = a · b · c
🔍 Büyütmek için dokunun

Dikdörtgenler Prizmasının Hacim Bağıntısı (MAT.7.4.4)

Birim küplerle doldurulmuş bir dikdörtgenler prizmasında tabandaki birinci katmanda yer alan birim küp sayısı, tabanın iki ayrıt uzunluğunun çarpımına (a · b), yani Taban Alanına eşittir. Bu katmanlardan üst üste yükseklik (c) kadar dizildiği için toplam birim küp sayısı taban alanı ile yüksekliğin çarpımından bulunur.

Buna göre ayrıt uzunlukları a, b ve c olan dikdörtgenler prizmasının hacim bağıntısı: Hacim (V) = Taban Alanı × Yükseklik = (a · b) · c = a · b · c şeklindedir. Bir prizmanın farklı üç ayrıt uzunluğunu birbiriyle çarptığımızda doğrudan hacmini elde ederiz.

Özel prizmalarda da aynı kural geçerlidir: Taban ayrıtı a, yüksekliği c olan kare prizmanın hacmi V = a² · c olur. Tüm ayrıtları birbirine eşit (a) olan küpün hacmi ise üç ayrıtının çarpımından V = a · a · a = a3 bağıntısıyla hesaplanır.

ÖZEL PRİZMALAR: KARE PRİZMA VE KÜPÜN ALAN / HACİM ÖZETİ Kare Prizma (Taban: a × a, Yükseklik: c) • Alt ve üst tabanı birbirine eş iki karedir. • Yan yüzleri birbirine eş 4 dikdörtgendir. • Yüzey Alanı = 2·a² + 4·(a·c) • Hacmi (V) = a · a · c = a² · c Dikdörtgenler prizmasının özel halidir. Küp (Tüm Ayrıtları Eşit: a × a × a) • 6 yüzünün tamamı birbirine eş karedir. • Bir yüzünün alanı = a · a = a² • Yüzey Alanı = 6 · a² • Hacmi (V) = a · a · a = a³ 12 eş ayrıtı ve 8 köşesi vardır.
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Ayrıt uzunlukları 6 cm, 4 cm ve 5 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının yüzey alanını ve hacmini hesaplayınız.

    Cevabı göster

    Yüzey Alanı = 2 · (a·b + a·c + b·c) = 2 · (6·4 + 6·5 + 4·5) = 2 · (24 + 30 + 20) = 2 · 74 = 148 cm² bulunur. Hacmi ise V = a · b · c = 6 · 4 · 5 = 120 cm³ olur.

  2. Örnek 2Bir ayrıtının uzunluğu 5 birim olan bir küpün tüm yüzey alanı kaç birimkaredir ve hacmi kaç birimküptür?

    Cevabı göster

    Küpün 6 eş karesel yüzü vardır: Yüzey Alanı = 6 · a² = 6 · 5² = 6 · 25 = 150 br². Küpün hacmi ise V = a³ = 5 · 5 · 5 = 125 br³ olarak bulunur.

  3. Örnek 3Taban ayrıtlarından biri 4 br, diğeri 5 br ve yüksekliği 3 br olan dikdörtgenler prizmasının içinde halihazırda 14 adet birim küp bulunmaktadır. Bu prizmanın tamamen dolması için kaç adet birim küpe daha ihtiyaç vardır?

    Cevabı göster

    Prizmanın toplam hacmi (alabileceği toplam birim küp sayısı): V = 4 · 5 · 3 = 60 birim küptür. İçinde 14 birim küp bulunduğuna göre tamamen dolması için 60 - 14 = 46 adet birim küpe daha ihtiyaç vardır.

  4. Örnek 4Taban ayrıtı 6 cm olan kare prizma biçimindeki bir kutunun hacmi 288 cm³ olduğuna göre bu kutunun yüksekliği kaç cm'dir?

    Cevabı göster

    Kare prizmanın taban alanı = 6 · 6 = 36 cm²'dir. Hacim = Taban Alanı × Yükseklik bağıntısından 288 = 36 · c olur. Buradan yükseklik c = 288 ÷ 36 = 8 cm bulunur.

  5. Örnek 5Boyutları 10 m, 6 m ve derinliği 2 m olan dikdörtgenler prizması şeklindeki üstü açık bir yüzme havuzunun tabanı ve yan duvarları fayansla kaplanacaktır. Kaç metrekare fayans gerekir?

    Cevabı göster

    Havuzun üstü açık olduğu için 1 taban ve 4 yan yüz vardır. Taban alanı = 10 · 6 = 60 m². Karşılıklı uzun yan duvarlar = 2 · (10 · 2) = 40 m². Karşılıklı kısa yan duvarlar = 2 · (6 · 2) = 24 m². Toplam kaplanacak alan = 60 + 40 + 24 = 124 m² olur.

  6. Örnek 6Ayrıt uzunlukları 12 cm, 15 cm ve 9 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kolinin içine ayrıtı 3 cm olan küp şeklindeki kutulardan en fazla kaç tane yerleştirilebilir?

    Cevabı göster

    Kolinin ayrıtları 3 cm'ye tam bölünmektedir (12÷3 = 4, 15÷3 = 5, 9÷3 = 3). Dolayısıyla sığacak kutu sayısı: (12 · 15 · 9) ÷ (3 · 3 · 3) = 4 · 5 · 3 = 60 adet kutudur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Farklı ayrıtlarının uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 8 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının tüm yüzey alanı kaç santimetrekaredir?

  2. 2Birim küplerle oluşturulacak bir dikdörtgenler prizmasının tabanında 6 sıra ve her sırada 5 birim küp yer almaktadır. Prizma 4 katmandan oluştuğuna göre hacmi kaç birimküptür?

  3. 3Tüm yüzey alanı 96 cm² olan bir küpün hacmi kaç santimetreküptür?

  4. 4Hacmi 180 cm³ olan bir dikdörtgenler prizmasının taban ayrıtları 5 cm ve 6 cm olduğuna göre yüksekliği kaç santimetredir?

  5. 5Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Dikdörtgenler prizmasının yüzey açınımında karşılıklı yüzler ikişer ikişer birbirine eş dikdörtgenlerdir.
    • Ayrıt uzunlukları 2 br, 3 br ve 5 br olan bir prizmanın hacmi 2 + 3 + 5 = 10 birimküptür.
    • Bir dikdörtgenler prizmasının içine boşluk kalmayacak biçimde yerleştirilen toplam birim küp sayısı prizmanın hacmini verir.
    • Bir ayrıtı 3 cm olan küpün hacmi ile tüm yüzey alanının sayısal değerleri birbirine eşittir.
    • Dikdörtgenler prizmasının hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

  6. 6Aşağıdaki geometrik kavram ve prizmaları karşılık gelen alan veya hacim ifadeleriyle eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun matematiksel kavramlarla tamamlayınız.

    1. Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları boyunca kesilip düzlem üzerine serilmesine yüzey denir.
    2. Üç boyutlu bir cismin boşlukta kapladığı yere o cismin adı verilir.
    3. Dikdörtgenler prizmasının toplam adet dikdörtgensel yüzeyi ve on iki ayrıtı vardır.
    4. Prizmanın ilk katmanındaki birim küp sayısı prizmanın alanına eşittir.
    5. Tüm ayrıt uzunlukları birbirine eşit olan ve yüzleri eş karelerden oluşan özel prizmaya denir.

  8. 8Bir dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı ile hacmi arasındaki kavramsal farkı günlük yaşamdan bir kutu örneği üzerinden açıklayınız ve ayrıtları 4 cm, 5 cm, 6 cm olan kutunun hem yüzey alanını hem hacmini bulunuz.

Kısaca

  • Yüzey Açınımı: Dikdörtgenler prizmasının 6 yüzünün düzlemde açılmasıdır; karşılıklı yüzler ikişer ikişer birbirine eş dikdörtgenlerdir.
  • Yüzey Alanı Bağıntısı: Ayrıtları a, b, c olan dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı = 2 · (a·b + a·c + b·c); küpün yüzey alanı = 6 · a².
  • Birim Küplerle Hacim: Cismin boşlukta kapladığı yere hacim denir; prizmanın içini boşluksuz dolduran toplam birim küp sayısı (1 br³) prizmanın hacmidir.
  • Hacim Bağıntısı: Dikdörtgenler prizmasının hacmi V = Taban Alanı × Yükseklik = a · b · c; kare prizmanın hacmi V = a² · c; küpün hacmi V = a³.
  • Problem İpuçları: Üstü açık kutularda 5 yüzün alanı toplanır; eksik birim küp sorularında toplam hacimden (a·b·c) mevcut küp sayısı çıkarılır.

Bu dersin öteki kaynakları