Sayı Kümeleri ve İşlem Özellikleri
Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar ve gerçek sayılar kümelerinin temel özelliklerine (sıralama, arada olma ve işlem özellikleri) ilişkin varsayımlarda bulunur. · Farklı sayı kümelerinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin kapalılık, değişme, birleşme, etkisiz eleman, ters eleman ve dağılma özelliklerini inceler. · Sayı kümelerinde elde ettiği örüntülerden genellemeler yapar ve varsayımların doğruluğunu cebirsel muhakeme veya karşı örnek yardımıyla değerlendirir.
- Alt küme ilişkisi: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ve ℚ ∪ ℚ' = ℝ, ℚ ∩ ℚ' = ∅.
- Gerçek sayılarda toplamada birim eleman 0, ters eleman -a; çarpmada birim eleman 1, yutan eleman 0, ters eleman 1a'dır.
- ℚ ve ℝ kümelerinde iki farklı sayı arasında sonsuz sayı bulunur (yoğunluk / arada olma özelliği).
Gerçek sayılar kümesindeki cebirsel eşitlikleri işlem özellikleriyle eşleştiriniz.
Gerçek sayılarda x = -35 sayısının toplamaya göre tersi A, çarpmaya göre tersi B ise A · B ve A + B kaçtır?
İpuçlarına karşılık gelen kavramları yazarak anahtar kelimeyi bulunuz.
Turuncu kutulardaki harfler yukarıdan aşağıya: RBTY
Görseldeki kapalılık tablosuna göre sayı kümelerinin dört işleme göre kapalılık özelliğiyle ilgili hangisi yanlıştır?
- Aİrrasyonel sayılar kümesi (ℚ') toplama ve çarpmaya göre kapalıdır
- BDoğal sayılar kümesi (ℕ) toplama ve çarpmaya göre kapalıdır
- CTam sayılar kümesi (ℤ) çıkarma işlemine göre kapalıdır
- DGerçek sayılar kümesi (ℝ) toplamaya ve çarpmaya göre kapalıdır
Sayı kümeleri ve işlem özellikleriyle ilgili ifadelerden doğru olanlara D, yanlış olanlara Y yazınız.
| D | Y | |
| Gerçek sayılar kümesinde 0 sayısının çarpma işlemine göre tersi yoktur. | ✓ | |
| Doğal sayılar kümesi (ℕ) çıkarma işlemine göre kapalı bir kümedir. | ✓ | |
| Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı daima irrasyoneldir. | ✓ | |
| Tam sayılar kümesinde (ℤ) ardışık iki tam sayı arasında sonsuz tam sayı vardır. | ✓ |
"Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir." iddiasını çürüten karşı örneği yazınız.
Verilen gerçek sayıları ait oldukları en dar sayı kümesi ve rasyonel/irrasyonel olma durumuna göre tamamlayınız.
| Verilen Sayı | Değeri / Özelliği | Ait Olduğu Küme Grubu |
|---|---|---|
| 6 (Tam kare kök) | Doğal (ℕ), Tam (ℤ) ve Rasyonel (ℚ) | |
| -9 | Negatif tam değer | Tam (ℤ), Rasyonel (ℚ) ve Gerçek (ℝ) |
| 712 | İki tam sayının oranı | Rasyonel (ℚ) ve Gerçek (ℝ) |
| Kök dışına tam çıkamaz | İrrasyonel (ℚ') ve Gerçek (ℝ) |
Görseldeki yoğunluk (arada olma) şemasına göre rasyonel (ℚ) ve gerçek (ℝ) sayılarla ilgili hangisi her zaman doğrudur?
- Aİki farklı rasyonel sayı arasında sonsuz rasyonel sayı vardır
- BRasyonel ve irrasyonel sayıların kesişimi gerçek sayıları verir
- CHer gerçek sayının çarpmaya göre tersi bir tam sayıdır
- Dİki irrasyonel sayının çarpımı her zaman irrasyonel sayıdır
Sayı kümelerini yapısal tanımlarıyla eşleştiriniz.
Görseldeki sayı kümelerinde matematiksel muhakeme ve genelleme adımlarını sıraya diziniz.
- 4Doğrulanan varsayımı gerekli koşullarıyla genel kural olarak yazma
- 1Sayı kümelerindeki işlem örüntülerini inceleyerek örnekler oluşturma
- 3Varsayımı cebirsel ispatla veya karşı örnek arayarak test etme
- 2Örüntüden hareketle matematiksel bir varsayım (iddia) kurma
Cümlelerdeki boşlukları kutudaki matematiksel kavramlarla tamamlayınız.
- İki gerçek sayı arasında sonsuz gerçek sayı bulunmasına yoğunluk özelliği denir.
- Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanı 0'dır.
- Bir iddianın yanlışlığını kanıtlayan tek bir geçersizlik örneğine karşı örnek denir.
Ters eleman ve sıralama özellikleriyle ilgili ifadelerden doğru olanlara D, yanlış olanlara Y yazınız.
| D | Y | |
| Tam sayılar kümesinde (ℤ) çarpmaya göre tersi yine tam sayı olan yalnız 1 ve -1 vardır. | ✓ | |
| Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirir. | ✓ | |
| Devirli ondalık gösterimler (0,333... gibi) irrasyonel sayıdır. | ✓ | |
| Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir. | ✓ |