Gerçek Sayıların İşlem Özelliklerini Cebirsel Olarak İfade Etme
Gerçek sayıların toplama ve çarpma işlemlerine ait cebirsel özellikleri (kapalılık, değişme, birleşme, birim, ters, dağılma) ifade eder. · Sayısal işlemler ile cebirsel özdeşlikler (tam kare ve iki kare farkı) arasında analojik akıl yürütme yapar. · Gerçek sayıların sıralama (eşitsizlik) özelliklerini cebirsel olarak inceler ve sıfır çarpan özelliğini uygular.
- Toplamada birim eleman 0, ters eleman -a; çarpmada birim eleman 1, yutan eleman 0, ters eleman 1a (a ≠ 0).
- Tam kare: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, (a-b)2 = a2 - 2ab + b2; İki kare farkı: a2 - b2 = (a - b)·(a + b).
- Sıfır çarpan özelliği: a·b = 0 ⇔ a = 0 veya b = 0; Eşitsizlik negatif sayıyla çarpılır/bölünürse yön değiştirir.
Cebirsel özdeşlikleri ve gerçek sayı özelliklerini karşılıklarıyla eşleştiriniz.
Gerçek sayıların cebirsel ve sıralama özellikleriyle ilgili ifadelerden doğru olanlara D, yanlış olanlara Y yazınız.
| D | Y | |
| Gerçek sayılarda toplamada birim eleman 0, çarpmada birim eleman 1'dir. | ✓ | |
| Sıfırdan farklı her a ve b gerçek sayısı için (a + b)2 = a2 + b2 eşitliği doğrudur. | ✓ | |
| Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirir. | ✓ | |
| Karesi kendisinden küçük olan (x2 < x) gerçek sayılar 0 ile 1 arasındadır (0 < x < 1). | ✓ |
Görseldeki tam kare özdeşliğine göre x + y = 8 ve x2 + y2 = 40 olduğuna göre x · y çarpımı kaçtır?
- A8
- B12
- C16
- D24
İki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak 20262 - 202424 işleminin sonucunu bulunuz.
Sayısal işlemler ile cebirsel özdeşlikler arasındaki analojik akıl yürütme tablosunu tamamlayınız.
| Sayısal İşlem | Cebirsel Modelleme (Özdeşlik) | Hesaplanan Sonuç |
|---|---|---|
| 1032 = (100 + 3)2 | 1002 + 2·100·3 + 32 | 10000 + 600 + 9 = 10609 |
| 982 = (100 - 2)2 | 1002 - 2·100·2 + 22 | 10000 - 400 + 4 = 9604 |
| 97 · 103 = (100 - 3)·(100 + 3) | 1002 - 32 (İki kare farkı) | 10000 - 9 = 9991 |
| 17 · 99 = 17 · (100 - 1) | 17·100 - 17·1 (Dağılma özelliği) | 1700 - 17 = 1683 |
Görseldeki gruplandırma ve sıfır çarpan yöntemiyle x2 - 3x - xy + 3y = 0 denklemini çözme adımlarını sıralayınız.
- 2Her iki terimde ortak olan (x - 3) parantezine alarak ifadeyi çarpım biçimine dönüştürme: (x - 3)·(x - y) = 0
- 4Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek x = 3 veya x = y çözüm bağıntılarını elde etme
- 1Terimleri ikişerli gruplandırarak ilk grubu x, ikinci grubu -y ortak çarpan parantezine alma: x(x - 3) - y(x - 3) = 0
- 3Gerçek sayıların sıfır çarpan özelliğini (a·b = 0 ⇔ a = 0 veya b = 0) çarpanlara uygulama
Cümlelerdeki boşlukları uygun matematik kavramlarıyla tamamlayınız.
- Cebirsel ifadelerde ortak çarpan parantezine alma, dağılma özelliğinin ters yönüdür.
- Bilinmeyenlerin her gerçek sayı değeri için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.
- a < b ve b < c iken a < c olması sıralama bağıntısının geçişme özelliğidir.
İpuçlarına karşılık gelen kavramları yazarak anahtar kelimeyi bulunuz.
Turuncu kutulardaki harfler yukarıdan aşağıya: KARE
Görseldeki eşitsizlik kurallarına göre a < b < 0 olmak üzere aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- Aa · b < 0
- Ba + b > 0
- Ca2 < b2
- Da · b > b2
Cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayrılmış biçimleriyle eşleştiriniz.
Ters eleman, özdeşlik ve denklemlerle ilgili ifadelerden doğru olanlara D, yanlış olanlara Y yazınız.
| D | Y | |
| (2x - 6) sayısının çarpmaya göre tersi tanımsız ise 2x - 6 = 0 olup x = 3'tür. | ✓ | |
| 995 · 1005 çarpımı iki kare farkı özdeşliğiyle 10002 - 52 biçiminde yazılır. | ✓ | |
| x2 = 5x denkleminde sadece x = 5 kökü vardır, x = 0 denklemi sağlamaz. | ✓ | |
| a < 0 < b iken a ile b'nin çarpımı daima negatiftir (a · b < 0). | ✓ |
x - 1x = 4 olduğuna göre x2 + 1x2 ifadesinin değerini tam kare özdeşliğiyle bulunuz.