İçeriğe geç

5. sınıf · Matematik · 4. hafta (5-9 Ekim 2026)

Açı Ölçme: Doğruların Oluşturduğu Açılar

Geometrik Şekiller teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Geçen hafta açıları derece cinsinden ölçmeyi ve eş açıları tanımayı öğrendin. Bu hafta iki ya da üç doğru çizildiğinde hangi açıların oluşabileceğini önce tahmin edecek, sonra ölçerek sınayacak ve bulduklarını önerme biçiminde ifade edeceksin.

Doğruların birbirine göre üç durumu

Düzlemde iki doğruyu birlikte düşündüğünde onların birbirine göre durumunu ortak noktalarına bakarak belirlersin. Yalnız bir ortak noktası olan doğrulara kesişen doğrular denir; bu ortak nokta kesişim noktasıdır.

Hiç ortak noktası bulunmayan doğrular paraleldir. Bu doğrular birbirini kesmediği için aralarında açı oluşmaz. Üç doğrunun üçü de birbirine paralelse bu durum AB // CD // EF biçiminde gösterilir.

Bütün noktaları ortak olan doğrular çakışıktır; iki doğru üst üste çizilmiş gibi görünür. Üç durumu birbirinden ayırmak için ortak nokta sayısına bakarsın: bir nokta, hiç nokta ya da bütün noktalar.

Kesişen doğrularbir ortak noktaParalel doğrularortak nokta yokÇakışık doğrularbütün noktalar ortak

İki doğru kesişince oluşan açılar

İki doğru bir noktada kesiştiğinde o noktanın çevresinde dört açı oluşur. Açıölçerle ölçersen bu açıların ya ikisinin dar, ikisinin geniş olduğunu ya da dördünün de dik olduğunu görürsün.

Kesişim noktasında ölçüleri toplamı 180° olan açı çiftleri bulunur. Örneğin açılardan biri 70° ise yanındaki açı 110° ölçüsündedir.

Kesiştikleri noktada oluşan açıların ölçüsü 90° olan doğrulara dik doğrular denir ve AB ⊥ CD biçiminde gösterilir. Dikdörtgen biçimli bir kâğıdı önce kısa kenarlarını, sonra uzun kenarlarını çakıştırarak katlarsan iki katlama izi bir dik doğru modeli verir. Kesişim noktasındaki dört açıyı ölçersen her birinin 90° olduğunu bulursun.

Ters açılar ve komşu açılar

KM ve LN doğruları O noktasında kesişsin. Birbirine zıt yönlere bakan iki açıya ters açılar adı verilir. KOL ile MON bir ters açı çiftidir; LOM ile KON de öyledir. Ters açılar eş ölçülüdür.

Köşesi ve bir kolu ortak olup öbür kolları ortak kolun iki ayrı yanında yer alan açılar komşu açılardır. KOL ile LOM komşu açılardır; köşeleri O, ortak kolları [OL ışınıdır. Şekilde dar açıların ölçüsü 60°, geniş açıların ölçüsü 120° çıkar. Komşu iki açının ölçüleri toplamı 60° + 120° = 180° eder.

MLKNO60°60°120°120°ters çift: 60° = 60°ters çift: 120° = 120°komşu: 60° + 120° = 180°

Üç doğru aynı noktada kesişirse

Üç doğru aynı noktada kesişince o noktanın çevresinde altı açı oluşur. Doğruların konumuna göre bu açılar üç farklı dağılımla karşına çıkar: ya 2 geniş ve 4 dar açı, ya 2 dik ve 4 dar açı, ya da altısı dar açı.

Böyle bir çizimde önce oluşan açıların çeşidini tahmin edersin. Sonra açıları adlandırıp açıölçerle ölçersin ve sonuçları tahminlerinle karşılaştırırsın. Tahminin ölçümle uyuşuyorsa doğrulanmış olur; uyuşmuyorsa tahminini gözden geçirirsin.

2 geniş açı4 dar açı2 dik açı4 dar açı6 dar açı

Tümler ve bütünler açılar

İki açının ölçülerini toplayınca 90° buluyorsan bu açılar birbirinin tümleridir; 180° buluyorsan birbirinin bütünleridir. Bu açılar aynı zamanda komşuysa komşu tümler ya da komşu bütünler açılar adını alır. Tümler veya bütünler açıların komşu olması şart değildir.

Üç doğru B noktasında kesişsin: yatay doğru AC, dikey doğru EH, eğik doğru DF olsun. Bu çizimde m(FBC) = 32° olduğunu varsay. FBH açısı, FBC ile komşu tümler olduğundan ölçüsü 90° − 32° = 58° olur. FBA açısı ise FBC ile komşu bütünlerdir; ölçüsü 180° − 32° = 148° bulunur.

ABD açısı, FBC açısının ters açısı olduğu için 32°'dir. Bu açı FBH ile komşu değildir; ama 32° + 58° = 90° olduğundan ikisi tümler açılardır.

ACHEFDB32°58°148°32° (verilen açı)58° = 90° − 32°komşu tümler148° = 180° − 32°komşu bütünler

Üç doğrunun ikişer kesişimi ve kesen

Üç doğru ikişer ikişer kesişiyorsa üç ayrı kesişim noktası oluşur ve her noktada dört açı vardır. Bu durumda toplam on iki açıdan altısı dar, altısı geniş olabilir; ya da dördü dik, dördü dar, dördü geniş olabilir. Üçgen biçimli bir yol reflektörünün kenarlarını uzattığında bu duruma bir örnek elde edersin.

Bir doğru, iki doğrunun her birini ayrı birer noktada keserse bu doğru o iki doğrunun keseni olur. Kesen, iki paralel doğruyu keserse iki kesişim noktası oluşur. Kesen paralel doğrulara dik değilse sekiz açının dördü dar, dördü geniş olur; kesen dikse sekiz açının hepsi diktir.

Çizimi şeffaf bir kâğıda yapıp paralel doğruların arasından onlara paralel biçimde makasla keserek iki parçaya ayırırsan bu parçaları kesişim noktaları üst üste gelecek biçimde yerleştirebilirsin. Üst üste oturan açılar eştir. Böylece paralel doğruların kesenle yaptığı dar açıların kendi aralarında, geniş açıların da kendi aralarında eş olduğunu görürsün.

kesenparalel doğrular4 dar açı4 geniş açı

Örnekler

  1. Örnek 1Üç doğru çiftinin durumu şöyle verilmiştir. I. AB ve CD doğrularının hiç ortak noktası yoktur. II. EF ve GH doğrularının yalnız bir ortak noktası vardır. III. KL ve MN doğrularının bütün noktaları ortaktır. Her çiftin durumunu adlandır. Hangisinde kesişim noktasında açı oluşur?

    Cevabı göster

    I'deki doğrular paralel, II'dekiler kesişen, III'tekiler çakışık doğrulardır. Kesişim noktasında açı II'de oluşur. I'de ortak nokta olmadığı için açı oluşmaz.

  2. Örnek 2İki doğru bir noktada kesişiyor ve oluşan açılardan biri 90° ölçülüyor. Öbür üç açı hakkında ne söylenebilir? Bu iki doğruya ne ad verilir ve nasıl gösterilir?

    Cevabı göster

    Kesişen iki doğrunun açıları ya ikisi dar, ikisi geniş olur ya da dördü de dik olur. Açılardan biri dik olduğuna göre dördü de dik açıdır; öbür üç açı da 90°'dir. Bu doğru çifti dik doğrular adıyla anılır ve AB ⊥ CD biçiminde gösterilir.

  3. Örnek 3PS ve RT doğruları V noktasında kesişiyor; P, R, S, T noktaları V'nin çevresinde bu sırayla dizilmiştir. m(PVR) = 75° olduğuna göre m(SVT), m(RVS) ve m(TVP) kaç derecedir?

    Cevabı göster

    SVT, PVR açısının ters açısıdır; ölçüsü 75°'dir. RVS ile TVP açıları PVR açısına komşudur ve kesişen iki doğrunun oluşturduğu komşu açıların ölçüleri toplamı 180°'dir. Bu yüzden ikisi de 180° − 75° = 105°'dir.

  4. Örnek 4Bir öğrenci “Üç doğru aynı noktada kesişirse oluşan altı açıdan üçü dik açı olabilir.” önermesini sunuyor. Bu önerme doğru mudur? Gerekçeni söyle.

    Cevabı göster

    Önerme doğru değildir. Üç doğru aynı noktada kesişince yalnız şu üç durum görülür: 2 geniş ve 4 dar açı, 2 dik ve 4 dar açı ya da 6 dar açı. Hiçbirinde üç dik açı yoktur. Ayrıca ters açılar eş olduğundan dik açılar çift sayıda bulunur.

  5. Örnek 5Ölçüsü 57° olan bir açının tümlerinin ve bütünlerinin ölçüsünü bul.

    Cevabı göster

    Tümleri 90° − 57° = 33°, bütünleri 180° − 57° = 123°'dir. Kontrol: 57° + 33° = 90° ve 57° + 123° = 180° eder.

  6. Örnek 6AB // CD doğrularını EF doğrusu kesiyor. Oluşan açılardan biri 70° ölçüsündedir. Bu çizimde kaç dar, kaç geniş açı vardır? Dik açı bulunur mu?

    Cevabı göster

    EF, paralel doğruların kesenidir. Açılardan biri 70° olduğundan kesen paralel doğrulara dik değildir. Bu durumda sekiz açının dördü dar, dördü geniş olur ve dik açı bulunmaz.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1İki doğru bir noktada kesiştiğinde oluşan dört açı için aşağıdakilerden hangisi görülebilir?

  2. 2BD ve CE doğruları F noktasında kesişiyor; B, C, D, E noktaları F'nin çevresinde bu sırayla dizilmiştir. Aşağıdaki açı çiftlerinden hangisi ters açılardır?

  3. 3Bir yol reflektörünün üç kenarı doğru kabul edilip uzatılıyor ve bu doğrular ikişer ikişer kesişiyor. Kesişim noktalarında oluşan açıların sayısı kaçtır?

  4. 4Aşağıdaki ifadelerden hangilerinin doğru, hangilerinin yanlış olduğunu belirle.

    • Ortak noktası olmayan doğrular, kesişmedikleri için açı oluşturmaz.
    • Ölçüleri toplamı 180° olan iki açı, komşu olmasalar da bütünler açılardır.
    • Çakışık doğruların ortak noktası bir tanedir.
    • Dik doğrular kesiştiğinde oluşan açılar arasında dar açı bulunur.

  5. 5Kavramları açıklamalarıyla eşleştir.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  6. 6Kelimeleri uygun boşluklara yerleştir. Bir kelime artacak.

    1. Hiç ortak noktası bulunmadığı için açı oluşturmayan doğrulara doğrular denir.
    2. Yalnız bir ortak noktası olan iki doğrunun bu ortak noktasına noktası denir.
    3. Farklı birer noktada iki doğruyu kesen üçüncü doğruya bu iki doğrunun denir.

  7. 7Bir öğrenci, üç doğru aynı noktada kesişirken oluşan altı açının hepsinin dar açı olabileceğini tahmin ediyor. Bu tahminin doğru olup olmadığını nasıl sınarsın?

  8. 8Bir öğrenci iki doğrunun kesişiminde oluşan bir ters açı çiftini ölçüp ikisini de 40° buldu ve “Ters açıların ölçüleri eşittir.” önermesini sundu. Bu tek ölçüm önermeyi kabul etmek için yeterli midir?

Kısaca

  • Düzlemde iki doğru kesişen, paralel ya da çakışık olabilir; paralel doğruların ortak noktası olmadığı için aralarında açı oluşmaz.
  • İki doğru kesişince iki dar ile iki geniş ya da dört dik açı oluşur; ters açıların ölçüleri eşittir, kesişim noktasındaki komşu açıların ölçüleri toplamı 180°'dir.
  • Üç doğru aynı noktada kesişirse altı açı oluşur: iki geniş ile dört dar, iki dik ile dört dar ya da altı dar açı.
  • Ölçüleri toplamı 90° olan açılar tümler, 180° olan açılar bütünlerdir; komşu olanlara komşu tümler ve komşu bütünler denir.
  • Dik olmayan bir kesen iki paralel doğruyu keserse 4 dar ve 4 geniş açı oluşur; önermeler birden fazla örnekle sınanır.

Bu dersin öteki kaynakları