Bir sayı, görünüşleri farklı kesirlerle aynı değeri gösterebilir. Bu hafta rasyonel sayıların işaretini, sayı doğrusundaki yerini ve farklı gösterimler arasındaki ilişkiyi açıklayacağız. İlk haftadaki sayı kümeleri bilgisini yeni örneklerle pekiştireceğiz.
Rasyonel sayı olmanın koşulu
a ve b tam sayı, b sıfırdan farklı olmak üzere ab biçiminde yazılabilen sayılar rasyoneldir. Pay sıfır olabilir; payda sıfır olamaz.
07 = 0’dır. Buna karşılık 70 tanımsızdır. Sıfırla hangi sayı çarpılırsa çarpılsın 7 elde edilemeyeceği için ikinci bölmeye bir sonuç verilemez.
Her tam sayı paydası 1 olacak biçimde yazılabilir. −6 = −61 olduğundan −6 hem tam sayı hem rasyoneldir. Tam sayı olmayan rasyonel sayılar da vardır; 34 buna örnektir.
Denk gösterimler aynı noktayı anlatır
23, 46 ve 1015 aynı büyüklüğü gösterir. Sayı doğrusunda farklı yerlere değil, aynı noktaya karşılık gelirler.
Pay ile payda aynı sıfırdan farklı sayıyla çarpıldığında ya da ortak bölenleriyle bölündüğünde değer korunur. Pay ve paydanın 1 dışında ortak böleni kalmadığında en sade biçime ulaşılır.
Kesrin görünüşü, sayının mutlaka tam sayı olmadığını göstermez. 186 = 3 olduğu için bu gösterim bir doğal sayıyı, tam sayıyı ve rasyonel sayıyı aynı anda ifade eder.
Eksi işareti ve sıfıra uzaklık
Negatif bir rasyonel sayıda eksi işareti kesrin önünde, payında veya paydasında bulunabilir: −35 = −35 = 3−5.
Sayı doğrusunda negatif sayılar sıfırın solunda, pozitif sayılar sağındadır. Bir sayının mutlak değeri, sayı doğrusundaki noktasının sıfıra uzaklığıdır; uzaklık negatif olmaz.
−32 ile 32 sıfırın iki yanında eşit uzaklıkta bulunur. Bu sayıların mutlak değerleri eşittir, sayılar ise birbirinden farklıdır.
Sayı doğrusuna yerleştirmek
Önce sayının işaretine ve hangi iki tam sayı arasında olduğuna bakılır. Örneğin 74, 1 ile 2 arasındadır. Birim aralık dört eş parçaya ayrılır; 1’den sonra üç parça ilerlenir.
−74, −2 ile −1 arasındadır. Sıfırdan sola doğru çeyrek birimlik yedi adım ilerlenerek bulunabilir. Her rasyonel sayı, sayı doğrusunda belirli bir noktaya karşılık gelir.
Bölmeler eşit olmalıdır. Birim aralık düzgün paylaşılmazsa noktaya yazılan kesir o konumu doğru ifade etmez.
Örnekler
Örnek 1−248 hangi sayı kümelerinde yer alır?
Cevabı göster
Değeri −3’tür. Tam sayıdır ve rasyoneldir; doğal sayı değildir.
Örnek 20−9 ile −90 aynı mıdır?
Cevabı göster
Hayır. İlk ifade 0’dır; ikinci ifade paydası 0 olduğu için tanımsızdır.
Örnek 31525 ve 610 sayı doğrusunda aynı noktada mıdır?
Cevabı göster
Evet. İkisi de sadeleştirilince 35 olur.
Örnek 4−94 hangi ardışık tam sayılar arasındadır?
Cevabı göster
−94 = −2,25 olduğundan −3 ile −2 arasındadır.
Örnek 5Sıfırın solunda 52 birim uzaklıktaki sayı ve bu sayının mutlak değeri nedir?
Cevabı göster
Sayı −52; mutlak değeri 52’dir.
Örnek 635 sayısını sayı doğrusunda göstermek için 0 ile 1 arası nasıl bölünür?
Cevabı göster
Aralık beş eş parçaya bölünür. Sıfırdan sağa doğru üçüncü bölme noktası seçilir.
Etkinlikler
Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.
1Bir ölçüm kartında −186 yazıyor. Kartın değeri hangi açıklamaya uyar?
−186 = −3’tür.
2Hangi iki kart sayı doğrusunda aynı noktayı gösterir?
912 sadeleşince 34 olur.
3Bir nokta sıfırdan sola doğru beş yarım birim uzaklıktadır. Hangi sayı gösterilir?
Sola ilerleme negatiftir; beş yarım birim 52’dir.
4Her yargıyı değerlendiriniz. Yanlış yargının açıklamasını okuyunuz.
- 011 bir rasyonel sayıdır.
Değeri 0’dır ve payda sıfır değildir.
- 110 bir rasyonel sayıdır.
Payda sıfır olamaz.
- −4 sayısı −41 biçiminde yazılabilir.
Her tam sayı paydası 1 olan kesirle gösterilebilir.
- −32 ile 32’nin mutlak değerleri eşittir.
İkisi de sıfıra 32 birim uzaklıktadır.
- 011 bir rasyonel sayıdır.
5Birbiriyle ilişkili kavram ve açıklamaları eşleştiriniz.
Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.
6Kelimeleri uygun boşluklara yerleştiriniz. Bir kelime artacak.
- Denk kesirler sayı doğrusunda noktayı gösterir.
- Bir sayının sıfıra uzaklığına değer denir.
- Rasyonel sayılarda payda olamaz.
Önce bütün boşlukları doldurun.
7−812 ile −23’ün aynı sayıyı gösterdiğini açıklayınız.
1. ipucu: Pay ile paydanın ortak bölenini bulunuz.
2. ipucu: İşaretin korunduğuna dikkat ediniz.
Cevap: −812’nin payı ve paydası 4’e bölünürse −23 elde edilir. Bu nedenle iki gösterim aynı değeri ve sayı doğrusunda aynı noktayı ifade eder.
8“Mutlak değeri 34 olan yalnız bir sayı vardır.” yargısını değerlendiriniz.
1. ipucu: Sıfırın her iki yanını düşününüz.
2. ipucu: Aynı uzaklıktaki iki noktayı yazınız.
Cevap: Yargı yanlıştır. −34 ve 34 sayılarının ikisi de sıfıra 34 birim uzaktadır.
Kısaca
- Rasyonel sayıda pay ve payda tam sayı, payda sıfırdan farklıdır.
- Denk kesirler sayı doğrusunda aynı noktayı gösterir.
- Her tam sayı rasyoneldir; her rasyonel sayı tam sayı değildir.
- Mutlak değer sıfıra uzaklıktır; sayı doğrusunda eş bölmeler kullanılır.
Bu dersin öteki kaynakları
- 7. Sınıf Matematik Yıllık Planı (2026-2027) Yıllık plan
- Matematik Dersi Öğretim Programı (ortaokul) Öğretim programı
- 7. Sınıf Matematik Ortak Yazılı Senaryoları (1. dönem, 2026-2027) Yazılı senaryosu
- Matematik 7.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap) Ders kitabı
- Matematik 7.Sınıf Ders Kitabı (2.Kitap) Ders kitabı
- 7. Sınıf Matematik Günlük Planları (2026-2027) Ders planı
- 7. Sınıf Matematik 1. Hafta Çalışma Kâğıdı: Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar ve Farklı Temsilleri Çalışma kâğıdı