İçeriğe geç

8. sınıf · Matematik · 2. hafta (21-25 Eylül 2026)

EBOB, EKOK ve Aralarında Asal Sayılar

Çarpanlar ve Katlar teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Eşit büyüklükte gruplar oluşturmak ile tekrar eden olayların ilk ortak zamanını bulmak farklı düşünmeler gerektirir. Bu hafta ortak bölen, ortak kat ve aralarında asallık ilişkilerini açıklayacağız.

En büyük ortak bölen: EBOB

İki pozitif doğal sayıyı da kalansız bölen sayılar ortak bölenlerdir. Bunların en büyüğüne EBOB denir. EBOB(18, 30) yazımı, 18 ve 30’un en büyük ortak bölenini anlatır.

18’in bölenleri 1, 2, 3, 6, 9, 18; 30’un bölenleri 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30’dur. Ortak bölenler 1, 2, 3 ve 6 olduğundan EBOB(18, 30) = 6 olur.

Asal çarpanlarla hesaplamada yalnız ortak asal çarpanlar alınır ve her birinin küçük üssü seçilir. Bu seçim, sonucun iki sayıyı da bölmesini sağlar.

18 ve 30 için ortak bölen18’in bölenleri1, 2, 3, 6, 9, 1830’un bölenleri1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30Ortak olanların en büyüğüEBOB(18, 30) = 6

En küçük ortak kat: EKOK

İki pozitif doğal sayının pozitif katları arasında ortak olanlar bulunur. Bunların en küçüğüne EKOK denir. Burada sıfır dışındaki ortak katlar araştırılır.

6’nın pozitif katları 6, 12, 18, 24, 30…; 8’in pozitif katları 8, 16, 24, 32… biçimindedir. İlk ortak değer 24 olduğundan EKOK(6, 8) = 24’tür.

Asal çarpanlarla hesaplamada her iki sayıda bulunan asal çarpanların tamamı dikkate alınır. Ortak olanlarda büyük üs seçilir. Böylece iki sayının da katı olan en küçük pozitif değer elde edilir.

6 ve 8 için ortak kat6’nın katları6, 12, 18, 24, 30, …8’in katları8, 16, 24, 32, 40, …İlk pozitif ortak değerEKOK(6, 8) = 24

Aralarında asal olmak

İki pozitif doğal sayının 1 dışında ortak böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır. Sayıların her birinin tek başına asal olması gerekmez.

Örneğin 9 ve 16 asal sayı değildir; fakat ortak bölenleri yalnız 1 olduğu için aralarında asaldır. Buna karşılık 9 ve 15’in ortak böleni 3 de bulunduğundan aralarında asal değillerdir.

Aralarında asal sayıların EBOB’u 1, EKOK’u sayıların çarpımıdır. Ardışık pozitif doğal sayılar aralarında asaldır; 1 de bütün pozitif doğal sayılarla aralarında asaldır.

Problemde hangi ilişki kullanılmalı?

Miktarlar hiç artmadan eş büyüklükte gruplara ayrılacaksa grup büyüklüğü ortak bölen olmalıdır. En büyük grup istendiğinde EBOB kullanılır. Ancak grup sayısı soruluyorsa bulunan büyüklükle ayrıca bölme yapılır.

Belirli aralıklarla yinelenen olayların tekrar birlikte oluşması isteniyorsa geçen süre ortak kat olmalıdır. İlk ortak zaman için EKOK bulunur.

İki pozitif doğal sayı için sayıların çarpımı, EBOB ile EKOK’un çarpımına eşittir. Bu ilişki sonuç denetiminde kullanılabilir: a · b = EBOB(a, b) · EKOK(a, b).

Örnekler

  1. Örnek 1EBOB(28, 42) kaçtır?

    Cevabı göster

    28 = 2² · 7, 42 = 2 · 3 · 7. Ortak çarpanların küçük üsleri alınır: 2 · 7 = 14.

  2. Örnek 2EKOK(12, 20) kaçtır?

    Cevabı göster

    12 = 2² · 3, 20 = 2² · 5. Tüm asal çarpanlar büyük üsleriyle alınır: 2² · 3 · 5 = 60.

  3. Örnek 314 ve 25 aralarında asal mıdır?

    Cevabı göster

    14’ün asal çarpanları 2 ve 7; 25’in asal çarpanı 5’tir. Ortak asal çarpan yoktur; EBOB 1’dir ve aralarında asaldırlar.

  4. Örnek 4Bir etkinlikte 30 üçgen ve 42 kare kart, şekilleri karıştırılmadan eşit sayıda kart içeren zarflara konulacak. Her zarfta en fazla kaç kart olur, kaç zarf gerekir?

    Cevabı göster

    EBOB(30, 42) = 6 olduğundan her zarfta 6 kart olur. 306 + 426 = 5 + 7 = 12 zarf gerekir.

  5. Örnek 5Bir ışık 9 saniyede, diğeri 12 saniyede bir yanıyor. Aynı anda yandıktan kaç saniye sonra ilk kez yeniden birlikte yanarlar?

    Cevabı göster

    Geçen süre hem 9’un hem 12’nin katıdır. EKOK(9, 12) = 36 olduğundan 36 saniye sonra birlikte yanarlar.

  6. Örnek 6EBOB’u 5 ve EKOK’u 210 olan iki pozitif doğal sayının çarpımı kaçtır?

    Cevabı göster

    Çarpım EBOB · EKOK = 5 · 210 = 1 050’dir.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1İki kart makinesi 10 ve 15 dakikalık aralıklarla çıktı veriyor. Aynı anda çıktı verdikten sonraki ilk ortak çıktı kaç dakika sonradır?

  2. 2Hangi sayı çifti, ikisi de asal olmadığı hâlde aralarında asaldır?

  3. 324 ve 36 kartı hiç artırmadan, eş sayıda kart içeren ve türleri karışmayan paketlere koyarken bir pakette en fazla kaç kart olabilir?

  4. 4Her yargıyı değerlendiriniz. Yanlış yargının açıklamasını okuyunuz.

    • EBOB(7, 20) = 1 olur.
    • Aralarında asal sayıların ikisi de asal olmak zorundadır.
    • EKOK, sıfır dışındaki ortak katların en küçüğüdür.
    • EBOB bulunurken ortak asal çarpanların büyük üsleri alınır.

  5. 5Birbiriyle ilişkili kavram ve açıklamaları eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  6. 6Kelimeleri uygun boşluklara yerleştiriniz. Bir kelime artacak.

    1. 1 dışında ortak böleni olmayan sayılar aralarında olur.
    2. EBOB için ortak asal çarpanların üsleri seçilir.
    3. EKOK için ortak asal çarpanların üsleri seçilir.

  7. 7“Soruda en az deniyorsa her zaman EKOK alınır.” iddiasını eşit gruplama örneğiyle açıklayınız.

  8. 8EBOB(18, 24) = 6 ve EKOK(18, 24) = 72 sonuçlarını çarpım ilişkisiyle denetleyiniz.

Kısaca

  • EBOB ortak bölenlerin en büyüğüdür.
  • EKOK pozitif ortak katların en küçüğüdür.
  • Aralarında asal sayıların EBOB’u 1’dir; sayıların kendileri asal olmak zorunda değildir.
  • Problemde istenen büyüklüğün birimini ve grup sayısı gibi son işlemleri kontrol ediniz.

Bu dersin öteki kaynakları