İçeriğe geç

9. sınıf · Matematik · 1. hafta (14-18 Eylül 2026)

Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleriyle İşlemler

Sayılar teması · Konu özeti

EtkinliklerÇalışma kâğıdı
Bu hafta

Bir çarpımı üslü biçimde yazmak, aynı işlemi tekrar tekrar yazma ihtiyacını azaltır. Köklü gösterim ise bir sayının hangi kuvvetten elde edildiğini düşünmemizi sağlar. Bu hafta işlem kurallarını, kuralların kullanılabildiği koşullarla birlikte ele alacağız.

Taban, üs ve işaret

Pozitif tam sayı üs, tabanın kendisiyle kaç kez çarpıldığını belirtir. Örneğin 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 olur. Taban 3, üs 4’tür.

Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir. Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersinin ilgili pozitif kuvvetini ifade eder: 2−3 = 18. Negatif üs, sonucun mutlaka negatif olduğu anlamına gelmez.

Negatif bir tabanın çift tam sayı kuvveti pozitif, tek tam sayı kuvveti negatiftir. Parantez tabanı belirler: (−4)2 = 16 iken −42 = −16 olur. İkinci ifadede üs yalnız 4’e aittir.

Çarpma, bölme ve bir kuvvetin kuvveti

Tabanları aynı üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: am · an = am+n. Bölmede üsler çıkarılır: am / an = am−n. Bölme kuralında a ≠ 0 olmalıdır.

Bir kuvvetin kuvveti alınırken üsler çarpılır: (am)ⁿ = am·n. Üsleri aynı olan çarpanlar ise ortak üste alınabilir: an · bn = (a·b)n. Bölme için de payda sıfır olmamak üzere benzer kural geçerlidir.

Bu kurallar tam sayı üsler için, ifadelerin tanımlı olduğu değerlerde uygulanır. Örneğin 52 · 53 = 55; (52)³ = 56 olur. Çarpım ile kuvvetin kuvvetini aynı işlem sanmamak gerekir.

İşlem türünü ayırt etAynı tabanlı çarpım2³ · 2⁴ = 2⁷Bir kuvvetin kuvveti(2³)⁴ = 2¹²Aynı terimlerin toplamı3 · 2⁴ + 5 · 2⁴ = 8 · 2⁴

Toplama ve çıkarmada ortak çarpan

Toplamada veya çıkarmada üsler toplanmaz. Aynı üslü ifadeyi içeren terimlerin katsayıları işleme girer: 3 · 24 + 5 · 24 = 8 · 24.

Terimler önce ortak bir üslü çarpan içerecek biçimde yazılabilir. 34 + 33 = 3 · 33 + 1 · 33 = 4 · 33 olur.

Ortak çarpan bulunmadığında kuvvetlerin değerleri hesaplanabilir. 23 + 24 = 8 + 16 = 24’tür; sonuç 27 değildir.

Köklü gösterimi anlamak

√a, karesi a olan negatif olmayan sayıyı belirtir; gerçek sayılarda a ≥ 0 olmalıdır. Bu nedenle √49 = 7’dir. x² = 49 denkleminin çözümleri 7 ve −7 olsa da √49 ifadesinin değeri yalnız 7’dir.

Çift dereceli bir kökün içi gerçek sayılarda negatif olamaz. Tek dereceli köklerde negatif sayılar da kullanılabilir: ∛(−27) = −3, çünkü (−3) · (−3) · (−3) = −27’dir.

Pozitif tabanlarda rasyonel üslerle kökler birbirine dönüştürülebilir. Örneğin 161/2 = √16 = 4; 81/3 = ∛8 = 2 olur. Genel olarak n’inci kök, 1/n üssüyle ilişkilidir.

İfade ile denklemin farkıKarekök ifadesi√36 = 6Denklemx² = 36 → x = 6 veya x = −6Negatif tabanın karesinin kökü√((−6)²) = |−6| = 6

Köklü ifadelerle dört işlem

Karekök içindeki çarpanlardan tam kare olanlar dışarı çıkarılabilir: √72 = √(36 · 2) = 6√2. Toplama ve çıkarmada önce kökler sadeleştirilir.

Kök derecesi ve kök içi aynı olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. 4√3 + 2√3 = 6√3 olur. √2 + √3 ise √5 biçiminde birleştirilemez.

Negatif olmayan a ve b sayıları için √a · √b = √(a · b) olur. b > 0 koşuluyla √a / √b = √(a / b) yazılabilir. Örneğin √6 · √24 = √144 = 12; √75 / √3 = √25 = 5’tir.

Örnekler

  1. Örnek 1(35 · 3−2) / 32 işleminin sonucu kaçtır?

    Cevabı göster

    Üs 5 + (−2) − 2 = 1 olur. Sonuç 31 = 3’tür.

  2. Örnek 2(−2)4 ile −24 ifadelerinin farkı nedir?

    Cevabı göster

    İlkinde taban −2’dir ve çift kuvvet 16 verir. İkincisinde 2’nin dördüncü kuvvetinin önünde eksi vardır; değer −16’dır. Birinci değerden ikinci çıkarılırsa 16 − (−16) = 32 olur.

  3. Örnek 3(42)³ / 44 ifadesini tek kuvvet olarak yazınız.

    Cevabı göster

    Üssün üssünde 2 · 3 = 6 bulunur. Bölmede 6 − 4 = 2 olduğundan sonuç 42 = 16’dır.

  4. Örnek 47 · 32 − 2 · 32 işlemini hesaplayınız.

    Cevabı göster

    Ortak çarpan 32’dir. (7 − 2) · 32 = 5 · 9 = 45.

  5. Örnek 5√98 − √8 ifadesini sadeleştiriniz.

    Cevabı göster

    √98 = 7√2 ve √8 = 2√2 olur. Fark (7 − 2)√2 = 5√2’dir.

  6. Örnek 6√12 · √27 / √9 işleminin sonucunu bulunuz.

    Cevabı göster

    Pay √324 = 18, payda √9 = 3’tür. Sonuç 18 / 3 = 6 olur.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Bir işlem kartında (23)² yazıyor. Aynı değeri gösteren kart hangisidir?

  2. 2Bir öğrenci √50 + √8 işlemini √58 olarak yazıyor. Doğru sonuç hangisidir?

  3. 3Bir hesapta a = −5 seçiliyor. √(a²) kaçtır?

  4. 4Her yargıyı değerlendiriniz. Yanlış yargının açıklamasını okuyunuz.

    • 3² · 3⁴ ile (3²)⁴ aynı değerdedir.
    • 2⁻³ ifadesinin değeri pozitiftir.
    • ∛(−8) gerçek bir sayıdır.
    • √3 + √3 = 2√3 olur.

  5. 5Birbiriyle ilişkili kavram ve açıklamaları eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  6. 6Kelimeleri uygun boşluklara yerleştiriniz. Bir kelime artacak.

    1. Aynı tabanlı kuvvetler çarpılırken üsler .
    2. Bir kuvvetin kuvveti alınırken üsler .
    3. Aynı köklü terimler toplanırken işleme girer.

  7. 73⁴ + 3⁴ işlemini 3⁸ bulan bir öğrencinin hangi kuralı yanlış yerde kullandığını açıklayınız.

  8. 8√48 / √3 işlemini iki farklı yolla bulunuz.

Kısaca

  • Sıfırdan farklı taban için sıfırıncı kuvvet 1’dir; negatif üs çarpmaya göre tersle ilgilidir.
  • Aynı tabanlı çarpımda üsler toplanır, bölmede çıkarılır; bir kuvvetin kuvvetinde çarpılır.
  • Toplama ve çıkarmada ortak üslü ya da köklü terimlerin katsayıları işleme girer.
  • Gerçek sayılarda çift dereceli kökün içi negatif olamaz; karekökün değeri negatif değildir.
  • Köklü ifadelerde sadeleştirme, hangi terimlerin birleştirilebileceğini gösterir.

Bu dersin öteki kaynakları