İçeriğe geç

12. sınıf · Matematik · 6. hafta (19-23 Ekim 2026)

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlarla Gerçek Hayat Durumlarını Modelleme: çalışma kâğıdı

12 soru. Yazdırmak için PDF'i indirin; cevaplı sürüm öğretmenler için.

PDF indir Cevaplı PDF Konu özeti
DERS KUTUSUDERSKUTUSU.COM
ÇALIŞMA KÂĞIDICEVAPLI
12. Sınıf · Matematik · 6. Hafta
Ad Soyad:Sınıf / No:Tarih:

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlarla Gerçek Hayat Durumlarını Modelleme

Üstel büyüme (nüfus artışı, bakteri çoğalması, bileşik faiz) ve üstel azalma (radyoaktif yarılanma) süreçlerini modeller. · Deprem büyüklüğü (Richter), asitlik derecesi (pH) ve ses düzeyi (desibel) gibi nicelikleri logaritmik fonksiyonlarla hesaplar. · Üstel bir modelde bilinmeyen zaman (t) değişkenini logaritma alma işlemiyle çözer.

HATIRLAYALIM
  • Radyoaktif yarılanma modelinde kalan kütle M(t) = M0 . (12)tT, bakteri bölünmesinde N(t) = N0 . 2tT bağıntısıyla bulunur.
  • Richter ölçeğinde M = log(II0) olup büyüklük 1 birim artarsa deprem yoğunluğu 10 katına çıkar (I1I2 = 10M1-M2).
  • Kimyada pH = -log[H+] ([H+] = 10-pH) ve ses düzeyinde L = 10 . log(II0) desibel (dB) bağıntıları kullanılır.
1Eşleştirme

Gerçek hayat durumlarını modelleyen matematiksel bağıntıları eşleştiriniz.

Richter ÖlçeğiM = log(I / I0)pH ÖlçeğipH = -log[H+]Desibel (dB)L = 10.log(I / I0)Yarı ÖmürM = M0.(1/2)^(t/T)
b1. M = log(II0)
d2. pH = -log[H+]
a3. L = 10 . log(II0)
c4. M(t) = M0 . (12)tT
a)Desibel (dB) cinsinden ses şiddeti düzeyi
b)Richter deprem büyüklüğü ölçeği
c)Radyoaktif yarı ömür (üstel azalma) modeli
d)Sulu çözeltilerin asitlik-bazlık ölçeği
2Doğru mu, yanlış mı?

Üstel ve logaritmik modellerle ilgili ifadelerden doğru olanlara D, yanlış olanlara Y yazınız.

k > 0 / k < 0Büyüme / AzalmaYarı ÖmürAsla sıfırlanmaz[H+] ArtarsapH küçülür (Asit)Eşik I = I0L = 10.log(1) = 0 dB
DY
N(t) = N0 . ek.t modelinde k > 0 ise üstel büyüme, k < 0 ise üstel azalma gerçekleşir.✓
Radyoaktif bir maddenin tamamı 2 yarı ömür süresi sonunda tamamen yok olur (0 grama düşer).✓
Bir çözeltide hidrojen iyonu derişimi [H+] arttıkça pH değeri küçülür ve asitlik artar.✓
İşitme eşiğindeki (I = I0) bir sesin desibel ölçeğindeki düzeyi 0 dB'dir.✓
3Çoktan seçmeli

Görseldeki Richter ölçeğine göre büyüklüğü 7,2 olan bir depremin sarsıntı yoğunluğu, büyüklüğü 5,2 olan depremin kaç katıdır?

RİCHTER DEPREM ÖLÇEĞİ · YOĞUNLUK ORANI HESABI1. Deprem: M1=7,2Yoğunluk: I12. Deprem: M2=5,2Fark: 7,2 - 5,2 = 2Yoğunluk OranıI1 / I2 = 10² = 100 kat
  1. A100
  2. B2
  3. C20
  4. D1000
4Kısa cevap

Nüfusu P(t) = P0 . e0,05.t ile modellenen bir şehrin nüfusu kaç yıl sonra başlangıç nüfusunun 3 katına çıkar?

ÜSTEL BÜYÜME DENKLEMİNDE ZAMANI (t) LOGARİTMAYLA ÇÖZMEP(t) = P0 . e^(0,05.t) = 3.P0 --> e^(0,05.t) = 3 --> 0,05.t = ln 3Her iki tarafın doğal logaritması (ln) alınarak t = ln 3 / 0,05 = 20.ln 3 bulunur.
e0,05.t = 3 eşitliğinde her iki tarafın doğal logaritması alınırsa 0,05.t = ln 3 -> t = 20.ln 3 yıl bulunur.
5Çoktan seçmeli

Görseldeki ses düzeyi bağıntısına göre tek bir makinenin ses düzeyi 60 dB iken özdeş 100 makine birlikte çalıştığında kaç dB olur?

SES ŞİDDETİ DÜZEYİ (DESİBEL) · ÇOKLU KAYNAK HESABI1 Makine: L1 = 10.log(I / I0) = 60 dB | 100 Makine: I_yeni = 100 . IL_yeni = 60 + 10.log(100) = 60 + 10.2 = 80 dB (Şiddet 100 kat -> +20 dB).
  1. A80 dB
  2. B62 dB
  3. C160 dB
  4. D600 dB
6Tabloyu tamamla

Üstel ve logaritmik modellere göre verilen gerçek hayat problemlerinin sonuçlarını tabloya yazınız.

Problem DurumuVerilen DeğerlerHesaplanan Sonuç
Bakteri ÇoğalmasıN0 = 500, her 30 dk'da 2 kat, t = 2 saat500 . 24 = 8000 bakteri
Radyoaktif YarılanmaM0 = 160 g, yarı ömür T = 15 yıl, t = 45 yıl160 . (12)3 = 20 g kalır
Çözelti pH Hesabı[H+] = 10-4 mol/LpH = -log(10-4) = 4
Ses Düzeyi (Desibel)I = 10-5 W/m2, I0 = 10-12 W/m2L = 10 . log(107) = 70 dB
7Sıralama

Görseldeki Karbon-14 (yarı ömrü T = 5730 yıl) yaş tayini probleminin çözüm adımlarını sırasına diziniz.

1. Model KurM = M0.(1/2)^(t/T)2. Oran YazM / M0 = 1/4 = (1/2)²3. Üs Eşitlet / 5730 = 24. Sonuç Bult = 11.460 yıl
  1. 4t5730 = 2 denkleminden fosil yaşını t = 11.460 yıl olarak bulma
  2. 1M(t) = M0 . (12)tT yarılanma bağıntısını yazma
  3. 3(12)2 = (12)t5730 eşitliğinden üsleri birbirine eşitleme
  4. 2Kalan C-14 oranı %25 olduğundan M(t)M0 = 14 değerini yerine koyma
8Şifreli kelime

İpuçlarına karşılık gelen kavramları yazarak anahtar kelimeyi bulunuz.

Üstel fonksiyonun tersi olan matematiksel fonksiyon (9 harf)LOGARİTMA
2,718... yaklaşık değerine sahip doğal logaritma tabanı, ___ sayısı (5 harf)EULER
Değişkeni üste bulunan ax biçimindeki fonksiyon türü (5 harf)ÜSTEL

Turuncu kutulardaki harfler yukarıdan aşağıya: LLÜ

9Açık uçlu

Hidrojen iyonu derişimi [H+] = 2 . 10-4 mol/L olan limon suyunun pH değerini hesaplayınız. (log 2 = 0,3 alınız.)

pH = -log(2 . 10-4) = -(log 2 + log 10-4) = -(0,3 - 4) = 3,7 bulunur.
10Boşluk doldurma

Cümlelerdeki boşlukları kutudaki kavramlarla tamamlayınız.

RADYOAKTİF BOZUNMA, pH VE DOĞAL LOGARİTMA (ln)Yarı Ömür (T) · pH < 7 Asidik Çözelti · e Tabanında Doğal Logaritma (ln)Üstel denklemlerde taban e ise ln, taban 10 ise bayağı logaritma (log) kullanılır.
doğalasidikyarıbazik
  1. Radyoaktif bir elementin kütlesinin yarıya inmesi için geçen süreye yarı ömür denir.
  2. 25 °C sıcaklıkta pH değeri 7'den küçük olan sulu çözeltiler asidik özellik gösterir.
  3. e tabanlı üstel bir denklemde üsteki zamanı bulmak için eşitliğin doğal logaritması (ln) alınır.
11Eşleştirme

Logaritmik ölçeklerdeki değişimleri karşılık gelen kat oranlarıyla eşleştiriniz.

Richter +310³ = 1000 kat genlikpH -2 Azalma10² = 100 kat [H+]Ses +30 dB10³ = 1000 kat şiddet3 Yarı Ömür(1/2)³ = 1/8 kütle
c1. Richter büyüklüğünün 3 birim artması
d2. Çözelti pH değerinin 2 birim azalması
a3. Ses düzeyinin 30 dB artması
b4. 3 yarı ömür (3T) süre geçmesi
a)Ses şiddetinin (I) 103 = 1000 katına çıkması
b)Radyoaktif kütlenin 18'ine düşmesi
c)Deprem sarsıntı genliğinin 103 = 1000 katına çıkması
d)[H+] iyon derişiminin 102 = 100 katına çıkması
12Doğru mu, yanlış mı?

Logaritmik hesaplamalarla ilgili ifadelerden doğru olanlara D, yanlış olanlara Y yazınız.

DY
pH = 5 olan kahvenin [H+] derişimi, pH = 8 olan deniz suyunun 1000 katıdır.✓
Richter ölçeğine göre 8 büyüklüğündeki deprem, 4 büyüklüğündeki depremden 2 kat şiddetlidir.✓
Başlangıçta 96 g olan radyoaktif izotop 24 günde 6 g'a düşüyorsa yarı ömrü 6 gündür.✓
Bileşik faiz hesaplamalarında anapara zamanla doğrusal değil üstel olarak büyür.✓