12. Sınıf Matematik 6. Hafta: Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlarla Gerçek Hayat Durumlarını Modelleme

Bu hafta

Doğada ve bilimde birçok nicelik doğrusal (sabit farklarla) değil, mevcut miktarıyla orantılı olarak katlanarak (üstel) değişir. Bir bakteri kültürünün her 20 dakikada ikiye katlanması, fosillerin yaşının Karbon-14 izotopuyla belirlenmesi ya da depremlerin Richter ölçeğiyle ölçülmesi doğrudan üstel ve logaritmik fonksiyonların gerçek hayat uygulamalarıdır. Bu haftaki dersimizde üstel ve logaritmik modelleri kurmayı ve bu modeller üzerinden problem çözmeyi öğreneceğiz.

1. Üstel Büyüme ve Üstel Bozunma (Azalma) Modelleri

Bir niceliğin zamana (t) bağlı değişim hızı o andaki miktarıyla doğru orantılıysa bu süreç üstel fonksiyonla modellenir: 1. Üstel Büyüme (Nüfus, Bakteri Üremesi ve Bileşik Faiz): • Başlangıçtaki birey sayısı N0 olan bir popülasyon her dönemde %r oranında artıyorsa t dönem sonraki nüfus: N(t) = N0 . (1 + r)^t. • Her T sürede bir iki katına çıkan bir bakteri kültüründe t süre sonraki bakteri sayısı: N(t) = N0 . 2^t/T. • Sürekli üstel büyüme modelinde ise doğal logaritma tabanı (e ≈ 2,718) kullanılarak N(t) = N0 . e^k.t (k > 0 büyüme sabiti) bağıntısı yazılır.

2. Üstel Azalma (Radyoaktif Bozunma, İlaç Atılımı ve Soğuma): • Radyoaktif bir elementin kütlesinin yarıya inmesi için geçen süreye yarı ömür (T) denir. Başlangıç kütlesi M0 olan maddenin t süre sonunda bozunmadan kalan kütlesi: M(t) = M0 . (12)^t/T veya sürekli bozunma sabiti λ ile M(t) = M0 . e^-λ.t formülüyle hesaplanır. • Newton’ın Soğuma Yasası: Başlangıç sıcaklığı T0 olan bir cisim, sabit T_ortam sıcaklığındaki bir ortama bırakıldığında t süre sonraki sıcaklığı T(t) = T_ortam + (T0 - T_ortam) . e^-k.t bağıntısıyla modellenir.

2. Logaritmik Ölçekler: Richter Deprem Ölçeği, pH ve Desibel

Çok küçük değerlerden (10^-12 gibi) çok büyük değerlere (10⁹ gibi) kadar uzanan fiziksel ve kimyasal büyüklükleri daha kolay ifade edebilmek için 10 tabanlı logaritmik ölçekler kullanılır: 1. Richter Deprem Ölçeği: 1935’te Charles Richter tarafından tanımlanan ölçeğe göre, depremin sismograftaki genliği (yoğunluğu) I ve standart referans genlik I0 olmak üzere depremin büyüklüğü (M): • M = log(II0) İki depremin büyüklükleri M1 ve M2 (M1 > M2) ise yoğunlukları (sarsıntı genlikleri) oranı I1I2 = 10^{M1 - M2} olur.

2. Kimyada pH Ölçeği: Sulu çözeltilerin asitlik veya bazlık derecesini gösteren pH değeri, çözeltideki hidrojen iyonu molar derişiminin ([H+], mol/L) eksi logaritmasıdır: • pH = -log[H+] <=> [H+] = 10^-pH 25 °C’de pH + pOH = 14 olup; pH < 7 ise asidik, pH = 7 ise nötr, pH > 7 ise baziktir. pH değerinin 1 birim azalması asitliğin ([H+] derişiminin) 10 kat artması demektir.

3. Ses Şiddeti Düzeyi (Desibel - dB): İnsan kulağının duyabildiği en düşük ses şiddeti (işitme eşiği) I0 = 10^-12 W/m² kabul edilir. Şiddeti I (W/m²) olan bir sesin desibel cinsinden düzeyi (L): • L = 10 . log(II0) (dB) formülüyle hesaplanır.

Örnekler

Örnek 1Bir laboratuvardaki bakteri kültürünün sayısı her 30 dakikada bir 2 katına çıkmaktadır. Başlangıçta 500 bakteri bulunan bu kültürde 4 saat sonunda kaç bakteri bulunur?
Cevabı göster
4 saat = 240 dakikadır. Yarılanma/ikiye katlanma periyodu T = 30 dakika olduğundan bölünme sayısı tT = 24030 = 8 olur. Üstel büyüme modelinden: N(8) = 500 . 2⁸ = 500 . 256 = 128.000 bakteri bulunur.
Örnek 2Yarı ömrü 15 yıl olan radyoaktif bir maddeden başlangıçta 160 gram alınmaktadır. Kaç yıl sonra bu maddeden geriye bozunmadan 5 gram kalır?
Cevabı göster
Yarılanma modelini yazalım: M(t) = M0 . (1/2)^t/T => 5 = 160 . (1/2)^t/15 => 5160 = 132 = (1/2)⁵ = (1/2)^t/15. Tabanlar eşit olduğundan üsler eşitlenir: t15 = 5 => t = 75 yıl bulunur.
Örnek 3Richter ölçeğine göre büyüklüğü 7,4 olan bir depremin yoğunluğu (genliği), büyüklüğü 5,4 olan bir depremin yoğunluğunun kaç katıdır?
Cevabı göster
I1I2 = 10^{M1 - M2} bağıntısında M1 = 7,4 ve M2 = 5,4 yazılırsa: I1I2 = 10^{7,4 - 5,4} = 10² = 100 katıdır.
Örnek 4Hidrojen iyonu derişimi [H+] = 2 . 10^-4 mol/L olan bir limon suyu çözeltisinin pH değeri kaçtır? (log 2 ≈ 0,3 alınız.)
Cevabı göster
pH = -log[H+] = -log(2 . 10^-4) = -(log 2 + log 10^-4) = -(0,3 - 4) = -(-3,7) = 3,7 bulunur.
Örnek 5Ses şiddeti I = 10^-5 W/m² olan bir elektrikli süpürgenin ses şiddeti düzeyi kaç desibeldir (dB)? (I0 = 10^-12 W/m²)
Cevabı göster
L = 10 . log(II0) = 10 . log(10^-510^-12) = 10 . log(10⁷) = 10 . 7 = 70 dB bulunur.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

1Nüfusu P(t) = 200.000 . e^(0,05.t) üstel fonksiyonuyla modellenen bir şehrin nüfusu kaç yıl sonra başlangıç nüfusunun 3 katına çıkar?
2Richter ölçeğine göre büyüklüğü 6,7 olan bir depremin sarsıntı yoğunluğu (genliği), büyüklüğü 4,7 olan bir depremin yoğunluğunun kaç katıdır?
3pH değeri 5 olan bir kahve çözeltisinin hidrojen iyonu derişimi ([H+]), pH değeri 8 olan bir deniz suyu çözeltisinin hidrojen iyonu derişiminin kaç katıdır?
4Bir ortamda çalışan tek bir makinenin ses düzeyi 60 dB’dir. Özdeş 100 makine aynı anda çalıştırıldığında ses şiddeti 100 katına çıktığına göre yeni ses düzeyi kaç dB olur?
5Başlangıçta 96 gram olan radyoaktif bir izotoptan 24 gün sonra geriye 6 gram kaldığına göre bu izotopun yarı ömrü (T) kaç gündür?
6Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.
- N(t) = N0 . e^(k.t) üstel modelinde k > 0 ise üstel büyüme, k < 0 ise üstel azalma gerçekleşir.
- Richter ölçeğine göre 8 büyüklüğündeki bir deprem, 4 büyüklüğündeki bir depremden 2 kat daha şiddetlidir.
- Bir çözeltide hidrojen iyonu derişimi [H+] arttıkça çözeltinin pH değeri küçülür ve asitliği artar.
- İşitme eşiğindeki (I = I0) bir sesin desibel ölçeğindeki ses şiddeti düzeyi 0 dB’dir.
- Radyoaktif yarılanma sürecinde maddenin tamamı iki yarı ömür sonunda tamamen yok olur (0 grama düşer).
7Aşağıdaki gerçek hayat modellerini doğru matematiksel bağıntılarıyla eşleştiriniz.
Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.
8Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.
1. Radyoaktif bir maddenin kütlesinin yarıya inmesi için geçen süreye ömür denir.
2. Depremlerin aletsel büyüklüğünü ölçmek için kullanılan 10 tabanlı logaritmik ölçeğe ölçeği denir.
3. 25 °C’de pH değeri 7’den küçük olan sulu çözeltiler özellik gösterir.
4. Ses şiddeti düzeyinin birimi (dB) olarak adlandırılır.
5. e tabanlı üstel bir denklemde üsteki bilinmeyeni bulmak için eşitliğin her iki tarafının (ln) logaritması alınır.
Önce bütün boşlukları doldurun.
9Bir arkeolojik kazıda bulunan ahşap bir eserdeki Karbon-14 (C-14) oranının, canlı bir ağaçtaki C-14 oranının %25’ine (1/4’üne) düştüğü ölçülmüştür. C-14 izotopunun yarı ömrü T = 5730 yıl olduğuna göre bu ahşap eserin yaşını üstel azalma modeliyle adım adım hesaplayınız.

Kısaca

Üstel Büyüme Modeli: Başlangıç miktarı N0 olan bir nicelik birim zamanda r oranında artıyorsa N(t) = N0 . (1 + r)^t veya sürekli büyümede N(t) = N0 . e^k.t (k > 0) fonksiyonuyla modellenir.
Radyoaktif Yarılanma (Yarı Ömür) Modeli: Başlangıç kütlesi M0 ve yarı ömrü T olan radyoaktif bir maddenin t süre sonunda kalan kütlesi M(t) = M0 . (1/2)^t/T formülüyle hesaplanır.
Richter Deprem Ölçeği: Standart sismograf genliği I0 ve depremin maksimum genliği (yoğunluğu) I iken depremin büyüklüğü M = log(II0) bağıntısıyla bulunur. Büyüklükteki her 1 birimlik artış sarsıntı genliğini 10 katına çıkarır.
pH (Asitlik-Bazlık) Ölçeği: Bir sulu çözeltideki hidrojen iyonu molar derişimi [H+] iken pH = -log[H+] yani [H+] = 10^-pH eşitliği geçerlidir.
Ses Şiddeti Düzeyi (Desibel - dB): İşitme eşiği I0 = 10^-12 W/m² ve ses şiddeti I iken ses düzeyi L = 10 . log(II0) desibel (dB) olarak tanımlanır.

Bu dersin öteki kaynakları

12. Sınıf Matematik Yıllık Planı (2026-2027) Yıllık plan
Matematik Dersi Öğretim Programı (ortaöğretim) Öğretim programı
12. Sınıf Matematik Ortak Yazılı Senaryoları (1. dönem, 2026-2027) Yazılı senaryosu
12. Sınıf Matematik Günlük Planları (2026-2027) Ders planı