Elektriksel Kuvvet ve Elektriksel Alan: Matematiksel Modelin Kurulması, Genellemeler ve Bileşke Alan

Fizikte bir yasaya çoğu zaman tek bir ölçümle değil, birbirine benzeyen çok sayıda gözlemden ortak bir örüntü çıkararak ulaşılır. Tek tek deney sonuçlarından genel bir kurala varan bu düşünme biçimine tümevarımsal akıl yürütme denir. Geçen hafta Coulomb Yasası'nı hazır bir bağıntı olarak tanımıştık; bu hafta aynı bağıntının ölçüm verilerinden adım adım nasıl kurulabileceğini, yani elektriksel kuvvetin matematiksel modelini kendimiz inşa etmeyi deneyeceğiz.

Elektriksel kuvveti etkileyebilecek değişkenler yüklerin büyüklükleri (q1, q2), yükler arası uzaklık (d) ve yüklerin bulunduğu ortamdır. Sağlıklı bir model için değişken kontrolü şarttır: Her deneyde yalnız bir değişken değiştirilir, diğerleri sabit tutulur. Uzaklık sabitken q1 iki katına çıkarıldığında kuvvet de iki katına çıkıyorsa F ile q1 arasında doğru orantı vardır; aynı durum q2 için de gözlenir. Yükler sabitken uzaklık iki katına çıkınca kuvvet dörtte bire, üç katına çıkınca dokuzda bire iniyorsa kuvvet uzaklığın karesiyle ters orantılıdır.

Bu üç ilişki birleştirildiğinde F ∝ q1·q2d² sonucuna ulaşılır. Orantıyı eşitliğe çevirmek için bir sabit gerekir: Her deneyde F·d² çarpımı q1·q2 çarpımına bölündüğünde hep aynı sayı elde ediliyorsa bu sayı orantı sabitidir. Havada yapılan ölçümlerde bu sabit yaklaşık 9·10⁹ N·m²/C² çıkar ve Coulomb sabiti (k) olarak adlandırılır. Böylece model F = k·|q1|·|q2|d² biçimini alır. Aşağıdaki tabloda hava ortamında yapılmış beş ölçümün bu sürece nasıl yol gösterdiği görülmektedir.

Birçok soruda yüklerin ve uzaklıkların gerçek değerleri verilmez; yalnız 'iki katına çıkarılırsa', 'yarıya indirilirse' gibi değişiklikler söylenir. Bu durumda k sabitini hiç kullanmadan orantı yöntemiyle sonuca ulaşılır: F'F = q1'·q2'q1·q2 · d²d'² yazılır. Örneğin yüklerden biri üç katına çıkarılıp uzaklık da üç katına çıkarılırsa kuvvet 3 · 19 = 13 katına, yani F3 değerine iner. Bu yöntem modelin gücünü gösterir: Sabit ne olursa olsun değişkenler arasındaki ilişki korunur.

Modeli grafiklerle de genelleyebiliriz. Uzaklık sabitken F–q grafiği orijinden geçen bir doğrudur; bu doğrusal görünüm doğru orantının işaretidir. Yükler sabitken F–d grafiği ise uzaklık arttıkça hızla azalan bir eğri verir: d iki katına çıktığında kuvvet dörtte bire iner, eğri yatay eksene yaklaşır ama onu hiçbir zaman kesmez. Eğri biçimindeki bir grafikten orantının türünü doğrudan okumak zor olduğundan yatay eksene d yerine 1d² yazılır; bu kez grafik yeniden orijinden geçen bir doğruya dönüşür. Bu doğrunun eğimi k·q1·q2 çarpımına eşittir; yani eğimden yükler veya Coulomb sabiti hesaplanabilir.

Modelden çıkarılabilecek genellemeler şunlardır: (1) Aynı yük çifti için F·d² çarpımı sabittir. (2) Kuvvet hiçbir sonlu uzaklıkta tam olarak sıfır olmaz; yalnız ihmal edilebilecek kadar küçülür. (3) Model noktasal yükler için kurulmuştur; düzgün yüklü küreler birbirinden yeterince uzaksa uzaklık merkezler arasından ölçülerek aynı bağıntı kullanılabilir. (4) Kuvvetler etki-tepki çifti olduğundan yüklerden yalnız biri değiştirilse bile iki yüke etki eden kuvvetin büyüklüğü birlikte ve eşit olarak değişir.

Coulomb modelini kurduktan sonra onu daha önce tanıdığımız Newton'un evrensel kütle çekim yasasıyla (F = G·m1·m2d²) karşılaştırmak güçlü bir genellemeye kapı açar. İki model de ters kare biçimindedir: Kuvvet uzaklığın karesiyle ters orantılıdır, iki cismi birleştiren doğru boyunca etki eder ve birbirine eşit büyüklükte, zıt yönlü bir etki-tepki çifti oluşturur. Bu benzerlik, doğadaki uzaktan etkili kuvvetlerin ortak bir matematiksel dili olduğunu düşündürür.

İki model arasında önemli farklar da vardır. Kütle çekim kuvvetinin kaynağı kütle, elektriksel kuvvetin kaynağı elektrik yüküdür. Kütle hep pozitif olduğundan kütle çekimi yalnız çekme yapar; elektrik yükü ise pozitif ya da negatif olabildiğinden elektriksel kuvvet itme veya çekme şeklinde ortaya çıkar. Ayrıca Coulomb sabiti yüklerin bulunduğu ortama bağlıdır; kütle çekim sabiti G = 6,67·10^-11 N·m²/kg² ise ortamdan etkilenmez.

Büyüklük farkı ise şaşırtıcıdır. Hidrojen atomunda proton ile elektron arasındaki elektriksel kuvvet, aralarındaki kütle çekim kuvvetinin yaklaşık 2,3·10³⁹ katıdır. Peki günlük hayatta neden çoğunlukla kütle çekimini hissederiz? Çünkü madde büyük ölçüde elektrikçe nötrdür: Pozitif ve negatif yükler etkilerini neredeyse tamamen birbirine götürür. Kütle ise negatif olamadığından kütle çekimi büyük cisimlerde birikerek gezegen ölçeğinde baskın hâle gelir. Buna karşılık atomları ve molekülleri bir arada tutan, sürtünmeyi, yüzeylerin tepki kuvvetini ve ipteki gerilmeyi oluşturan etkilerin kökeni elektrikseldir.

Geçen hafta bileşke kuvveti paralelkenar yöntemiyle ve 60°, 90°, 120° gibi özel açılar için pratik kurallarla bulmuştuk. Yükler düzlemde gelişigüzel dağıldığında en güvenilir yol bileşenlere ayırma yöntemidir. Önce her kuvvetin yönü itme-çekme kuralına göre belirlenir ve büyüklüğü Coulomb modeliyle hesaplanır. Sonra her kuvvet vektörü yatay (x) ve düşey (y) bileşenlerine ayrılır: x eksenine θ açısı yapan bir kuvvet için F_x = F·cos θ ve F_y = F·sin θ olur. Son olarak aynı eksendeki bileşenler, eksenin pozitif ve negatif yönleri dikkate alınarak toplanır.

Toplam bileşenler bulunduğunda bileşke kuvvetin büyüklüğü F_net = (ΣF_x)² + (ΣF_y)² bağıntısıyla, yönü ise tan α = ΣF_yΣF_x bağıntısıyla bulunur. Fizik problemlerinde sık karşılaşılan 3-4-5 dik üçgeninde sin 37° = 0,6 ve cos 37° = 0,8 alınır. Yükler bir dik üçgenin köşelerinde bulunduğunda dik kenarlar boyunca etki eden iki kuvvet zaten birbirine diktir; bu durumda bileşke doğrudan Pisagor bağıntısıyla hesaplanır.

Simetri, modelden yapılabilecek en güçlü genellemelerden biridir. Bir karenin dört köşesine eşit büyüklükte ve aynı işaretli yükler konduğunda merkezdeki deneme yüküne etki eden kuvvetler karşılıklı olarak birbirini götürür ve bileşke kuvvet sıfır olur. Aynı sonuç eşkenar üçgenin, düzgün altıgenin ya da herhangi bir düzgün çokgenin köşelerindeki eşit yükler için de geçerlidir. Çünkü bu düzenlerde her kuvvetin, merkeze göre simetrik konumdaki yüklerden gelen kuvvetlerle dengelenen bir karşılığı vardır.

Elektrik alan, E = Fq0 tanımı gereği birim pozitif yüke düşen kuvvettir. Coulomb modelinde F, deneme yükü q0 ile doğru orantılı olduğundan bu oranda q0 sadeleşir ve noktasal yük için E = k·|q|d² kalır. Buradan çok önemli bir genelleme çıkar: Bir noktadaki elektrik alan, oraya konulan deneme yükünden bağımsızdır; yalnız alanı oluşturan kaynak yüke ve o yükten uzaklığa bağlıdır. Deneme yükü iki katına çıkarılırsa ona etki eden kuvvet iki katına çıkar, ama oran yani alan değişmez.

Ortamda birden fazla yük varsa bir noktadaki bileşke elektrik alan, her yükün o noktada tek başına oluşturduğu alan vektörlerinin vektörel toplamıdır (süperpozisyon ilkesi). Her alanın yönü, o noktaya +1 C konulmuş gibi düşünülerek bulunur: Pozitif yükün alanı yükten dışarı, negatif yükün alanı yüke doğrudur. Örneğin aralarında d uzaklık bulunan eşit +q ve +q yüklerinin tam orta noktasında iki alan eşit büyüklükte ve zıt yönlü olduğundan bileşke alan sıfırdır. Aynı noktada yüklerden biri −q olsaydı iki alan da −q yüküne doğru yönelir ve toplanırdı: Her biri k·q(d/2)² = 4k·qd² olduğundan bileşke alan 8k·qd² olur.

Bu örneklerden genellemeler çıkarabiliriz. Eşit ve aynı işaretli iki yükün orta dikmesi üzerindeki her noktada alan, dikme doğrultusunda yönelir; çünkü yükleri birleştiren doğrultudaki bileşenler birbirini götürür. Eşit ve zıt işaretli iki yükün orta dikmesi üzerinde ise alan, yükleri birleştiren doğruya paralel ve negatif yüke doğrudur. Bileşke alan bir kez bulunduğunda o noktaya konulacak her yükün kuvveti ayrı ayrı hesap yapmadan F = q·E ile bulunur; elektrik alan modelinin asıl kolaylığı buradadır.

Noktasal yükün alan modeli E = k·|q|d² de tıpkı kuvvet modeli gibi tümevarımla genellenebilir: Uzaklık sabitken alan, kaynak yükle doğru orantılıdır; kaynak yük sabitken alan uzaklığın karesiyle ters orantılıdır. Dolayısıyla aynı yük için E·d² çarpımı sabittir; uzaklık iki katına çıkınca alan dörtte bire, yarıya inince dört katına çıkar. E–d grafiği F–d grafiği gibi hızla azalan bir eğri, E–1d² grafiği ise eğimi k·|q| olan bir doğrudur.

Alanın bilindiği bir bölgeye q yüklü ve m kütleli bir parçacık bırakıldığında ona F = |q|·E büyüklüğünde kuvvet etki eder. Newton'un ikinci yasasından parçacığın ivmesi a = |q|·Em bulunur. Büyüklüğü ve yönü her noktada aynı olan alana düzgün elektrik alan denir; böyle bir alanda kuvvet sabit olduğundan parçacık sabit ivmeli hareket yapar. Aynı düzgün alana bırakılan proton ve elektronun yük büyüklükleri eşit olduğundan kuvvetleri de eşit büyüklüktedir; ancak proton alan yönünde, elektron alana zıt yönde itilir. Elektronun kütlesi protonunkinin yaklaşık 1836'da biri olduğundan elektronun ivmesi yaklaşık 1836 kat büyüktür.

Yüklü bir parçacığa elektriksel kuvvetin yanında ağırlığı da etki eder. Küçük yüklü bir yağ damlası, düşey bir elektrik alanda elektriksel kuvvet yukarı yönlü ve büyüklüğü ağırlığa eşit olacak şekilde ayarlanırsa havada asılı kalır: |q|·E = m·g. Bu denge koşulundan damlanın yükü q = m·gE olarak hesaplanır. 20. yüzyılın başında Robert Millikan bu düşünceye dayanan deneylerle ölçtüğü bütün yüklerin temel yük e = 1,6·10^-19 C'nin tam katları olduğunu göstermiştir: q = n·e (n tam sayı). Bu sonuç, elektrik yükünün parçalı (kuantumlu) olduğuna dair güçlü bir genellemedir.