Bir cismin çembersel yörüngede kalabilmesi için merkeze yönelik net bir kuvvete (merkezcil kuvvet) ihtiyaç vardır. Günlük yaşamda araçların yatay ve eğimli virajları güvenle dönmesi, motosikletlerin düşey silindirde düşmeden dolanması ve lunapark trenlerinin düşey raylarda çember çizmesi; sürtünme kuvveti, yüzeyin normal kuvveti, ip gerilmesi ve ağırlığın bileşkesinin merkezcil kuvveti oluşturmasıyla açıklanır.
Yatay, Eğimli ve Düşey Silindirik Virajlarda Güvenli Dönüş Şartları
Yatay virajda r yarıçaplı çembersel yolu v süratiyle dönen m kütleli bir araca düşeyde ağırlık (G = m · g) ve yüzey tepkisi (N = m · g) etki ederken, aracı viraj merkezine doğru tutan merkezcil kuvvet tekerleklerle yol arasındaki statik sürtünme kuvvetidir (Fs = Fmerkezcil). Aracın savrulmadan virajı dönebilmesi için Fmerkezcil ≤ Fs,max yani m · v²r ≤ k · m · g olmalıdır. Kütle (m) sadeleştiğinde güvenli dönüş için en büyük sürat vmax = olarak bulunur; bu hız sınırı aracın kütlesine bağlı değildir.
Sürtünmesiz eğimli virajda yatayla α açısı yapan yolda araca etki eden yüzeyin normal kuvvetinin (N) düşey bileşeni ağırlığı dengelerken (N · cos(α) = m · g), yatay bileşeni merkezcil kuvveti oluşturur (N · sin(α) = m · v²r). İki denklem oranlandığında tan(α) = v²g · r ve güvenli dönüş sürati v = elde edilir.
Düşey silindirik virajda (ölüm kuyusunda) r yarıçaplı düşey silindir iç yüzeyinde dönen motosikletlinin aşağı kaymaması için düşeydeki statik sürtünme kuvveti ağırlığa eşit veya büyük olmalıdır (Fs ≥ m · g). Silindir duvarının cisme uyguladığı normal kuvvet doğrudan merkezcil kuvvettir (N = m · v²r). Fs,max = k · N bağıntısından k · m · v²r ≥ m · g yazılır ve düşmeden dönmek için gereken en küçük sürat vmin = olarak modellenir.
Düşey Düzlemde İp Ucunda Çembersel Hareket ve İp Gerilmesi
Bir ipin ucuna bağlanan m kütleli cisim düşey düzlemde r yarıçaplı çembersel yörüngede döndürüldüğünde, ağırlık vektörü (G = m · g) daima düşey aşağı yönlü olduğu için yörüngenin farklı noktalarında ip gerilme kuvvetinin (T) büyüklüğü sürekli değişir.
En üst (tepe) noktada hem ip gerilmesi (Tüst) hem de ağırlık (m · g) çemberin merkezine (aşağı) doğrudur: Fmerkezcil = Tüst + m · g olduğundan Tüst = m · v²r - m · g olur. Dolayısıyla düşey düzlemde ip gerilmesinin en küçük (minimum) olduğu yer tepe noktasıdır. Cismin tepe noktasından düşmeden çembersel yörüngeyi tamamlayabilmesi için Tüst ≥ 0 şartından kritik hız vmin = olmalıdır.
En alt noktada ip gerilmesi (Talt) merkeze (yukarı) doğru, ağırlık (m · g) ise merkezden dışa (aşağı) doğrudur: Fmerkezcil = Talt - m · g olduğundan Talt = m · v²r + m · g bulunur ve ip gerilmesi en büyük (maksimum) değerini alır. Yatay hizadaki yan noktalarda ise ağırlık yarıçap doğrultusuna dik olduğu için merkezcil kuvvete katılmaz ve Tyan = m · v²r olur. İpin düşeyle α açısı yaptığı herhangi bir alt konumda ise T = m · v²r + m · g · cos(α) bağıntısı geçerlidir.
Düşey Rayda (Loop) Tepki Kuvveti ve Tümsek Köprü Uygulamaları
Lunaparklardaki çember biçimli düşey raylarda (loop) hareket eden bir vagon veya bilye için ip gerilmesinin yerini rayın cisme uyguladığı normal tepki kuvveti (N) alır. Çemberin iç yüzeyinde dolanan cisim için en alt noktada Nalt = m · v²r + m · g, en üst (tepe) noktada ise Nüst = m · v²r - m · g bağıntısı geçerlidir. Cismin rayın tepe noktasından raydan ayrılmadan (düşmeden) geçebilmesi için Nüst ≥ 0 olmalı, yani tepe noktasındaki sürati en az vmin = değerine ulaşmalıdır.
Bir aracın r eğrilik yarıçaplı dışbükey (tümsek) bir köprünün en üst noktasından v süratiyle geçtiği durumda ise çemberin merkezi köprünün altındadır. Bu konumda ağırlık (m · g) merkeze doğru, köprünün tepki kuvveti (N) ise yukarı (merkezden dışa) doğrudur. Merkezcil kuvvet denklemi Fmerkezcil = m · g - N şeklinde yazılır ve yüzey tepkisi N = m · g - m · v²r olur.
Tümsek köprüde aracın sürati arttıkça yüzey tepki kuvveti (N) azalır; eğer aracın sürati v = değerini aşarsa N = 0 olur ve araç köprü yüzeyinden kesilerek havalanır. Buna karşılık içbükey (çukur) bir köprünün en alt noktasından geçen araçta N = m · g + m · v²r olduğundan yüzey tepkisi aracın ağırlığından büyüktür.
Örnekler
Örnek 1Yatay düzlemdeki 50 m yarıçaplı bir virajda tekerlekler ile yol arasındaki statik sürtünme katsayısı k = 0,5'tir. Bir otomobilin bu virajı savrulmadan dönebileceği en büyük çizgisel sürat kaç m/s'dir? (g = 10 m/s² alınız.)
Cevabı göster
Yatay virajda güvenli dönüş şartı Fmerkezcil ≤ Fs,max yani m · v² / r ≤ k · m · g bağıntısıdır. Buradan vmax = = = m/s veya k = 0,5 ve r = 50 m için v² = 250 olur. Eğer r = 45 m ve k = 0,5 olsaydı vmax = 15 m/s olurdu; verilen değerlerle vmax = = 5 m/s bulunur.
Örnek 2Sürtünmesiz eğimli bir virajın eğrilik yarıçapı r = 120 m ve eğim açısı α = 37°'dir. Aracın bu virajı güvenli bir şekilde dönebilmesi için sürati kaç m/s olmalıdır? (g = 10 m/s², tan37° = 0,75 alınız.)
Cevabı göster
Sürtünmesiz eğimli virajda güvenli dönüş sürati v = bağıntısıyla hesaplanır. Verilen değerler yerine konulduğunda v = = = 30 m/s olarak bulunur.
Örnek 3Yarıçapı r = 4 m olan düşey silindirik bir platformun iç yüzeyinde motosikletiyle yatay çembersel hareket yapan bir göstericinin aşağı kaymaması için sürati en az kaç m/s olmalıdır? (k = 0,4 ve g = 10 m/s² alınız.)
Cevabı göster
Düşey silindirde aşağı kaymama şartı Fs,max ≥ m · g yani k · (m · v² / r) ≥ m · g bağıntısıdır. Buradan v² ≥ g · r / k = (10 · 4) / 0,4 = 100 elde edilir ve en küçük güvenli sürat vmin = = 10 m/s olur.
Örnek 4Kütlesi m = 2 kg olan bir cisim, 1 m uzunluğundaki ipin ucunda düşey düzlemde sabit 4 m/s çizgisel süratle döndürülmektedir. Cismin yörüngenin en üst ve en alt noktalarından geçerken ipte oluşan gerilme kuvvetleri (Tüst ve Talt) kaç N'dır? (g = 10 m/s²)
Cevabı göster
Önce merkezcil kuvvet hesaplanır: Fmerkezcil = m · v² / r = 2 · (4)² / 1 = 32 N ve cismin ağırlığı G = m · g = 2 · 10 = 20 N'dır. En üst noktada Tüst = Fmerkezcil - G = 32 - 20 = 12 N; en alt noktada ise Talt = Fmerkezcil + G = 32 + 20 = 52 N bulunur.
Örnek 5Düşey kesiti çember biçiminde olan r = 2,5 m yarıçaplı sürtünmesiz bir rayın tepe noktasından bir oyuncak arabanın raydan ayrılmadan geçebilmesi için tepe noktasındaki çizgisel sürati en az kaç m/s olmalıdır? (g = 10 m/s²)
Cevabı göster
Rayın tepe noktasında Nüst = (m · v² / r) - m · g bağıntısı geçerlidir. Arabanın raydan ayrılmaması için kritik durumda Nüst = 0 alınır ve vmin = = = = 5 m/s olarak hesaplanır.
Örnek 6Eğrilik yarıçapı r = 40 m olan dışbükey (tümsek) bir köprünün en üst noktasından 10 m/s süratle geçen 1.000 kg kütleli bir otomobile köprü yüzeyinin uyguladığı tepki kuvveti kaç N'dır? (g = 10 m/s²)
Cevabı göster
Tümsek köprünün en üst noktasında yüzey tepki kuvveti N = m · g - (m · v² / r) bağıntısıyla bulunur. Aracın ağırlığı m · g = 1.000 · 10 = 10.000 N ve merkezcil kuvvet m · v² / r = 1.000 · (10)² / 40 = 2.500 N olduğundan, N = 10.000 - 2.500 = 7.500 N olur.
Kavram Kartları
1 / 8
Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.
Etkinlikler
Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.
1Yatay ve kuru bir yolda r yarıçaplı çembersel viraja giren m kütleli bir otomobilin virajı savrulmadan dönebileceği maksimum sürati (vmax) artırmak için aşağıdakilerden hangisi yapılmalıdır?
Yatay virajda vmax = olduğundan kütleye bağlı değildir; sürtünme katsayısı (k) ve yarıçap (r) artırıldığında güvenli hız sınırı artar.
2Bir ipin ucuna bağlı m kütleli cisim düşey düzlemde sabit büyüklükteki çizgisel süratle düzgün çembersel hareket yapmaktadır. Cisim yörüngenin en üst (K), yatay yan (L) ve en alt (M) noktalarından geçerken ipte oluşan gerilme kuvvetlerinin büyüklükleri arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisidir?
En alt noktada TM = Fm + mg (maksimum), yatay yan noktada TL = Fm, en üst noktada ise TK = Fm - mg (minimum) olduğundan TM > TL > TK olur.
3Sürtünmesiz eğimli bir virajda yatayla α açısı yapan r = 30 m yarıçaplı yolda, bir aracın 15 m/s süratle savrulmadan dönebilmesi için yolun eğim açısının tanjantı (tan α) kaç olmalıdır? (g = 10 m/s² alınız.)
Eğimli viraj bağıntısı tan(α) = v² / (g · r) olduğundan tan(α) = (15)² / (10 · 30) = 225 / 300 = 0,75 bulunur.
4Kütlesi 1 kg olan bir cisim, 2 m uzunluğundaki ipin ucunda düşey düzlemde sabit 6 m/s süratle döndürülmektedir. Cisim yörüngenin en alt noktasından geçerken ipte oluşan gerilme kuvveti kaç N'dır? (g = 10 m/s² alınız.)
En alt noktada Talt = (m · v² / r) + m · g = (1 · 36 / 2) + (1 · 10) = 18 + 10 = 28 N olarak hesaplanır.
5
- Yatay bir virajda güvenli dönüş için maksimum sürat aracın kütlesine bağlı olmayıp sürtünme katsayısı, çekim ivmesi ve yarıçapa bağlıdır.
- Düşey düzlemde düzgün çembersel hareket yapan bir cisimde ipin kopma ihtimalinin en yüksek olduğu yer yörüngenin en üst noktasıdır.
- Sürtünmesiz eğimli virajda merkezcil kuvveti, yüzeyin normal kuvvetinin yatay bileşeni (N · sinα) oluşturur.
- Dışbükey (tümsek) bir köprünün en üst noktasından geçen araca yüzeyin uyguladığı tepki kuvveti aracın ağırlığından küçüktür.
- Serbest cisim diyagramı çizilirken cisme etki eden gerçek kuvvetlerin yanı sıra merkezcil kuvvet de ayrı bir vektör olarak gösterilir.
- Yatay bir virajda güvenli dönüş için maksimum sürat aracın kütlesine bağlı olmayıp sürtünme katsayısı, çekim ivmesi ve yarıçapa bağlıdır.
6
Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.
7
- Yatay bir viraja giren aracın savrulmadan dönebilmesi için merkezcil kuvvet görevini sürtünme kuvveti üstlenir.
- Düşey düzlemde sabit süratle döndürülen bir cisimde en alt ve en üst noktalar arasındaki ip gerilmesi farkı ağırlığın katına eşittir.
- Düşey rayın (loop) tepe noktasından geçen cismin düşmemesi için sürati en az büyüklüğünde olmalıdır.
- İçbükey (çukur) bir köprünün en alt noktasından geçen araca yüzeyin uyguladığı normal tepki kuvveti aracın ağırlığından olur.
- Düşey silindir içinde dönen motosikletliye duvarın uyguladığı kuvvet doğrudan merkezcil kuvvete eşittir.
Önce bütün boşlukları doldurun.
8Düşey düzlemde ip ucunda sabit süratle döndürülen m kütleli bir cismin en üst, yatay yan ve en alt noktalarındaki serbest cisim diyagramlarını düşünerek ip gerilmesi bağıntılarının nasıl çıkarıldığını açıklayınız.
1. ipucu: En üst noktada Tüst ve m · g vektörlerinin aynı yönlü (merkeze doğru) olduğunu belirtiniz.
2. ipucu: Yatay yan noktada ağırlık vektörünün ip doğrultusuna dik olduğunu açıklayınız.
3. ipucu: En alt noktada Talt ve m · g vektörlerinin zıt yönlü olduğunu ve Talt'ın maksimum çıktığını vurgulayınız.
Cevap: Çembersel harekette merkeze yönelik net kuvvet merkezcil kuvvete (Fm = m · v² / r) eşittir. En üst noktada hem ip gerilmesi (Tüst) hem de ağırlık (m · g) merkeze (aşağı) doğru olduğundan Fm = Tüst + m · g yazılır ve Tüst = Fm - m · g bulunur. Yatay yan noktada ağırlık yarıçapa dik olduğu için merkezcil kuvvete katılmaz ve Tyan = Fm olur. En alt noktada ise Talt merkeze (yukarı), ağırlık ise dışa (aşağı) doğru olduğundan Fm = Talt - m · g yazılır ve Talt = Fm + m · g elde edilir.
Kısaca
- Yatay virajda merkezcil kuvveti statik sürtünme sağlar ve güvenli maksimum sürat vmax = bağıntısıyla bulunur.
- Sürtünmesiz eğimli virajda güvenli dönüş sürati v = , düşey silindirde ise düşmeme sürati vmin = şeklindedir.
- Düşey düzlemde çembersel harekette en üst noktada ip gerilmesi minimum (Tüst = Fm - mg), en alt noktada ise maksimumdur (Talt = Fm + mg).
- Düşey rayın (loop) tepe noktasından cismin raydan ayrılmadan geçebilmesi için kritik hız sınırı vmin = değeridir.
- Dışbükey (tümsek) köprü tepesinde yüzey tepkisi N = mg - Fm iken, içbükey (çukur) köprü tabanında N = mg + Fm olur.
Bu dersin öteki kaynakları
- 11. Sınıf Fizik Yıllık Planı (2026-2027) Yıllık plan
- Fizik Dersi Öğretim Programı (ortaöğretim) Öğretim programı
- 11. Sınıf Fizik Ortak Yazılı Senaryoları (1. dönem, 2026-2027) Yazılı senaryosu
- Fizik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı Ders kitabı
- 11. Sınıf Fizik Günlük Planları (2026-2027) Ders planı