Gerçek Sayılarda Fonksiyonların Temsillerini Karşılaştırma ve Karesel Referans Fonksiyon f(x) = x² ile Nitel Özellikleri

Bir fonksiyonu tanımak, onun yalnız kuralını bilmek değildir; aynı fonksiyonun cebirsel temsili (kuralı), grafik temsili ve tablo temsili aynı nitel özellikleri farklı biçimlerde anlatır. Örneğin f(x) = 2x − 4 kuralında x yerine 2 yazınca 0 elde etmemiz cebirsel olarak sıfırı verir; grafikte ise doğrunun x eksenini (2, 0) noktasında kesmesi aynı bilgiyi görsel olarak sunar. Bu hafta üç farklı fonksiyonu yan yana koyup tanım kümesi, görüntü kümesi, işaret, artanlık-azalanlık, ekstremum, sıfır, bire birlik, tek-çiftlik ve örtenlik bakımından karşılaştırıyoruz.

Karşılaştırma tablosuna bakınca bazı örüntüler hemen göze çarpar. Tüm tanım kümesinde artan olan f(x) = 2x − 4 ve h(x) = x³ fonksiyonları bire birdir; çünkü x büyüdükçe görüntü de büyüdüğünden iki farklı x aynı görüntüye gidemez. Buna karşılık g(x) = |x| fonksiyonu önce azalıp sonra arttığı için bir minimum noktasına sahiptir ve g(−1) = g(1) = 1 olduğundan bire bir değildir. Buradan şu yargıya varırız: Bir fonksiyonun grafiği bir aralıkta yön değiştiriyorsa (tepe ya da çukur oluşuyorsa) fonksiyon o aralıkta bire bir olamaz.

Grafikten yapılan gözlemler hızlı ve sezgiseldir, ancak kesin bir yargı için cebirsel doğrulama gerekir. Örneğin h(x) = x³ grafiğinin orijine göre simetrik göründüğünü fark ederiz; bunu h(−x) = (−x)³ = −x³ = −h(x) eşitliğiyle ispatladığımızda yargımız kesinleşir. Aynı şekilde g(−x) = |−x| = |x| = g(x) olduğundan g çift fonksiyondur. Bu bölümde edindiğimiz karşılaştırma alışkanlığı, haftanın devamında karesel fonksiyonları incelerken temel aracımız olacak.

Gerçek sayılarda her sayıyı karesine götüren f: ℝ → ℝ, f(x) = x² fonksiyonuna karesel referans fonksiyon denir. "Referans" denmesinin sebebi, ilerleyen haftalarda göreceğimiz bütün karesel fonksiyonların bu fonksiyonun grafiği üzerinde yapılan kaydırma, uzatma ve yansıtma işlemleriyle elde edilmesidir. Değer tablosunu oluşturalım: f(−3) = 9, f(−2) = 4, f(−1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9. Bu noktaları koordinat düzleminde işaretleyip birleştirdiğimizde ortaya çıkan, U harfine benzeyen düzgün eğriye parabol denir.

Tablodaki ilk dikkat çekici durum, zıt işaretli sayıların aynı görüntüye sahip olmasıdır: (−2, 4) ile (2, 4), (−3, 9) ile (3, 9) noktaları y eksenine göre birbirinin simetriğidir. Bu nedenle y ekseni (x = 0 doğrusu) parabolün simetri eksenidir. Parabolün simetri ekseni üzerindeki en alt noktası olan T(0, 0) noktasına tepe noktası denir. İkinci gözlem ise 0 ile 1 arasındaki sayılarda karşımıza çıkar: f(12) = 14 olduğundan bu aralıkta bir sayının karesi kendisinden küçüktür; bu yüzden parabol orijin yakınında x eksenine çok yaklaşarak yassılaşır, 1'den sonra ise hızla dikleşir.

Bir sayısal örüntü daha arayalım: Ardışık doğal sayıların kareleri 0, 1, 4, 9, 16, 25 olup aralarındaki farklar 1, 3, 5, 7, 9 şeklinde ardışık tek sayılardır. Bu gözlemi genelleyelim ve cebirsel olarak ispatlayalım: f(n + 1) − f(n) = (n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1. Farkların sürekli 2'şer artması, x büyüdükçe grafiğin giderek dikleştiğini, yani fonksiyonun artış hızının da arttığını gösterir. Bu genelleme, grafikte gördüğümüz "dikleşme" gözleminin cebirsel doğrulamasıdır.

Geçen hafta öğrendiğimiz nitel özellik listesini şimdi f(x) = x² fonksiyonuna uygulayalım. Tanım kümesi ℝ'dir, çünkü her gerçek sayının karesi alınabilir. Hiçbir gerçek sayının karesi negatif olmadığı ve her negatif olmayan y sayısı için x² = y eşitliğini sağlayan x = y bulunduğu için görüntü kümesi [0, ∞) aralığıdır. Buna bağlı olarak fonksiyonun işareti: x ≠ 0 için f(x) > 0, x = 0 için f(x) = 0'dır; grafik hiçbir zaman x ekseninin altına inmez. f(x) = 0 denkleminin tek çözümü x = 0 olduğundan fonksiyonun tek sıfırı 0'dır ve parabol x eksenine orijinde teğettir.

Artanlık-azalanlık için cebirsel bir ispat yapalım. 0 ≤ x₁ < x₂ olsun. Bu durumda f(x₂) − f(x₁) = x²₂ yerine açık yazarsak (x₂ − x₁) · (x₂ + x₁) çarpımına eşittir. İlk çarpan pozitif (x₂ > x₁), ikinci çarpan pozitiftir (x₂ > 0, x₁ ≥ 0). Çarpım pozitif olduğundan f(x₁) < f(x₂) olur; yani fonksiyon [0, ∞) aralığında artandır. x₁ < x₂ ≤ 0 alındığında ikinci çarpan negatif olacağından fonksiyon (−∞, 0] aralığında azalandır. Azalanlıktan artanlığa geçiş x = 0'da gerçekleştiği için minimum noktası T(0, 0), minimum değeri 0'dır; kollar sınırsız yükseldiğinden maksimum değer yoktur.

Son olarak eşleme özelliklerine bakalım. f(−x) = (−x)² = x² = f(x) olduğundan fonksiyon çifttir, grafiği y eksenine göre simetriktir. Bu simetrinin doğal sonucu olarak f(−2) = f(2) = 4 gibi farklı elemanlar aynı görüntüye gider; dolayısıyla f bire bir değildir (y = 4 yatay doğrusu grafiği iki noktada keser). Değer kümesi ℝ alındığında negatif sayılar açıkta kaldığından f: ℝ → ℝ örten değildir, içine fonksiyondur. Bu sonuçları cebirsel temsil (kural), grafik temsil (parabol) ve tablo temsili üzerinde aynı anda doğrulayabiliyor olmamız, nitel özelliklerle temsiller arasındaki güçlü ilişkiyi gösterir.

Bir fonksiyonun nitel özellikleri yalnız kuralına değil, tanım ve değer kümesinin nasıl seçildiğine de bağlıdır. Aynı f(x) = x² kuralı farklı kümelerde farklı davranır. f: ℝ → ℝ için fonksiyon ne bire bir ne örtendir. Değer kümesini görüntü kümesine eşit, yani [0, ∞) seçersek f: ℝ → [0, ∞) fonksiyonu örten olur; ancak −2 ve 2 hâlâ aynı görüntüye gittiği için bire bir değildir. Tanım kümesini parabolün yalnız sağ koluna, [0, ∞) aralığına daraltırsak bu kez fonksiyon bu aralıkta sürekli arttığından bire bir olur.

Bu iki kısıtlamayı birleştirdiğimizde f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x) = x² fonksiyonu hem bire bir hem örten olur. Aynı sonuç sol kol için de geçerlidir: f: (−∞, 0] → [0, ∞) fonksiyonu bu aralıkta sürekli azalan olduğundan bire bir, görüntü kümesi [0, ∞) olduğundan örtendir. Bu yargıyı grafik üzerinde yatay doğru testiyle doğrulayabiliriz: Parabolün yalnız bir kolunu bıraktığımızda y = c (c > 0) doğruları grafiği tam bir noktada keser.

Kapalı aralıkta tanımlı karesel fonksiyonların görüntü kümesi bulunurken yalnız uç noktaların görüntüsüne bakmak yanlış sonuç verebilir. Örneğin f: [−2, 3] → ℝ, f(x) = x² için f(−2) = 4 ve f(3) = 9'dur; fakat tanım aralığı tepe noktasının apsisi olan 0'ı içerdiğinden fonksiyon 0 değerini de alır. Doğru görüntü kümesi [4, 9] değil [0, 9] aralığıdır. Tanım aralığı 0'ı içermiyorsa (örneğin [1, 3]) fonksiyon o aralıkta artan olduğundan görüntü kümesi doğrudan uç değerlerle [1, 9] olarak bulunur.

Referans fonksiyonun her görüntüsüne aynı k sayısını eklersek g(x) = f(x) + k = x² + k fonksiyonunu elde ederiz. Tabloda bu işlem her y değerini k kadar değiştirir; grafikte ise parabolün her noktası (x, y) konumundan (x, y + k) konumuna taşınır. Bu dönüşüme dikey öteleme denir: k > 0 ise parabol k birim yukarı, k < 0 ise |k| birim aşağı kayar. Parabolün şekli, genişliği ve kollarının yönü değişmez; yalnız konumu değişir.

Öteleme sonrasında hangi özelliklerin korunduğunu, hangilerinin değiştiğini ayırt etmek önemlidir. Tanım kümesi (ℝ), simetri ekseni (x = 0), artanlık-azalanlık aralıkları ve çiftlik korunur; çünkü g(−x) = (−x)² + k = x² + k = g(x) olduğundan g de çift fonksiyondur. Buna karşılık tepe noktası (0, 0)'dan (0, k) noktasına, minimum değer 0'dan k'ya, görüntü kümesi [0, ∞)'dan [k, ∞) aralığına geçer.

En çok değişen özellik sıfırlardır. g(x) = 0 için x² = −k denklemini çözeriz. k < 0 ise −k pozitiftir ve iki sıfır vardır: x = −−k ve x = −k. Örneğin g(x) = x² − 3 fonksiyonunun sıfırları −3 ve 3'tür; fonksiyon bu iki sayı arasında negatif, dışında pozitiftir. k = 0 ise tek sıfır x = 0'dır. k > 0 ise x² = −k denkleminin gerçek çözümü olmadığından fonksiyonun sıfırı yoktur; grafik x eksenini hiç kesmez ve fonksiyon her yerde pozitiftir. Bu genellemeyi grafikle doğrulamak kolaydır: Tepe noktası x ekseninin altındaysa yukarı bakan kollar ekseni mutlaka iki kez keser.

Referans fonksiyonun görüntülerini sıfırdan farklı bir a sayısıyla çarparsak g(x) = a · f(x) = a · x² fonksiyonunu elde ederiz. Grafikte her nokta (x, y) konumundan (x, a · y) konumuna gider. |a| > 1 ise görüntüler büyür ve parabol y eksenine yaklaşarak daralır (dikleşir); 0 < |a| < 1 ise görüntüler küçülür ve parabol genişler (yassılaşır). Örneğin x = 2 için x² = 4 iken 2x² = 8 ve 12x² = 2'dir. Tepe noktası her durumda (0, 0) noktasında kalır, çünkü a · 0 = 0'dır.

a < 0 olduğunda ise tüm pozitif görüntüler negatif olur; parabol x eksenine göre yansır ve kolları aşağı bakar. Bu durumda nitel özellikler tersine döner: görüntü kümesi (−∞, 0] olur, tepe noktası (0, 0) artık bir maksimum noktasıdır, maksimum değer 0'dır ve minimum değer yoktur. Artanlık-azalanlık da yer değiştirir: g(x) = −x² fonksiyonu (−∞, 0] aralığında artan, [0, ∞) aralığında azalandır. Bunu ispatlamak için g(x₂) − g(x₁) = −(x₂ − x₁)(x₂ + x₁) eşitliğinde başa gelen eksi işaretinin sonucu ters çevirdiğini görmek yeterlidir. Hangi a seçilirse seçilsin g(−x) = a · (−x)² = g(x) olduğundan fonksiyon çift kalır.

İki dönüşümü birleştirebiliriz: önce a ile çarpıp sonra k ekleyerek g(x) = a · x² + k elde ederiz. Örneğin g(x) = −2x² + 8 fonksiyonunda referans parabol önce 2 kat daralıp ters çevrilir, sonra 8 birim yukarı ötelenir. Tepe noktası (0, 8) maksimum noktası, görüntü kümesi (−∞, 8] olur; −2x² + 8 = 0 denkleminden x² = 4, yani sıfırlar −2 ve 2 bulunur. Bu tür fonksiyonlar kemer, köprü ayağı ya da yukarı atılan bir topun yolu gibi gerçek yaşam bağlamlarında çok kullanışlıdır. Tepe noktasının yatay olarak kaydırıldığı g(x) = a · (x − r)² + k biçimini ise gelecek hafta inceleyeceğiz.