Üçgenin Alanı: Kenar ve Yükseklik Değişiminin Alana Etkisi, Sinüs Alan Formülü ve Benzerlik-Alan İlişkisi

Düzlemde bir ABC üçgeninin kapladığı yüzey miktarı olan üçgenin alanı, seçilen bir kenar uzunluğu ile karşı köşeden o kenara (veya uzantısına) indirilen dik uzaklığın, yani yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. Kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarlara ait yükseklikler sırasıyla h_a, h_b, h_c olan bir üçgende Alan(ABC) = (a . h_a) / 2 = (b . h_b) / 2 = (c . h_c) / 2 eşitliği her zaman sağlanır. Bu eşitlikten anlaşılacağı üzere aynı üçgende daha uzun olan kenara ait yükseklik daha kısa, daha kısa olan kenara ait yükseklik ise daha uzundur. Dar açılı üçgenlerde üç yükseklik de üçgenin iç bölgesinde kesişirken, dik üçgende dik kenarlar birbirinin yüksekliğidir ve alan dik kenarların çarpımının yarısına eşittir. Geniş açılı üçgenlerde ise dar açılar karşısındaki kenarlara ait yükseklikler üçgenin dış bölgesine, yani tabanın uzantısına düşer. Bir üçgende yükseklik sabit tutulup taban uzunluğu k katına çıkarılırsa alan da k katına çıkar; benzer şekilde taban sabit tutulup yükseklik m katına çıkarılırsa alan m katına çıkar.

Geometri problemlerinde iki üçgenin alanlarını karşılaştırırken her zaman ayrı ayrı alan hesaplamak gerekmez. Tepe noktaları ortak ve tabanları aynı doğru üzerinde bulunan (köşadaş) üçgenlerin yükseklikleri eşittir. Yükseklikleri eşit olan iki üçgenin alanları oranı, doğrudan taban uzunlukları oranına eşittir. Örneğin [BC] kenarı üzerinde alınan bir D noktası için ABD ve ADC üçgenlerinin A köşesinden BC doğrusuna indirilen yüksekliği ortaktır; bu durumda Alan(ABD) / Alan(ADC) = |BD| / |DC| olur. Bir üçgende kenarortay, indiği kenarı iki eşit parçaya böldüğü için üçgenin alanını da iki eşit alana ayırır; üç kenarortayın kesişim noktası olan ağırlık merkezi ise üçgeni alanları birbirine eşit 6 küçük üçgene böler. Bir diğer güçlü strateji ise paralel doğrular arasında alan taşıma özelliğidir. Birbirine paralel iki doğru (d1 // d2) arasındaki dik uzaklık her yerde sabittir. Tabanı d2 doğrusu üzerinde sabitlenen [BC] doğru parçası ve tepe noktası d1 doğrusu üzerinde seçilen A1, A2, A3 noktaları için oluşan A1BC, A2BC ve A3BC üçgenlerinin tabanları da yükseklikleri de aynıdır; dolayısıyla tepe noktası paralel doğru boyunca kaydırılsa bile üçgenin alanı değişmez.

Bir üçgende tabana ait yüksekliği doğrudan bilmediğimiz ancak iki kenar uzunluğunu ve bu iki kenar arasındaki açıyı bildiğimiz durumlarda trigonometriden yararlanırız. ABC üçgeninde C köşesinden [AB] kenarına (c) indirilen yükseklik h_c olsun. AHC dik üçgeninde sin(A) = h_c / b bağıntısından h_c = b . sin(A) elde edilir. Bu ifadeyi temel alan formülünde yerine yazdığımızda Sinüs Alan Teoremi ortaya çıkar: Alan(ABC) = (1/2) . b . c . sin(A). Aynı kural diğer köşeler için de geçerlidir: Alan(ABC) = (1/2) . a . c . sin(B) = (1/2) . a . b . sin(C). Sinüs alan formülü özel üçgenlerde ve açıortay/kesişen üçgen sorularında büyük kolaylık sağlar. Örneğin bir kenarı a olan eşkenar üçgende iki kenar arasındaki açı 60 derecedir ve sin(60°) = kök(3) / 2 olduğundan eşkenar üçgenin alanı A = (a² . kök(3)) / 4 olarak bulunur. Ayrıca bütünler iki açının sinüs değerleri birbirine eşit olduğundan (sin(180° - alfa) = sin(alfa)), doğrusal bir kenar üzerindeki komşu bütünler açılara sahip üçgenlerin alanları karşılaştırılırken ortak sinüs değerleri sadeleşir.

Üçgenin alanını kenar uzunlukları ve üçgenin iç teğet çemberiyle ilişkilendiren önemli bir diğer model, iç teğet çember yarıçapı (r) bağıntısıdır. Bir ABC üçgeninin iç açıortaylarının kesim noktası olan I noktası, aynı zamanda üçgenin üç kenarına da içten teğet olan çemberin merkezidir. I merkezinden kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşit olup çemberin yarıçapı olan r değerini verir. I noktası üçgenin A, B ve C köşeleriyle birleştirildiğinde ABC üçgeni; tabanları a, b, c ve yükseklikleri r olan IAB, IBC ve IAC olmak üzere üç ayrı üçgene ayrılır. Bu üç üçgenin alanları toplamı tüm alanı vereceğinden Alan(ABC) = (a . r)/2 + (b . r)/2 + (c . r)/2 = ((a + b + c) / 2) . r elde edilir. Üçgenin çevresinin yarısına yarı çevre (u) denirse (u = (a + b + c) / 2), üçgenin alanı Alan(ABC) = u . r formülüyle kolayca hesaplanır.

İki üçgen arasında benzerlik kurulduğunda (ABC ~ DEF) karşılıklı kenar uzunluklarının, yüksekliklerin, açıortayların, kenarortayların ve çevrelerin oranı sabit bir benzerlik oranına (k) eşittir. Ancak alan iki boyutlu bir büyüklük olduğundan, hem taban uzunluğu k katına hem de o tabana ait yükseklik k katına çıktığında alan k . k = k² katına çıkar. Dolayısıyla benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: Alan(ABC) / Alan(DEF) = (a / d)² = (h_a / h_d)² = k². Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru parçası (Temel Orantı Teoremi), tepede ana üçgene benzer daha küçük bir üçgen oluşturur. Yan kenarlar eşit uzunlukta parçalara bölünerek tabana paralel doğrular çizildiğinde, tepeden aşağıya doğru oluşan üçgenlerin benzerlik oranları 1, 2, 3, 4, ... şeklinde artar. Bu üçgenlerin alanları 1², 2², 3², 4² (yani S, 4S, 9S, 16S) olacağından, paralel şeritler arasında kalan ardışık bölgelerin alanları yukarıdan aşağıya doğru S, 3S, 5S, 7S, ... biçiminde tek sayıların katları olarak ilerler.

Üçgende alan bağıntıları haritacılık, kadastro, mimari tasarım ve şehir bölge planlamada doğrudan kullanılır. Örneğin imar uygulamalarında kırıklı sınır çizgisine sahip iki komşu arsa arasındaki sınırı düzeltirken, hiçbir arsa sahibinin hak kaybına uğramaması için paralel doğrular arasında alan taşıma yöntemi uygulanır; sınır köşesi paralel doğru boyunca taşınarak arsa alanları sabit tutulurken sınır çizgisi düzleştirilir. Harita mühendisliğinde ise 1 / 1000 veya 1 / 5000 gibi ölçekli haritalar üzerinde ölçülen üçgensel bir parselin gerçek arazi alanı hesaplanırken benzerlik-alan ilişkisi devreye girer. Uzunluk ölçeği k olan bir haritada yüzey alanı ölçeği k² olduğundan, harita üzerindeki üçgenin alanı ölçek paydasının karesi ile çarpılarak gerçek metrekare veya hektar değerine dönüştürülür.