İçeriğe geç

10. sınıf · Matematik · 6. hafta (19-23 Ekim 2026)

Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

GEOMETRİK ŞEKİLLER teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Dik üçgenlerde dar açıların trigonometrik oranlarını ve Pisagor bağıntısını kullanarak kenar ve açı hesaplamaları yapabiliyoruz. Peki, dik açısı bulunmayan herhangi bir dar açılı veya geniş açılı üçgende kenar uzunlukları ile açılar arasındaki ilişkiyi nasıl kurarız? Bu haftaki dersimizde, bir üçgenin içine çizilen yükseklik yardımıyla dik üçgen bilgisini tüm üçgenlere genelleyen iki temel aracı, Sinüs Teoremi ve Kosinüs Teoremini ispatlarıyla birlikte öğreneceğiz.

1. Sinüs Teoremi ve Yükseklik Yardımıyla Doğrulanması

Kenar uzunlukları a, b, c birim olan bir ABC üçgeninde A köşesinden [BC] kenarına [AH] dikmesini (h yüksekliğini) indirelim. Oluşan ABH ve ACH dik üçgenlerinde B ve C açılarının sinüs oranlarını yazalım: • ABH dik üçgeninde: sin B = hc olduğundan h = c . sin B bulunur. • ACH dik üçgeninde: sin C = hb olduğundan h = b . sin C bulunur.

Her iki ifadede de h yüksekliği ortak olduğundan c . sin B = b . sin C eşitliği elde edilir. Eşitliğin her iki tarafı sin B . sin C çarpımına bölündüğünde bsin B = csin C bağıntısına ulaşılır. Aynı işlem C köşesinden [AB] kenarına yükseklik indirilerek tekrarlandığında asin A = bsin B bulunur. Böylece her üçgende kenar uzunluklarının karşılarındaki açıların sinüslerine oranının sabit olduğu doğrulanmış olur: asin A = bsin B = csin C = 2R. Burada R, ABC üçgeninin köşelerinden geçen çevrel çemberin yarıçapıdır.

Üçgende Yükseklik Yardımıyla Sinüs Teoreminin DoğrulanmasıABCHcbah_aDik Üçgenlerden Sinüs Teoremine• ABH dik üçgeninde: sin B = h_a / c => h_a = c . sin B• ACH dik üçgeninde: sin C = h_a / b => h_a = b . sin C• İki ifade eşitlenirse: c . sin B = b . sin C• b / sin B = c / sin C = a / sin A = 2R• (R: ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı)

2. Kosinüs Teoremi ve Pisagor Bağıntısından İspatı

Bir ABC üçgeninde iki kenar uzunluğu (a ve b) ile bu iki kenar arasındaki C açısının ölçüsü bilindiğinde c kenarını bulmak için A köşesinden [BC] kenarına [AH] dikmesini (|AH| = h ve |CH| = x) indirelim. ACH dik üçgeninde: • sin C = hb => |AH| = h = b . sin C • cos C = xb => |CH| = x = b . cos C ve geriye kalan parça |BH| = a - b . cos C olur.

Şimdi ABH dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım: c2 = h2 + (a - x)2 = (b . sin C)2 + (a - b . cos C)2 Parantez karelerini açarsak: c2 = b2.sin2C + a2 - 2.a.b.cos C + b2.cos2C b2 ortak çarpan parantezine aldığımızda b2.(sin2C + cos2C) + a2 - 2.a.b.cos C elde edilir. Temel trigonometrik özdeşlik gereği sin2C + cos2C = 1 olduğundan bağıntı c2 = a2 + b2 - 2.a.b.cos C şeklini alır. Aynı kural üçgenin diğer kenarları için de geçerlidir: • a2 = b2 + c2 - 2.b.c.cos A • b2 = a2 + c2 - 2.a.c.cos B

Pisagor Bağıntısından Kosinüs Teoreminin İspatıABCHa - xx = b.cos Cb.sin CKosinüs Teoremi Formülleri• ABH’de Pisagor: c² = (b.sin C)² + (a - b.cos C)²• sin²C + cos²C = 1 özdeşliği kullanıldığında:• c² = a² + b² - 2.a.b.cos C• a² = b² + c² - 2.b.c.cos A• b² = a² + c² - 2.a.c.cos B

3. Problem Çözümünde Hangi Teorem Seçilmelidir?

Geometri sorularında verilen bilgilere göre doğru teoremi seçmek işlem süresini büyük ölçüde kısaltır: 1. Sinüs Teoreminin Tercih Edildiği Durumlar: • Üçgenin iki açısının ölçüsü ve bir kenar uzunluğu biliniyorsa (AÇK / KAA), • İki kenar uzunluğu ve bu kenarlardan birinin karşısındaki açının ölçüsü biliniyorsa (KKA), • Soruda üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı (R) verilmiş veya isteniyorsa.

2. Kosinüs Teoreminin Tercih Edildiği Durumlar: • Üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu iki kenarın arasındaki açının ölçüsü biliniyorsa (KAK) karşıdaki üçüncü kenarı bulmak için, • Üçgenin üç kenar uzunluğu da biliniyorsa (KKK) herhangi bir iç açının kosinüsünü veya ölçüsünü bulmak için kosinüs teoremi kullanılır.

Hangi Durumda Hangi Teorem Kullanılır? (Problem Çözme Rehberi)Sinüs Teoremi Kullanılan Durumlar• İki açı ve bir kenar biliniyorsa (AÇK / KAA)• İki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı biliniyorsa (KKA)• Çevrel çemberin yarıçapı (R) soruluyorsa• Alan = (1/2).a.b.sin C bağıntısıyla alan hesabındaKosinüs Teoremi Kullanılan Durumlar• İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa (KAK) -> Karşıdaki üçüncü kenarı bulmak için• Üç kenar uzunluğu da biliniyorsa (KKK) -> Herhangi bir iç açının kosinüsünü bulmak için• Açı 90° ise cos 90° = 0 olduğundan Pisagor’a dönüşür

4. Sinüs Yardımıyla Üçgenin Alan Bağıntısı

Bir ABC üçgeninde taban uzunluğu a ve bu tabana ait yükseklik h_a iken üçgenin alanı Alan(ABC) = 12 . a . h_a formülüyle hesaplanır. Birinci bölümde gördüğümüz üzere ACH dik üçgeninde h_a = b . sin C eşitliği geçerlidir.

Bu değeri alan formülünde yerine yazdığımızda Sinüs Alan Teoremi elde edilir: • Alan(ABC) = 12 . a . b . sin C = 12 . b . c . sin A = 12 . a . c . sin B Sözlü ifadeyle: Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenar uzunluğunun çarpımı ile bu iki kenar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.

5. Kosinüs Teoremi ile Açı Türü (Dar, Dik, Geniş) Analizi

Kosinüs teoremi (a2 = b2 + c2 - 2.b.c.cos A), bir üçgenin yalnız kenar uzunluklarına bakarak açılarının dar, dik veya geniş olduğunu belirlememizi sağlar: 1. Eğer a2 = b2 + c2 ise cos A = 0 olur ve m(A) = 90° (dik açı) bulunur. 2. Eğer a2 < b2 + c2 ise cos A > 0 olur ve m(A) < 90° (dar açı) bulunur. 3. Eğer a2 > b2 + c2 ise cos A < 0 olur ve m(A) > 90° (geniş açı) bulunur.

Örneğin kenar uzunlukları a = 7, b = 5 ve c = 3 birim olan bir ABC üçgeninde 72 = 49 ve 52 + 32 = 25 + 9 = 34 olduğundan 49 > 34 yani A açısı geniş açıdır. Gerçekten kosinüs teoremini uygularsak: 49 = 25 + 9 - 2.5.3.cos A => 15 = -30.cos A => cos A = -12 => m(A) = 120° olduğu görülür.

Kenar-Açı İlişkisi ve Özel Açıların Trigonometrik DeğerleriDar, Dik ve Geniş Açıda Kosinüs İşareti• m(A) < 90° (Dar açı) => cos A > 0 => a² < b² + c²• m(A) = 90° (Dik açı) => cos 90° = 0 => a² = b² + c²• m(A) > 90° (Geniş açı)=> cos A < 0 => a² > b² + c²• Bütünler açılar: cos(180° - α) = -cos αBütünler Açıların Sinüs Özelliği• sin(180° - α) = sin α (Birbirini 180°’ye tamamlayan iki açının sinüs değerleri birbirine eşittir)• Örnek: sin 120° = sin 60° = kök(3) / 2• Örnek: cos 120° = -cos 60° = -1 / 2

6. Günlük Hayat ve Mühendislik Uygulamaları

Sinüs ve kosinüs teoremleri; haritacılık, denizcilik, havacılık, mimarlık ve astronomide doğrudan ölçülemeyen mesafelerin hesaplanmasında (üçgenleme / triangülasyon yöntemi) yaygın olarak kullanılır. Örneğin aralarında bir göl veya dağ bulunan iki nokta arasındaki tünel uzunluğu, dışarıdaki bir gözlem noktasından bu iki uç noktaya olan uzaklıklar ve aradaki bakış açısı ölçülerek kosinüs teoremiyle kolayca bulunur.

Benzer şekilde sahildeki iki deniz feneri arasındaki mesafe ve bu fenerlerden denizdeki bir gemiye bakış açıları bilindiğinde, geminin kıyıya ve fenerlere olan uzaklığı sinüs teoremi yardımıyla hatasız olarak hesaplanır.

Örnekler

  1. Örnek 1Bir ABC üçgeninde m(B) = 30°, m(C) = 45° ve |AC| = b = 8 cm olduğuna göre |AB| = c kenarının uzunluğu kaç cm’dir?

    Cevabı göster

    İki açı ve bir kenar bilindiği için Sinüs Teoremi uygulanır: bsin B = csin C => 8sin 30° = csin 45°. Değerleri yerine yazalım: sin 30° = 12 ve sin 45° = 2 olduğundan 8 . 2 = c . 2 => 16 = 2c => c = 8 cm bulunur.

  2. Örnek 2Bir ABC üçgeninde |AB| = c = 5 cm, |AC| = b = 8 cm ve m(A) = 60° olduğuna göre |BC| = a kenarının uzunluğu kaç cm’dir?

    Cevabı göster

    İki kenar ve aralarındaki açı bilindiği için Kosinüs Teoremi uygulanır: a2 = b2 + c2 - 2.b.c.cos A => a2 = 82 + 52 - 2 . 8 . 5 . cos 60°. cos 60° = 12 olduğundan a2 = 64 + 25 - 80 . 12 = 89 - 40 = 49 => a = 7 cm bulunur.

  3. Örnek 3Kenar uzunlukları a = br, b = 2 br ve c = 3 br olan bir ABC üçgeninde A açısının ölçüsü kaç derecedir?

    Cevabı göster

    Üç kenar uzunluğu bilindiği için A açısına göre Kosinüs Teoremi yazılır: a2 = b2 + c2 - 2.b.c.cos A => 19 = 4 + 9 - 2 . 2 . 3 . cos A => 19 = 13 - 12 . cos A => 6 = -12 . cos A => cos A = -12 bulunur. Kosinüsü -12 olan geniş açı m(A) = 120°dir.

  4. Örnek 4Bir ABC üçgeninde m(A) = 150° ve |BC| = a = 12 cm olduğuna göre bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı (R) kaç cm’dir?

    Cevabı göster

    Sinüs teoremine göre asin A = 2R eşitliği geçerlidir. sin 150° = sin 30° = 12 olduğundan 121/2 = 2R => 24 = 2R => R = 12 cm bulunur.

  5. Örnek 5Kenar uzunlukları |AB| = 6 cm, |BC| = 10 cm ve m(B) = 120° olan ABC üçgeninin alanı kaç cm2dir?

    Cevabı göster

    Sinüs alan formülüne göre Alan(ABC) = 12 . c . a . sin B = 12 . 6 . 10 . sin 120°. sin 120° = sin 60° = 2 olduğundan Alan(ABC) = 30 . 2 = 15 cm2 bulunur.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Bir ABC üçgeninde |BC| = a = 6 cm ve m(A) = 60° olduğuna göre bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı (R) kaç cm’dir?

  2. 2Bir ABC üçgeninde |AB| = 4 cm, |BC| = 6 cm ve m(B) = 120° olduğuna göre |AC| = b uzunluğu kaç cm’dir?

  3. 3Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları arasında a² = b² + c² + b.c bağıntısı bulunduğuna göre A açısının ölçüsü kaç derecedir?

  4. 4Bir ABC üçgeninde m(A) = 45°, m(C) = 30° ve |AB| = c = 10 cm olduğuna göre |BC| = a uzunluğu kaç cm’dir?

  5. 5Kenar uzunlukları 5 cm, 6 cm ve 7 cm olan bir ABC üçgeninde en büyük iç açının kosinüsü kaçtır?

  6. 6Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Bir üçgende kenar uzunluklarının karşılarındaki açıların sinüslerine oranı çevrel çemberin çapına (2R) eşittir.
    • Kosinüs teoreminde iki kenar arasındaki açı 90° olduğunda teorem Pisagor bağıntısına dönüşür.
    • Birbirini 180°’ye tamamlayan iki açının kosinüs değerleri birbirine eşittir (cos 120° = cos 60°).
    • Üç kenar uzunluğu bilinen bir üçgenin iç açılarından birinin kosinüsünü bulmak için Kosinüs Teoremi kullanılır.
    • Bir ABC üçgeninde a² > b² + c² eşitsizliği sağlanıyorsa A açısı dar açıdır.

  7. 7Aşağıdaki trigonometrik bağıntıları ve değerleri doğru karşılıklarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  8. 8Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.

    1. Bir üçgende iki açı ve bir kenar uzunluğu verildiğinde diğer kenarı bulmak için teoremi kullanılır.
    2. İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı verildiğinde karşı kenarı bulmak için teoremi uygulanır.
    3. Üçgenin üç köşesinden geçen çembere çember adı verilir.
    4. 90° ile 180° arasındaki geniş açıların kosinüs değerleri daima işaretlidir.
    5. Kosinüs teoreminin ispatında sin²C + cos²C = temel trigonometrik özdeşliğinden yararlanılır.

  9. 9Bir ABC üçgeninde |AB| = 3 br, |AC| = 5 br ve |BC| = 7 br olduğuna göre m(A) açısının ölçüsünü kosinüs teoremini kullanarak adım adım bulunuz.

Kısaca

  • Sinüs Teoremi: Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarların karşısındaki açılar A, B, C olmak üzere asin A = bsin B = csin C = 2R eşitliği geçerlidir (R: çevrel çemberin yarıçapı).
  • Sinüs Teoreminin Doğrulanması: A köşesinden BC kenarına indirilen |AH| = h yüksekliği iki dik üçgende ortak dik kenardır: h = c . sin B ve h = b . sin C eşitliğinden bsin B = csin C elde edilir.
  • Kosinüs Teoremi: Herhangi bir üçgende bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından bu iki kenar ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının iki katının çıkarılmasına eşittir: a2 = b2 + c2 - 2.b.c.cos A.
  • Pisagor ile İlişkisi: Kosinüs teoreminde aradaki açı 90° olduğunda cos 90° = 0 olduğundan -2.b.c.cos 90° terimi sıfırlanır ve bağıntı doğrudan a2 = b2 + c2 Pisagor teoremine dönüşür.
  • Bütünler Açılarda Trigonometrik Değerler: Birbirini 180°’ye tamamlayan açılarda sin(180° - α) = sin α iken, cos(180° - α) = -cos α eşitliği geçerlidir.
  • Teorem Seçim Kriteri: İki açı ve bir kenar (AÇK) veya çevrel çember yarıçapı verildiğinde Sinüs Teoremi; iki kenar ve aralarındaki açı (KAK) veya üç kenar (KKK) verildiğinde Kosinüs Teoremi kullanılır.

Bu dersin öteki kaynakları