İçeriğe geç

10. sınıf · Matematik · 7. hafta (26-30 Ekim 2026)

İki Kategorik Değişkenli Veriler: İki Yönlü Sıklık Tabloları, Koşullu Göreli Sıklık ve Sütun Grafikleri

İSTATİSTİKSEL ARAŞTIRMA SÜRECİ teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Üçgende trigonometrik oranlar ve Sinüs-Kosinüs teoremleriyle tamamladığımız geometri yolculuğumuzun ardından, Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli’nin yeni teması olan İstatistiksel Araştırma Süreci’ne başlıyoruz! Günlük yaşamda, tıpta, ekonomide ve sosyal bilimlerde çoğu zaman sayısal olmayan (kategorik/nitel) iki değişken arasında bir bağ olup olmadığını merak ederiz: *“Öğrencilerin seçtiği spor dalı ile cinsiyetleri arasında bir ilişki var mıdır?”* veya *“İzlenen reklam türü ile ürünü satın alma kararı birbiriyle ilişkili midir?”* Bu haftaki dersimizde iki kategorik değişkenli verileri iki yönlü sıklık tabloları, koşullu göreli sıklıklar ve kümelenmiş/yığılmış sütun grafikleri ile analiz etmeyi öğreneceğiz.

1. İki Yönlü Sıklık Tabloları: Marjinal, Birleşik ve Koşullu Göreli Sıklık

İstatistiksel araştırma süreci dört temel aşamadan oluşur: 1) Araştırma sorusu oluşturma, 2) Veri toplama planı yapma ve veri toplama, 3) Verileri düzenleme ve analiz etme, 4) Sonuçları yorumlama. İncelenen iki değişken de sayısal ölçüm yerine kategori belirtiyorsa (kategorik değişken; örneğin 1. değişken: *Sınıf düzeyi [9. sınıf / 10. sınıf]*, 2. değişken: *Tercih edilen yabancı dil [İngilizce / Almanca]*), toplanan ham veriler İki Yönlü Sıklık Tablosu (Çapraz Tablo / Kontenjans Tablosu) ile özetlenir. Tablonun iç kısmındaki hücreler her iki özelliği aynı anda taşıyan kişi sayısını (birleşik sıklık) gösterirken; en sağ sütun satır toplamlarını, en alt satır sütun toplamlarını (marjinal/kenar sıklıkları), sağ alt köşe ise tüm verilerin genel toplamını (N) verir.

Farklı büyüklükteki grupları sağlıklı karşılaştırabilmek için kişi sayılarını (sıklıkları) orana veya yüzdeye (göreli sıklığa) dönüştürürüz. Üç tür göreli sıklık vardır ve aralarındaki fark paydaya hangi toplamın yazıldığıdır: 1) Marjinal (Kenar) Göreli Sıklık: Bir satır veya sütun toplamının genel toplama (N) oranıdır (*“Ankete katılanların yüzde kaçı 10. sınıftır?”*). 2) Birleşik (Ortak) Göreli Sıklık: Tablonun içindeki bir hücre değerinin genel toplama (N) oranıdır (*“Ankete katılan tüm öğrencilerin yüzde kaçı hem 10. sınıf olup hem Almanca seçmiştir?”*). 3) Koşullu Göreli Sıklık: Bir hücre değerinin yalnızca kendi satır toplamına (satır koşullu) veya kendi sütun toplamına (sütun koşullu) oranıdır (*“10. sınıf öğrencilerinin yüzde kaçı Almanca seçmiştir?”* — burada paydaya genel toplam değil, yalnızca 10. sınıfların toplamı yazılır!).

İSTATİSTİKSEL ARAŞTIRMA: İKİ KATEGORİK DEĞİŞKENLİ VERİLER1. İKİ YÖNLÜ TABLO VE GÖRELİ SIKLIK TÜRLERİKategorik (Nitel) Değişken Nedir?Sayısal ölçüm yerine sınıflandırma belirten değişken (cinsiyet, dal, kan grubu).İki Yönlü Sıklık (Çapraz) TablosuSatırlarda 1. kategorik değişken, sütunlarda 2. kategorik değişken yer alır.Marjinal (Kenar) Toplam ve Marjinal Göreli SıklıkSatır veya sütun toplamının genel toplama (N) oranıdır.Birleşik (Ortak) Göreli SıklıkTablo içindeki bir hücre değerinin (f_ij) genel toplama (N) oranıdır (f_ij / N).Koşullu Göreli Sıklık (Satır veya Sütun Koşullu)Hücre değerinin yalnızca ilgili SATIR veya SÜTUN toplamına oranıdır!2. SÜTUN GRAFİKLERİ VE İLİŞKİ ANALİZİİstatistiksel Araştırma Süreci (4 Adım)1) Soru Oluşturma -> 2) Veri Toplama -> 3) Analiz -> 4) Sonuç Yorumlama.Kümelenmiş (Yan Yana) Sütun GrafiğiHer ana kategori için alt kategorilerin sütunları yan yana çizilerek karşılaştırılır.Yığılmış (%100 Oransal) Sütun GrafiğiKoşullu göreli sıklıkları (% dağılımı) tek sütun içinde üst üste gösterir.İki Kategorik Değişken Arasında İlişki Var mı?Koşullu göreli sıklıklar satırdan satıra belirgin değişiyorsa İLİŞKİ VARDIR!İlişki Olmaması (Bağımsızlık) DurumuKoşullu yüzdeler her grupta birbirine çok yakınsa değişkenler ilişkisizdir.DİKKAT: “Katılımcıların yüzde kaçı...” derse paydaya GENEL TOPLAM (Birleşik); “Kızların yüzde kaçı...” derse KIZ TOPLAMI (Koşullu) yazılır!Farklı büyüklükteki grupları karşılaştırırken sıklık (kişi sayısı) değil, KOŞULLU GÖRELİ SIKLIK (%) kullanılmalıdır!

2. Kümelenmiş ve Yığılmış Sütun Grafikleri ile İlişki (Bağımsızlık) Analizi

İki kategorik değişkenli verileri görselleştirmek için iki özel sütun grafiği kullanılır: 1) Kümelenmiş (Yan Yana) Sütun Grafiği: Yatay eksende birinci değişkenin kategorileri yer alırken, her kategorinin içinde ikinci değişkenin alt kategorileri farklı renkli sütunlar hâlinde yan yana çizilir. Bu grafik hem sıklıkları hem de koşullu göreli sıklıkları doğrudan yan yana karşılaştırmak için çok elverişlidir. 2) Yığılmış (Bölünmüş / %100 Oransal) Sütun Grafiği: Her ana kategori için toplam yüksekliği %100 (veya 1 tam) olan tek bir sütun çizilir ve bu sütun alt kategorilerin koşullu göreli sıklıklarına göre renkli dilimlere bölünerek üst üste yığılır.

İki kategorik değişkenli bir araştırmanın nihai amacı, “Bu iki değişken arasında istatistiksel bir ilişki (bağımlılık) var mıdır?” sorusuna yanıt vermektir. Bunun için koşullu göreli sıklıklar karşılaştırılır: Eğer bir değişkenin kategorileri değiştikçe diğer değişkenin koşullu yüzdeleri belirgin şekilde değişiyorsa, iki değişken arasında bir ilişki (bağımlılık) vardır denir (örneğin düzenli spor yapanlarda uyku kalitesi yüksek olanların oranı %80 iken, spor yapmayanlarda bu oran %35 ise spor yapma durumu ile uyku kalitesi ilişkilidir). Buna karşılık koşullu göreli sıklıklar her satırda (veya her sütunda) birbirine eşit ya da çok yakın çıkıyorsa (örneğin her iki grupta da %50-%52 civarındaysa), iki kategorik değişken arasında ilişki yoktur (değişkenler birbirinden bağımsızdır) yorumu yapılır.

Örnekler

  1. Örnek 1Bir lisedeki 120 öğrenciye tercih ettikleri atölye (Robotik / Tasarım) sorulmuş ve şu sonuçlar elde edilmiştir: 50 kız öğrencinin 30’u Robotik, 20’si Tasarım; 70 erkek öğrencinin 42’si Robotik, 28’i Tasarım atölyesini seçmiştir. a) Kız öğrencilerin Robotik seçme koşullu göreli sıklığını, b) Erkek öğrencilerin Robotik seçme koşullu göreli sıklığını bularak cinsiyet ile atölye tercihi arasında ilişki olup olmadığını yorumlayınız.

    Cevabı göster

    a) Kızlarda Robotik koşullu göreli sıklığı = 30 / 50 = 0,60 (%60). b) Erkeklerde Robotik koşullu göreli sıklığı = 42 / 70 = 0,60 (%60). Yorum: Hem kızların hem de erkeklerin %60’ı Robotik, %40’ı Tasarım atölyesini seçmiştir. Koşullu göreli sıklıklar her iki cinsiyette de bire bir aynı (%60) olduğu için bu okulda cinsiyet ile atölye tercihi arasında bir ilişki YOKTUR (bağımsızdır).

  2. Örnek 2Yukarıdaki 120 kişilik ankette: a) 'Robotik atölyesini seçen kız öğrenci' olmanın birleşik (ortak) göreli sıklığı kaçtır? b) 'Robotik atölyesini seçenler arasında kız öğrenci olma' (sütun koşullu) göreli sıklığı kaçtır?

    Cevabı göster

    a) Birleşik göreli sıklıkta paydaya genel toplam (N = 120) yazılır: 30 / 120 = 1/4 = 0,25 (%25). b) Sütun koşullu göreli sıklıkta paydaya Robotik seçenlerin toplamı (30 kız + 42 erkek = 72) yazılır: 30 / 72 = 5/12.

  3. Örnek 3Aşağıdaki araştırma sorularından hangisi 'iki kategorik değişkenli' bir istatistiksel araştırma sorusudur? I. 10. sınıf öğrencilerinin günlük ders çalışma süresi (dakika) ile matematik sınav puanları arasında ilişki var mıdır? II. Lise öğrencilerinin okula ulaşım biçimi (yürüyerek / servisle / toplu taşımayla) ile okula geç kalma durumu (evet / hayır) arasında ilişki var mıdır?

    Cevabı göster

    I. sorudaki 'çalışma süresi (dk)' ve 'sınav puanı' sayısal (nicel) değişkenlerdir. II. sorudaki 'ulaşım biçimi' ve 'geç kalma durumu (evet/hayır)' ise sınıflandırma bildiren iki KATEGORİK değişkendir; dolayısıyla II. soru iki kategorik değişkenli araştırma sorusudur.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Aşağıdaki değişken çiftlerinden hangisinin her ikisi de 'kategorik (nitel) değişken'dir?

  2. 2250 kişinin katıldığı bir araştırmada katılımcıların yaş grubu (Genç / Yetişkin) ve haber takip kaynağı (Sosyal Medya / Televizyon) incelenmiştir. Ankete katılan 150 gencin 120’si sosyal medyayı, 100 yetişkinin ise 30’u sosyal medyayı tercih etmektedir. Buna göre 'tüm katılımcılar içinde sosyal medyayı tercih eden gençlerin' birleşik (ortak) göreli sıklığı yüzde kaçtır?

  3. 3Yukarıdaki 250 kişilik araştırmada 'Gençlerin sosyal medyayı tercih etme koşullu göreli sıklığı' ile 'Yetişkinlerin sosyal medyayı tercih etme koşullu göreli sıklığı' sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  4. 4İki kategorik değişkenli bir veri grubunda her bir ana kategoriyi %100’lük tek bir sütun olarak alıp alt kategorilerin koşullu yüzdelerini aynı sütun üzerinde üst üste dilimler hâlinde gösteren grafik türü aşağıdakilerden hangisidir?

  5. 5İki yönlü bir sıklık tablosunda A ve B kategorik değişkenleri arasında 'hiçbir istatistiksel ilişki olmadığı (bağımsız oldukları)' sonucuna varmak için aşağıdakilerden hangisi gözlemlenmelidir?

  6. 6İki kategorik değişkenli verilerin analizi ile ilgili aşağıdaki ifadelerin Doğru (D) mu yoksa Yanlış (Y) mı olduğunu belirleyiniz.

    • İki yönlü sıklık tablosunun en sağ sütununda ve en alt satırında yer alan satır/sütun toplamlarına 'marjinal (kenar) sıklıklar' denir.
    • Birleşik göreli sıklık hesaplanırken hücredeki değer yalnızca bulunduğu satırın toplamına bölünür.
    • Farklı kişi sayısına sahip iki grubu karşılaştırırken ham sıklıklar yerine koşullu göreli sıklıklar (yüzdeler) kullanılmalıdır.
    • Tablodaki tüm hücrelerin birleşik (ortak) göreli sıklıklarının toplamı 1’e (%100’e) eşittir.
    • İki kategorik değişkeni görselleştirmek için histogram grafiği kullanılır.

  7. 7İki yönlü sıklık tablosu ve veri analizi kavramlarını tanımlarıyla doğru şekilde eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  8. 8Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun istatistik kavramlarıyla tamamlayınız.

    1. İki kategorik değişkenin satır ve sütunlar hâlinde çaprazlanarak özetlendiği tabloya yönlü sıklık tablosu denir.
    2. “Erkek öğrencilerin yüzde kaçı basketbol oynamaktadır?” sorusu bir göreli sıklık sorusudur.
    3. Koşullu göreli sıklıklar gruplar arasında büyük farklılık gösteriyorsa iki kategorik değişken arasında vardır.
    4. Her kategorinin %100’lük tek bir sütun içinde üst üste bölmelerle gösterildiği grafiğe sütun grafiği denir.
    5. İstatistiksel araştırma sürecinin ilk basamağı araştırma oluşturmaktır.

  9. 9Bir hastanede 100 hastaya uygulanan iki farklı tedavi yöntemi (A İlacı / B İlacı) ve iyileşme durumu (İyileşti / İyileşmedi) incelenmiştir: A ilacı kullanan 60 hastanın 48’i iyileşmiş; B ilacı kullanan 40 hastanın ise 20’si iyileşmiştir. Her iki ilaç için 'iyileşme koşullu göreli sıklıklarını' hesaplayarak ilaç türü ile iyileşme durumu arasında ilişki olup olmadığını açıklayınız.

Kısaca

  • Kategorik Değişken ve Araştırma Sorusu: Bireyleri veya nesneleri nitel özelliklerine göre sınıflandıran değişkenlere kategorik (nitel) değişken denir (göz rengi, tercih edilen kulüp, eğitim düzeyi). İki kategorik değişkenli istatistiksel araştırma sorusu değişebilirlik içermeli ve gruplar arası ilişkiyi sorgulamalıdır.
  • İki Yönlü Sıklık (Çapraz) Tablosu: Birinci kategorik değişkenin kategorilerinin satırlarda, ikinci kategorik değişkenin kategorilerinin sütunlarda gösterildiği özet tablodur. Satır ve sütunların en sonundaki toplamlara marjinal (kenar) sıklıklar denir.
  • Birleşik ve Marjinal Göreli Sıklık: Bir hücredeki gözlem sayısının tüm ankete katılanların genel toplamına (N) oranına birleşik (ortak) göreli sıklık; satır veya sütun toplamının genel toplama (N) oranına ise marjinal göreli sıklık denir.
  • Koşullu Göreli Sıklık: Bir hücredeki sıklığın genel toplama değil, yalnızca ait olduğu satır toplamına (satır koşullu) veya sütun toplamına (sütun koşullu) bölünmesiyle elde edilen orandır.
  • Görselleştirme ve İlişki Yorumu: İki kategorik değişken kümelenmiş (yan yana) veya yığılmış (%100 oransal) sütun grafiğiyle gösterilir. Koşullu göreli sıklıklar kategoriden kategoriye belirgin biçimde değişiyorsa iki değişken arasında ilişki (bağımlılık) vardır; oranlar birbirine çok yakınsa ilişki yoktur (bağımsızdır).

Bu dersin öteki kaynakları