İçeriğe geç

10. sınıf · Matematik · 10. hafta (23-27 Kasım 2026)

Başkaları Tarafından Oluşturulan İki Kategorik Değişkenli Verileri ve Yanıltıcı İstatistiksel Grafikleri/Tabloları Eleştirel Değerlendirme (10.2.2)

İstatistiksel Araştırma Süreci teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Medyada, reklamlarda ve bilimsel raporlarda her gün iki kategorik değişken arasındaki ilişkililiğe dayanan çok sayıda istatistiksel iddia ve grafikle karşılaşırız. Bilinçli bir veri okuryazarı, başkaları tarafından sunulan bu sonuçları sorgulamadan kabul etmek yerine; örneklem seçimini, koşullu göreli sıklık hesaplarını, grafik eksen ölçeklerini ve nedensellik iddialarını eleştirel süzgeçten geçirerek yorumların geçerliliğini test eder.

İstatistiksel Sonuçları Temellendirme ve Örneklem Yanlılığı

Başkaları tarafından yürütülmüş bir araştırmanın sonuçlarını değerlendirirken ilk adım veri toplama sürecini ve örneklemin temsil gücünü incelemektir. Örneklemin çok küçük olması (örneğin 10 kişiye sorularak tüm Türkiye hakkında genelleme yapılması) veya örneklemin yansız (rastgele) seçilmeyip belirli bir gruptan seçilmesi (örneklem yanlılığı / seçim yanlılığı) ulaşılan istatistiksel sonucu geçersiz kılar. Örneğin yalnız spor salonu çıkışındaki kişilere anket yaparak 'Toplumun %90'ı düzenli spor yapıyor' sonucuna varmak yanlı bir çıkarımdır.

İki yönlü sıklık tablolarına dayanan yorumlarda en sık yapılan matematiksel hata, farklı büyüklükteki grupları karşılaştırırken koşullu göreli sıklıklar (yüzdeler) yerine doğrudan mutlak sıklıkları (kişi sayılarını) kullanmaktır. İki kategorik değişken arasında ilişkililik olup olmadığına karar vermek için bağımsız değişkenin kategorilerine göre satır veya sütun koşullu göreli sıklıkları hesaplanarak istatistiksel temellendirme yapılmalıdır.

Hesaplanan koşullu göreli sıklıklar alt gruplar arasında birbirine çok yakınsa değişkenler ilişkisiz (bağımsız), belirgin ölçüde farklıysa değişkenler ilişkili (bağımlı) kabul edilir. Sunulan bir raporda bu oranlar gizlenmiş veya yanlış toplama (örneğin satır toplamı yerine genel toplama) bölünmüşse iddia matematiksel kanıtla çürütülür.

BAŞKALARI TARAFINDAN OLUŞTURULAN İSTATİSTİKSEL SONUÇLARI DEĞERLENDİRME VERİ VE ÖRNEKLEM TEMELLENDİRME ÖLÇÜTLERİ • 1. Veri Kaynağı: Güvenilir ve tarafsız bir kurum mu? • 2. Örneklem Büyüklüğü (n): Ana kütleyi (evreni) temsil edecek kadar yeterli büyüklükte mi? • 3. Seçim Yöntemi: Rastgele (yansız) mi seçildi, yoksa belirli bir gruba yönelik yanlı (taraflı) seçim mi var? • 4. Soru Biçimi: Yönlendirici soru yanlılığı var mı? MUTLAK SIKLIK YERİNE KOŞULLU GÖRELİ SIKLIK • Hata: Grup büyüklükleri farklıyken doğrudan kişi sayılarını (mutlak sıklıkları) karşılaştırmak yanıltıcıdır! • Örnek: A okulunda 500 öğrenciden 100'ü (%20), B okulunda 100 öğrenciden 40'ı (%40) satranç oynuyor. • Yanlış Yorum: '100 > 40 olduğu için A okulu daha ilgili.' • Doğru Yorum: Koşullu göreli sıklıkta B (%40 > %20) öndedir. İki kategorik değişken arasındaki ilişkililik iddiası koşullu göreli sıklıklarla temellendirilmelidir.
🔍 Büyütmek için dokunun

Yanıltıcı İstatistiksel Grafikler ve Görsel Çarpıtmalar

İki kategorik değişkenli veriler görselleştirilirken okuyucuyu belirli bir görüşe ikna etmek amacıyla grafiklerde kasıtlı veya hatalı çarpıtmalar yapılabilir. En yaygın yanıltma tekniği, sütun grafiklerinde dikey eksenin sıfırdan (0) başlatılmamasıdır (kesik eksen kullanımı). Örneğin A markasının memnuniyet oranı %92, B markasınınki %96 iken dikey eksen 0 yerine 90'dan başlatılırsa; A'nın sütun yüksekliği 2 birim (92-90), B'ninki ise 6 birim (96-90) çizilir ve aradaki 4 puanlık küçük fark görsel olarak 3 katıymış gibi algılanır.

Diğer grafik hataları arasında şunlar yer alır: 1) Eşit olmayan eksen aralıkları (eksenin 0, 10, 20, 50, 100 şeklinde düzensiz ölçeklendirilmesi), 2) Farklı sütun genişlikleri veya 2B/3B nesne (piktogram) kullanımı: Bir değeri 2 kat büyük göstermek için çizilen resmin hem boyu hem eni 2 kat büyütülürse kapladığı alan 4 kat, 3 boyutluysa hacim 8 kat büyüyerek gözü yanıltır.

3) Daire ve %100 yığılmış sütun grafiği hataları: Bir kategorinin alt gruplarını gösteren daire grafiğinde veya %100 yığılmış sütun grafiğinde yüzdelerin toplamı tam %100 (merkez açıları toplamı 360°) olmalıdır. Birden fazla seçeneğin işaretlenebildiği anket sonuçlarının toplamı %100'ü aşacağı için bu verilerin daire grafiğiyle gösterilmesi matematiksel olarak hatalıdır.

YANILTICI İSTATİSTİKSEL GRAFİKLER VE GÖRSEL ÇARPITMA TÜRLERİ 1. DİKEY EKSENİN SIFIRDAN BAŞLATILMAMASI • Sütun grafiğinde dikey eksen (sıklık/yüzde) 0 yerine örneğin 90'dan başlatılırsa: • %92 ile %96 arasındaki 4 puanlık küçük fark, sütun boylarında 3 katıymış (2 birime 6 birim) gibi görünür! %92 (Boy:2) %96 (Boy:6) 2. ÖLÇEK, ALAN VE DAİRE GRAFİĞİ HATALARI • Eşit Olmayan Eksen Aralıkları: Eksende 10-20-50-100 gibi düzensiz artışlar kullanılması eğimi çarpıtır. • İki/Üç Boyutlu Resim (Piktogram) Yanılgısı: Boyu 2 kat artırılan görselin alanı 4 kat, hacmi 8 kat büyür. • Daire Grafiği Hatası: Yüzdeler toplamının %100 olmaması veya 3B perspektifle ön dilimin olduğundan büyük çizilmesi. Doğru bir sütun grafiğinde dikey eksen 0'dan başlamalı ve sütun genişlikleri ile aralıklar eşit olmalıdır.
🔍 Büyütmek için dokunun

İddiaları Kabul Etme veya Çürütme: Nedensellik ve Alt Gruplar

Başkaları tarafından oluşturulan iki kategorik değişkenli veri analizlerinde en sık düşülen yorum hatası ilişkililiği (korelasyonu) doğrudan nedensellik sanmaktır. İki değişken arasında istatistiksel bir ilişki bulunması, birinci değişkenin ikinci değişkenin doğrudan sebebi olduğunu kanıtlamaz; çoğu zaman her iki değişkeni de etkileyen gizli bir üçüncü faktör (karıştırıcı değişken) mevcuttur. Örneğin kahvaltı yapma alışkanlığı ile akademik başarı arasındaki ilişkide 'düzenli uyku ve aile desteği' önemli birer karıştırıcı değişkendir.

Bir diğer kritik durum ise verilerin alt gruplara ayrılmadan yalnız genel toplam üzerinden yorumlanmasıyla ortaya çıkan alt grup gizlenmesi (Simpson Paradoksu) etkisidir. Örneğin iki hastanenin genel iyileşme oranları karşılaştırıldığında A hastanesi (%80), B hastanesinden (%70) daha başarılı görünebilir. Ancak hastalar 'hafif vakalar' ve 'ağır vakalar' olarak alt gruplara ayrıldığında, B hastanesinin çok daha fazla ağır vaka kabul ettiği ve her iki alt grupta da A hastanesinden daha yüksek iyileşme oranına sahip olduğu ortaya çıkabilir.

Sonuç olarak bir istatistiksel iddiayı tartışırken; 1) Örneklem ve veri kaynağı güvenilirse, 2) Koşullu göreli sıklıklar doğru hesaplanmışsa ve 3) Grafik ölçekleri eksiksiz ise iddia kabul edilir; aksi hâlde tespit edilen matematiksel ve metodolojik hatalar gösterilerek iddia çürütülür.

NEDENSELLİK YANILGISI, KARIŞTIRICI DEĞİŞKEN VE SİMPSON PARADOKSU İLİŞKİLİLİK ≠ NEDENSELLİK (KARIŞTIRICI DEĞİŞKEN) • İki kategorik değişkenin birlikte değişmesi (ilişkililik), birinin diğerinin doğrudan nedeni olduğunu kanıtlamaz. • Karıştırıcı (Gizli / Üçüncü) Değişken: Hem A hem de B değişkenini aynı anda etkileyen dış faktördür. • Örnek: Dondurma satışı ile güneş yanığı vakaları (Gizli değişken: Hava sıcaklığı / Yaz mevsimi). ALT GRUPLARIN GİZLENMESİ (SİMPSON PARADOKSU) • Alt kategorilerde (örneğin kolay ve zor vakalarda ayrı ayrı) görülen bir üstünlük yönünün, veriler birleştirildiğinde tersine dönmesi durumudur. • Sebebi: Grupların alt kategorilerdeki dağılım ağırlıklarının (örneklem sayılarının) birbirinden çok farklı olmasıdır. • Karar: İddialar kanıtlarla kabul edilir veya çürütülür. Eleştirel veri okuryazarlığı; tablo, grafik ve yorumlardaki yanlılıkları matematiksel kanıtla saptamaktır.
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Bir araştırmada A Lisesindeki 400 öğrenciden 120'sinin, B Lisesindeki 200 öğrenciden ise 80'inin okul kütüphanesini aktif kullandığı belirlenmiştir. Bir gazete haberi '120 > 80 olduğu için A Lisesinde kütüphane kullanım oranı daha yüksektir' yorumunu yapmıştır. Bu yorumu koşullu göreli sıklıklarla değerlendirerek kabul ediniz veya çürütünüz.

    Cevabı göster

    Gazetenin yorumu hatalıdır ve çürütülür. Çünkü liselerin toplam öğrenci sayıları farklıdır ve mutlak sıklıklar (120 ve 80) doğrudan karşılaştırılamaz. Okullara göre koşullu göreli sıklıklar hesaplandığında: A Lisesi için 120400 = %30; B Lisesi için 80200 = %40 bulunur. B Lisesindeki kütüphane kullanım oranı (%40), A Lisesinden (%30) daha yüksektir.

  2. Örnek 2Bir telefon markası reklamında, kendi pil ömrü memnuniyetini (%84) rakip markanın memnuniyetiyle (%80) karşılaştıran bir sütun grafiği yayınlamıştır. Grafikte dikey eksen %78'den başlatılmıştır. Bu grafikte kendi markasının sütun boyu, rakip markanın sütun boyunun kaç katı görünür? Gerçek oranla karşılaştırınız.

    Cevabı göster

    Dikey eksen 78'den başladığı için kendi markasının sütun boyu 84 - 78 = 6 birim, rakip markanın sütun boyu ise 80 - 78 = 2 birim çizilir. Dolayısıyla grafikte sütun boyu 62 = 3 katıymış gibi görünür! Oysa gerçek memnuniyet oranı 8480 = 1,05 katıdır (yalnız 4 yüzdelik puan fark vardır). Dikey eksenin sıfırdan başlatılmaması yanıltıcı bir görsel algı oluşturmuştur.

  3. Örnek 3Bir teknoloji sitesi, kendi internet sayfasını ziyaret eden okurlara 'Günde 4 saatten fazla bilgisayar kullanıyor musunuz?' sorusunu sormuş ve katılan 500 kişinin 450'si 'Evet' yanıtı verince 'Türkiye'deki insanların %90'ı günde 4 saatten fazla bilgisayar kullanıyor' sonucunu açıklamıştır. Bu araştırmadaki yanlılık türlerini tespit ediniz.

    Cevabı göster

    Bu araştırmada iki temel yanlılık vardır: 1) Örneklem (Seçim) Yanlılığı: Anket yalnız bir teknoloji sitesini ziyaret eden (zaten bilgisayar ve teknolojiyle yoğun ilgilenen) kişiler üzerinde yapılmıştır; tüm Türkiye'yi temsil etmez. 2) Gönüllü Yanıt Yanlılığı: Ankete yalnız sitede ankete tıklamak isteyen gönüllü kişiler katılmıştır. Bu nedenle ulaşılan %90 sonucu tüm toplum için geçersizdir.

  4. Örnek 4Bir piktogram (şekil) grafiğinde 2025 yılında 100 ton, 2026 yılında ise 200 ton zeytin üretildiğini göstermek için 2026 yılındaki zeytin ağacı sembolünün hem boyu hem de genişliği 2025 sembolünün 2 katı olarak çizilmiştir. Bu gösterimin neden yanıltıcı olduğunu açıklayınız.

    Cevabı göster

    Üretim miktarı 100 tondan 200 tona çıktığında gerçek artış 2 katıdır. Ancak iki boyutlu ağaç sembolünün hem boyu hem de genişliği 2 katına çıkarıldığında sembolün kağıt üzerinde kapladığı alan 2 × 2 = 4 katına çıkar. Okuyucunun gözü yüksekliği değil alanı algıladığı için üretim 4 katına çıkmış gibi yanıltıcı bir izlenim oluşur.

  5. Örnek 5İki kategorik değişken olan 'Evde evcil hayvan besleme durumu (Evet/Hayır)' ile 'Alerji görülme durumu (Var/Yok)' üzerine yapılan bir çalışmada, evcil hayvan besleyen 200 kişiden 30'unda, beslemeyen 300 kişiden 45'inde alerji görülmüştür. 'Evcil hayvan beslemek alerjiyi artırır' iddiasını istatistiksel olarak değerlendiriniz.

    Cevabı göster

    Koşullu göreli sıklıkları hesaplayalım: Evcil hayvan besleyenlerde alerji görülme oranı = 30200 = %15'tir. Evcil hayvan beslemeyenlerde alerji görülme oranı = 45300 = %15'tir. Her iki gruptaki koşullu göreli sıklıklar (%15 = %15) birbirine eşit çıktığından bu iki kategorik değişken birbirinden bağımsızdır (ilişkisizdir) ve 'Evcil hayvan beslemek alerjiyi artırır' iddiası çürütülür.

  6. Örnek 6Bir ankette öğrencilere 'Hangi spor dallarını takip ediyorsunuz? (Birden fazla seçebilirsiniz)' sorusu sorulmuş; %70 Futbol, %50 Basketbol ve %40 Voleybol sonucu çıkmıştır. Bu verilerin tek bir daire grafiğiyle gösterilip gösterilemeyeceğini açıklayınız.

    Cevabı göster

    Bu veriler tek bir daire grafiğiyle gösterilemez. Çünkü katılımcılar birden fazla seçenek işaretlediği için yüzdelerin toplamı 70 + 50 + 40 = %160 yapmaktadır. Daire grafiği bir bütünün (%100'ün) birbiriyle kesişmeyen (ayrık) parçalarını göstermek için kullanılır; bu veri seti için sütun grafiği kullanılmalıdır.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Bir sütun grafiğinde kategoriler arasındaki küçük yüzdelik farkların olduğundan çok daha büyükmüş gibi görünmesine yol açan en yaygın yanıltma hatası aşağıdakilerden hangisidir?

  2. 2Bir araştırmada X fabrikasındaki 600 işçiden 90'ının, Y fabrikasındaki 200 işçiden ise 50'sinin iş güvenliği eğitimini tamamladığı saptanmıştır. Buna göre aşağıdaki istatistiksel değerlendirmelerden hangisi doğrudur?

  3. 3Bir belediyenin 'Şehrimizde toplu taşıma memnuniyeti' araştırmasında anketörlerin yalnız yeni açılan metro hattının ilk istasyonunda sabah 09.00-10.00 arasında 30 yolcuyla görüşmesi aşağıdaki hatalardan hangisine örnektir?

  4. 4Bir piktogram (nesne) grafiğinde A şehrinin nüfusu 1 milyon, B şehrinin nüfusu 3 milyon iken B şehrini temsil eden bina resminin hem eni hem de boyu A şehrindeki resmin 3 katı olarak çizilmiştir. Bu çizimde B şehrinin görsel alanı A şehrinin kaç katı olmuştur?

  5. 5

    • Farklı büyüklükteki iki grubun kategorik dağılımlarını karşılaştırırken mutlak sıklıklar yerine koşullu göreli sıklıklar kullanılmalıdır.
    • İki kategorik değişken arasında istatistiksel bir ilişkililik bulunması, birinci değişkenin ikinci değişkenin doğrudan nedeni olduğunu kanıtlar.
    • Birden fazla seçeneğin işaretlenebildiği ve yüzdeler toplamının %145 çıktığı bir anket sonucu tek bir daire grafiğiyle doğru şekilde gösterilebilir.
    • Alt gruplarda görülen bir eğilimin, veriler birleştirildiğinde grup ağırlıklarının farklılığından dolayı yön değiştirmesine Simpson Paradoksu denir.
    • Dikey ekseni 80'den başlayan bir sütun grafiğinde 85 ve 90 değerlerini gösteren iki sütunun boyları oranı 1/2 olarak görünür.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Başkaları tarafından oluşturulan iki yönlü tablolarda grup büyüklükleri farklıysa yorumlar mutlak sıklık yerine göreli sıklıkla temellendirilir.
    2. Doğru ve yanıltıcı olmayan bir sütun grafiğinde dikey sıklık ekseni her zaman noktasından başlamalıdır.
    3. Anket sorularının katılımcıyı belirli bir cevaba itecek biçimde taraflı hazırlanmasına soru yanlılığı denir.
    4. İki kategorik değişkenin bütün alt kategorilerinde koşullu göreli sıklıklar birbirine eşitse değişkenler birbirinden kabul edilir.
    5. Bir kategorinin alt gruplarını gösteren daire grafiğinde tüm dilimlerin yüzdeleri toplamı olmak zorundadır.

  8. 8Medyada karşılaştığınız iki kategorik değişkenli bir istatistiksel araştırma haberini ve grafiğini eleştirel olarak değerlendirip iddiayı kabul etmek veya çürütmek için izlemeniz gereken üç aşamalı inceleme sürecini açıklayınız.

Kısaca

  • İstatistiksel Temellendirme: Başkalarının oluşturduğu iki kategorik değişkenli verilerde iddialar mutlak sıklıkla değil, koşullu göreli sıklıklarla (satır/sütun yüzdeleriyle) sınanır.
  • Örneklem ve Veri Yanlılığı: Yetersiz örneklem büyüklüğü, seçim yanlılığı, gönüllü yanıt yanlılığı ve yönlendirici sorular istatistiksel sonuçları geçersiz kılar.
  • Yanıltıcı Grafikler: Sütun grafiğinde dikey eksenin 0'dan başlamaması, düzensiz ölçek aralıkları, piktogramlarda alan/hacim büyümesi ve 3B eğik daire grafikleri görsel çarpıtma yaratır.
  • Nedensellik ve Simpson Paradoksu: İlişkililik doğrudan nedensellik kanıtı değildir (karıştırıcı değişken etkisi); ayrıca alt grupların gizlenmesi genel toplamda eğilimi tersine çevirebilir (Simpson Paradoksu).
  • Kabul veya Çürütme: Veri toplama yöntemi, koşullu göreli sıklık hesabı ve grafik kuralları doğruysa iddia kabul edilir; hata veya çarpıtma varsa matematiksel kanıtla çürütülür.

Bu dersin öteki kaynakları