İçeriğe geç

10. sınıf · Matematik · 8. hafta (2-6 Kasım 2026)

İki Kategorik Değişkenli Veriler: İki Yönlü Sıklık Tabloları, Koşullu Göreli Sıklıklar ve Kümelenmiş/Yığılmış Sütun Grafikleriyle İlişki Analizi

İSTATİSTİKSEL ARAŞTIRMA SÜRECİ teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Gerçek yaşamda 'Öğrencilerin tercih ettiği yabancı dil ile katıldıkları yurt dışı programı arasında ilişki var mıdır?' veya 'Tüketicilerin yaş grubu ile alışveriş kanalı tercihi birbirine bağlı mıdır?' gibi pek çok problem iki kategorik (nitel) değişkenin birlikte incelenmesini gerektirir. İki yönlü sıklık tabloları, koşullu göreli sıklıklar ve yığılmış sütun grafikleri, bu değişkenler arasındaki istatistiksel ilişkiyi kanıta dayalı olarak ortaya koyan en güçlü veri analizi araçlarıdır.

İki Kategorik Değişken ve İki Yönlü Sıklık (Çapraz) Tabloları

Gözlem birimlerinin sayısal büyüklük yerine nitelik, grup veya kategori bildiren özelliklerini temsil eden değişkenlere kategorik (nitel) değişken denir (örneğin cinsiyet, kan grubu, tercih edilen spor dalı, ulaşım türü). İki kategorik değişkenin alt kategorilerine ait gözlem sayılarını (frekanslarını) satır ve sütunlar hâlinde birlikte gösteren tablolara iki yönlü sıklık tablosu (çapraz tablo / kontenjans tablosu) adı verilir.

İki yönlü bir sıklık tablosunda satırların ve sütunların kesiştiği iç hücreler, her iki özelliği aynı anda taşıyan gözlem sayılarını (birleşik sıklıkları) gösterir. Tablonun en sağ sütununda ve en alt satırında yer alan toplamlar ise tek bir değişkenin alt kategorilerine ait toplamları (marjinal / kenar sıklıkları) verir.

Satır toplamlarının toplamı ile sütun toplamlarının toplamı daima birbirine eşittir ve sağ alt köşedeki genel toplamı (n = örneklem hacmini) oluşturur. Veri kümelerinin büyüklükleri farklı olduğunda doğrudan kişi sayılarını karşılaştırmak yanıltıcı olacağından, sıklıklar genel toplama veya satır/sütun toplamına bölünerek göreli sıklıklara (oran veya yüzdelere) dönüştürülür.

İKİ YÖNLÜ SIKLIK TABLOSU VE GÖRELİ SIKLIK TÜRLERİ ÖRNEK İKİ YÖNLÜ TABLO (SPOR VE KURS TERCİHİ - n=200) • Yüzme Basketbol Satır Toplamı • Sabah Grubu : 48 32 80 • Akşam Grubu : 72 48 120 • Sütun Toplamı: 120 80 200 (Genel) • İç hücreler (48, 32, 72, 48): Birleşik sıklıklardır. MARJİNAL VE BİRLEŞİK GÖRELİ SIKLIK • Marjinal (Kenar) Göreli Sıklık = Kenar Toplamı / Genel Toplam • • Sabah grubu marjinal göreli sıklığı: 80 / 200 = %40 • • Yüzme kursu marjinal göreli sıklığı: 120 / 200 = %60 • Birleşik (Ortak) Göreli Sıklık = İç Hücre / Genel Toplam • • Hem sabah hem yüzme: 48 / 200 = 0,24 (%24) Marjinal ve birleşik göreli sıklıklarda payda daima 'Genel Toplam (n)' değeridir.
🔍 Büyütmek için dokunun

Satır ve Sütun Koşullu Göreli Sıklıkların Hesaplanması

Bir kategorik değişkenin belirli bir düzeyi (koşulu) sabit tutulduğunda, diğer değişkenin kategorilerinin bu alt grup içindeki dağılım oranına koşullu göreli sıklık denir. Koşulun satırdaki değişkene mi yoksa sütundaki değişkene mi konulduğuna göre iki şekilde hesaplanır:

1. Satır Koşullu Göreli Sıklığı: Bir satırdaki her bir iç hücre sıklığının, ait olduğu satırın toplamına bölünmesiyle elde edilir. Her bir satır kendi içinde bir bütün kabul edildiğinden, aynı satırdaki koşullu göreli sıklıkların toplamı 1'e (%100'e) eşittir.

2. Sütun Koşullu Göreli Sıklığı: Bir sütundaki her bir iç hücre sıklığının, ait olduğu sütunun toplamına bölünmesiyle elde edilir. Aynı sütundaki koşullu göreli sıklıkların toplamı da 1'e (%100'e) eşittir. Örneğin 'Sabah grubundakilerin yüzde kaçı yüzmeyi seçmiştir?' sorusu satır koşullu göreli sıklık (4880 = %60) iken; 'Yüzmeyi seçenlerin yüzde kaçı sabah grubundadır?' sorusu sütun koşullu göreli sıklıktır (48120 = %40).

SATIR VE SÜTUN KOŞULLU GÖRELİ SIKLIK HESABI SATIR KOŞULLU GÖRELİ SIKLIK (PAYDA: SATIR TOPLAMI) • Formül: Hücre Sıklığı / İlgili Satırın Toplamı • Soru: Sabah grubundakilerin (80) yüzde kaçı yüzmededir? • Hesap: 48 / 80 = 0,60 (%60 Yüzme, %40 Basketbol). • Soru: Akşam grubundakilerin (120) yüzde kaçı yüzmededir? • Hesap: 72 / 120 = 0,60 (%60 Yüzme, %40 Basketbol). SÜTUN KOŞULLU GÖRELİ SIKLIK (PAYDA: SÜTUN TOPLAMI) • Formül: Hücre Sıklığı / İlgili Sütunun Toplamı • Soru: Yüzmedekilerin (120) yüzde kaçı sabah grubundadır? • Hesap: 48 / 120 = 0,40 (%40 Sabah, %60 Akşam). • Soru: Basketboldakilerin (80) yüzde kaçı sabahtadır? • Hesap: 32 / 80 = 0,40 (%40 Sabah, %60 Akşam). Cümlede '-den / -dan / içinden / arasından / olanların' eki alan grup hangisiyse paydaya o grubun toplamı yazılır!
🔍 Büyütmek için dokunun

Kümelenmiş ve Yığılmış Sütun Grafikleriyle İlişki (Bağımsızlık) Analizi

İki kategorik değişkenli verileri görselleştirmek için kümelenmiş (yan yana) sütun grafiği veya %100 yığılmış (bölünmüş) sütun grafiği kullanılır. Kümelenmiş sütun grafiğinde bir değişkenin her kategorisi için diğer değişkenin alt kategorileri yan yana sütunlar hâlinde çizilirken; %100 yığılmış sütun grafiğinde her bir ana kategori toplam yüksekliği %100 (veya 1,0) olan tek bir sütunla gösterilir ve sütun koşullu göreli sıklıklara göre renklendirilmiş bölmelere ayrılır.

İki Kategorik Değişken Arasında İlişki (Bağımlılık) Kararı: İki kategorik değişken arasında istatistiksel bir ilişki (bağımlılık) olup olmadığına karar vermek için koşullu göreli sıklık dağılımları karşılaştırılır.

Eğer bir değişkenin farklı kategorileri için hesaplanan koşullu göreli sıklıklar birbirine eşit (veya çok yakın) ise, yığılmış sütun grafiğindeki renkli bölmelerin yükseklikleri aynı hizada olur ve iki değişken arasında ilişki yoktur (değişkenler birbirinden bağımsızdır) denir. Eğer koşullu göreli sıklıklar birbirinden belirgin biçimde farklılaşıyorsa, bir değişkenin aldığı değer diğer değişkenin dağılımını etkiliyor demektir; bu durumda iki değişken arasında istatistiksel bir ilişki (bağımlılık) vardır sonucuna ulaşılır.

SÜTUN GRAFİKLERİ VE İLİŞKİLİLİK (BAĞIMSIZLIK) KARARI İLİŞKİ YOKTUR (BAĞIMSIZ DEĞİŞKENLER) • Ölçüt: Koşullu göreli sıklıklar birbirine EŞİTTİR. • Örnek: Sabah grubunda yüzme %60, Akşam grubunda yüzme %60. • Yığılmış Grafik: Sütunlardaki bölme çizgileri aynı hizadadır. • Yorum: Grup saati değişse de spor tercihi oranı değişmiyor. • Karar: İki kategorik değişken arasında ilişki YOKTUR. İLİŞKİ VARDIR (BAĞIMLI DEĞİŞKENLER) • Ölçüt: Koşullu göreli sıklıklar belirgin olarak FARKLIDIR. • Örnek: Düzenli çalışanlarda başarı %85, çalışmayanlarda %25. • Yığılmış Grafik: Sütunlardaki bölme yükseklikleri farklıdır. • Yorum: Bir değişkenin kategorisi diğerinin oranını değiştirir. • Karar: İki kategorik değişken arasında ilişki VARDIR. Ham sıklıkların (kişi sayılarının) farklı olması ilişki olduğu anlamına gelmez; karar daima KOŞULLU GÖRELİ SIKLIK ile verilir!
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Bir okuldaki 120 öğrencinin sınıf düzeyi (9. sınıf / 10. sınıf) ve seçmeli ders tercihi (Robotik / Astronomi) incelenmiştir. 9. sınıftaki 50 öğrencinin 30'u Robotik, 20'si Astronomi; 10. sınıftaki 70 öğrencinin 42'si Robotik, 28'i Astronomi dersini seçmiştir. Tüm öğrencilerin yüzde kaçı hem 10. sınıf olup hem de Robotik dersini seçmiştir?

    Cevabı göster

    Hem 10. sınıf olup hem de Robotik seçen öğrenci sayısı 42'dir. Soruda 'tüm öğrencilerin yüzde kaçı' (birleşik göreli sıklık) sorulduğu için paydaya genel toplam (120) yazılır: 42120 = 720 = 35100 = %35 bulunur.

  2. Örnek 2Birinci örnekteki verilere göre 9. sınıf ve 10. sınıf öğrencilerinin Robotik dersini seçme koşullu göreli sıklıklarını hesaplayarak 'sınıf düzeyi ile seçmeli ders tercihi arasında ilişki olup olmadığını' belirleyiniz.

    Cevabı göster

    9. sınıflar için Robotik koşullu göreli sıklığı: 3050 = 0,60 (%60). 10. sınıflar için Robotik koşullu göreli sıklığı: 4270 = 0,60 (%60). Her iki sınıf düzeyinde de Robotik seçme koşullu göreli sıklığı %60 (Astronomi %40) olup birbirine tam eşit olduğundan, sınıf düzeyi ile seçmeli ders tercihi arasında ilişki yoktur (bağımsızdır).

  3. Örnek 3Bir ankete katılan 200 kişiden 80'i genç, 120'si yetişkindir. Gençlerin 64'ü çevrim içi alışverişi, 16'sı mağaza alışverişini; yetişkinlerin ise 36'sı çevrim içi alışverişi, 84'ü mağaza alışverişini tercih etmektedir. Çevrim içi alışverişi tercih edenlerin yüzde kaçı gençtir?

    Cevabı göster

    Önce çevrim içi alışverişi tercih edenlerin toplam sayısı (sütun toplamı) bulunur: 64 + 36 = 100 kişi. Bunların içinden genç olanların sayısı 64 olduğundan sütun koşullu göreli sıklık: 64100 = %64 olarak bulunur.

  4. Örnek 4Üçüncü örnekteki verilere göre yaş grubu (genç / yetişkin) ile alışveriş kanalı tercihi (çevrim içi / mağaza) arasında istatistiksel bir ilişki var mıdır? Koşullu göreli sıklıklarla açıklayınız.

    Cevabı göster

    Gençlerde çevrim içi alışveriş tercihi koşullu göreli sıklığı 6480 = %80 (mağaza %20) iken; yetişkinlerde çevrim içi alışveriş tercihi koşullu göreli sıklığı 36120 = %30 (mağaza %70)'dir. Koşullu göreli sıklıklar (%80 ve %30) birbirinden belirgin biçimde farklı olduğu için yaş grubu ile alışveriş kanalı tercihi arasında güçlü bir ilişki vardır.

  5. Örnek 5İki kategorik değişkenli bir araştırmada elde edilen koşullu göreli sıklıkların %100 yığılmış sütun grafiği ile gösterilmesinin analiz açısından sağladığı kolaylığı açıklayınız.

    Cevabı göster

    %100 yığılmış sütun grafiğinde farklı örneklem büyüklüğüne sahip gruplar aynı boyda (%100 yüksekliğinde) sütunlara dönüştürülür ve her alt kategorinin koşullu göreli sıklığı sütun içindeki renkli bölmelerle gösterilir. Böylece sütunlardaki renkli bölmelerin yükseklikleri yan yana karşılaştırılarak değişkenler arasında ilişki olup olmadığı tek bakışta görülür.

  6. Örnek 6'Lise öğrencilerinin günlük uyku süresi (7 saatten az / 7 saat ve üzeri) ile derse odaklanma düzeyi (düşük / orta / yüksek) arasında bir ilişki var mıdır?' sorusunun iki kategorik değişkenli istatistiksel araştırma sorusu ölçütlerini sağlayıp sağlamadığını değerlendiriniz.

    Cevabı göster

    Araştırma sorusunda hedef kitle (lise öğrencileri) açıktır; incelenen iki değişken de (uyku süresi grubu ve odaklanma düzeyi) kategorik olarak tanımlanmıştır ve soru iki değişken arasındaki ilişkililiği veri toplayarak incelemeye yöneliktir. Dolayısıyla tüm ölçütleri sağlamaktadır.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Bir spor kulübündeki 150 üyenin 60'ı kadın, 90'ı erkektir. Kadın üyelerin 24'ü tenis, 36'sı yüzme branşını; erkek üyelerin ise 45'i tenis, 45'i yüzme branşını seçmiştir. Buna göre yüzme branşını seçen üyeler arasında kadınların koşullu göreli sıklığı kaçtır?

  2. 2İki yönlü bir sıklık tablosunda tablonun iç hücrelerindeki bir gözlem sıklığının, tablonun sağ alt köşesindeki 'genel toplama' oranına ne ad verilir?

  3. 3A ve B gibi iki kategorik değişkene ait veriler %100 yığılmış sütun grafiği ile görselleştirildiğinde, tüm sütunlardaki alt kategori bölmelerinin yüksekliklerinin birbirine eşit olduğu görülmektedir. Bu grafiğe göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  4. 4Bir araştırmada kahvaltı yapma alışkanlığı (Düzenli Yapan / Yapmayan) ile ilk derste dikkat durumu (Yüksek / Düşük) incelenmiştir. Düzenli kahvaltı yapan 80 öğrencinin 68'inde dikkat yüksek iken, kahvaltı yapmayan 40 öğrencinin 12'sinde dikkat yüksektir. Düzenli kahvaltı yapanlarda ve yapmayanlarda yüksek dikkat koşullu göreli sıklıkları sırasıyla yüzde kaçtır?

  5. 5

    • Kan grubu, tercih edilen müzik türü ve ulaşım aracı gibi sayısal miktar bildirmeyen değişkenlere kategorik (nitel) değişken denir.
    • İki yönlü bir sıklık tablosunda aynı satırdaki satır koşullu göreli sıklıkların toplamı 1'e (%100'e) eşittir.
    • İki kategorik değişken arasında ilişki olup olmadığına karar verirken göreli sıklıklar yerine doğrudan ham kişi sayılarına bakmak yeterlidir.
    • Satır toplamlarının veya sütun toplamlarının genel toplama bölünmesiyle elde edilen orana marjinal (kenar) göreli sıklık denir.
    • Koşullu göreli sıklıkların birbirinden belirgin şekilde farklı çıkması, iki değişkenin birbirinden bağımsız olduğunu gösterir.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. İki yönlü sıklık tablosunda satır toplamlarının toplamı ile sütun toplamlarının toplamı birbirine eşittir ve toplamı verir.
    2. İki kategorik değişken arasında istatistiksel ilişki olup olmadığını belirlemek için göreli sıklıklar karşılaştırılır.
    3. Bir değişkenin kategorilerine göre diğer değişkenin koşullu göreli sıklıkları hiç değişmiyorsa iki değişken birbirinden olarak nitelendirilir.
    4. Farklı büyüklükteki grupları karşılaştırırken sıklıkları yüzdelik oranlara dönüştürmek için sıklık kavramından yararlanılır.
    5. Bir değişkenin alt kategorilerine ait sütunların yan yana gruplandırılarak çizildiği grafiğe sütun grafiği denir.

  8. 8Bir teknoloji firmasında çalışan 100 mühendisin çalışma modeli (Uzaktan / Ofiste) ve memnuniyet düzeyi (Memnun / Kararsız) araştırılmıştır. Uzaktan çalışan 40 mühendisin 32'si memnun, 8'i kararsız; ofiste çalışan 60 mühendisin ise 30'u memnun, 30'u kararsızdır. Çalışma modeli ile memnuniyet düzeyi arasında ilişki olup olmadığını üç adımda analiz ediniz.

Kısaca

  • İki kategorik (nitel) değişkene ait veriler, satır ve sütunlardan oluşan iki yönlü sıklık (çapraz) tablolarıyla özetlenir.
  • Tablodaki kenar toplamlarının genel toplama oranına marjinal göreli sıklık, iç hücrelerin genel toplama oranına ise birleşik göreli sıklık denir.
  • Bir kategorinin koşulu altında diğer değişkenin dağılımını gösteren koşullu göreli sıklık, iç hücrenin ilgili satır veya sütun toplamına bölünmesiyle bulunur.
  • İki kategorik değişkenli dağılımlar kümelenmiş sütun grafiği veya %100 yığılmış (bölünmüş) sütun grafiği kullanılarak görselleştirilir.
  • Koşullu göreli sıklıklar birbirine eşitse iki değişken arasında ilişki yoktur (bağımsızdır); belirgin biçimde farklıysa iki değişken arasında ilişki vardır.

Bu dersin öteki kaynakları