İçeriğe geç

10. sınıf · Matematik · 9. hafta (9-13 Kasım 2026)

İki Kategorik Değişkenli Verilerin Analizi: Koşullu Göreli Sıklıklarla İlişkililik Kararı ve Sonuçları Değerlendirme (10.2.1)

İSTATİSTİKSEL ARAŞTIRMA SÜRECİ teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

İki kategorik değişkenli bir istatistiksel araştırmada toplanan verileri iki yönlü tabloya yerleştirdikten sonra en kritik aşama, bu iki değişken arasında istatistiksel bir ilişki (bağımlılık) olup olmadığına doğru matematiksel kanıtlarla karar vermektir. Bu haftaki dersimizde satır ve sütun koşullu göreli sıklık analizini, grafiksel karşılaştırmaları ve araştırma sonuçlarını değerlendirme ilkelerini inceliyoruz.

Birleşik, Marjinal ve Koşullu Göreli Sıklıkların Karşılaştırılması

İki kategorik değişkenin (örneğin Sınıf Düzeyi ve Okula Ulaşım Tercihi) çaprazlandığı iki yönlü sıklık tablosundan üç farklı göreli sıklık (oran/yüzde) türü elde edilir. Birleşik (Ortak) Göreli Sıklık, tablonun iç hücresindeki sıklığın tüm örneklemin genel toplamına bölünmesiyle bulunur. Örneğin 200 öğrencilik araştırmada bisiklet kullanan 9. sınıf öğrencisi 36 kişi ise birleşik göreli sıklık 36200 = 0,18 (%18) olur.

Marjinal (Kenar) Göreli Sıklık, satır toplamlarının veya sütun toplamlarının genel toplama bölünmesiyle hesaplanır ve tek bir değişkenin genel dağılımını gösterir. Örneğin toplam 108 öğrencinin bisiklet tercih ettiği bu okulda bisiklet kullanımının marjinal göreli sıklığı 108200 = 0,54 (%54) iken, toplu taşıma kullanımının marjinal göreli sıklığı 92200 = 0,46 (%46) değerindedir.

Koşullu Göreli Sıklık ise bir değişkenin belirli bir kategorisi koşulu altında diğer değişkenin dağılımını verir. Satır koşullu göreli sıklıkta hücre değeri kendi satır toplamına bölünür (her satırın toplamı %100 olur); sütun koşullu göreli sıklıkta ise hücre değeri kendi sütun toplamına bölünür (her sütunun toplamı %100 olur). Alt grupların örneklem sayıları farklı olduğunda (örneğin 80 kişilik 9. sınıflar ile 120 kişilik 10. sınıflar), grupları adil biçimde karşılaştırmanın yolu mutlak kişi sayılarına değil koşullu göreli sıklıklara bakmaktır.

İKİ YÖNLÜ SIKLIK TABLOSU VE KOŞULLU GÖRELİ SIKLIK HESAPLAMALARI Ulaşım Tercihi Bisiklet Toplu Taşıma TOPLAM 9. Sınıf 36 (%45) 44 (%55) 80 (%100) 10. Sınıf 72 (%60) 48 (%40) 120 (%100) TOPLAM 108 (%54) 92 (%46) 200 (%100) GÖRELİ SIKLIK FORMÜLLERİ 1. Birleşik (Ortak) Göreli Sıklık: Hücre / Genel Toplam → 36/200 = %18 2. Marjinal (Kenar) Göreli Sıklık: Kenar Toplam / 200 → 108/200 = %54 3. Satır Koşullu Göreli Sıklık: 9. sınıfta bisiklet: 36/80 = 0,45 (%45) 10. sınıfta bisiklet: 72/120 = 0,60 (%60) %45 ≠ %60 → İki değişken İLİŞKİLİDİR! Farklı örneklem büyüklüklerini (80 ve 120) adil karşılaştırmak için mutlak sıklık değil KOŞULLU GÖRELİ SIKLIK kullanılır.
🔍 Büyütmek için dokunun

Koşullu Göreli Sıklık ve Grafiklerle İlişkililik / Bağımsızlık Kararı

İki kategorik değişken arasında istatistiksel bir ilişki (birliktelik/bağımlılık) olup olmadığına karar vermek için açıklayıcı değişkenin kategorilerine göre hesaplanan koşullu göreli sıklık dağılımları birbiriyle karşılaştırılır. Eğer bir değişkene ait kategoriler değiştikçe diğer değişkenin koşullu göreli sıklık oranları belirgin biçimde değişiyorsa, bu iki kategorik değişken ilişkilidir (bağımlıdır) kararı verilir.

Örneğimizde 9. sınıflarda bisiklet kullanma koşullu göreli sıklığı 3680 = %45 iken, 10. sınıflarda bu oran 72120 = %60'a çıkmıştır. Oranlar birbirinden farklı olduğu için (%45 ≠ %60) sınıf düzeyi ile ulaşım tercihi arasında istatistiksel bir ilişki vardır. Buna karşılık her iki sınıfta da bisiklet kullanma oranı %50 (veya birbirine çok yakın) çıksaydı, ayrıca marjinal göreli sıklığa eşit olsaydı, iki değişken arasında ilişki yoktur (değişkenler bağımsızdır) sonucuna ulaşılırdı.

Bu karar %100 yığılmış sütun grafiğinde görsel olarak çok net okunur: Her sütunun yüksekliği %100'ü temsil ettiğinden, sütunların içindeki renkli bölmelerin ayrım çizgileri farklı hizalarda ise değişkenler ilişkili, bütün sütunlarda bölme çizgileri aynı yatay hizada ise değişkenler ilişkisiz (bağımsız) demektir. Kümelenmiş sütun grafiğinde ise gruplar içi sütun yükseklikleri oranının gruptan gruba değişip değişmediği incelenir.

%100 YIĞILMIŞ SÜTUN GRAFİĞİ İLE İLİŞKİLİLİK / BAĞIMSIZLIK KARARI DURUM A: DEĞİŞKENLER İLİŞKİLİ (BAĞIMLI) %55 %45 9. Sınıf %40 %60 10. Sınıf Farklı oranlar! DURUM B: DEĞİŞKENLER İLİŞKİSİZ (BAĞIMSIZ) %50 %50 Grup K %50 %50 Grup L Eşit oranlar! %100 yığılmış sütun grafiğinde bölme hizaları farklıysa İLİŞKİ VARDIR; bölme hizaları eşitse İLİŞKİ YOKTUR (bağımsızdır).
🔍 Büyütmek için dokunun

İstatistiksel Araştırma Sonuçlarını Yorumlama ve Nedensellik Yanılgısı

İstatistiksel araştırma sürecinin son aşamasında elde edilen bulgular başlangıçtaki araştırma sorusu bağlamında değerlendirilir ve sayısal kanıtlarla raporlanır. Raporlamada hangi koşullu göreli sıklıkların karşılaştırıldığı (örneğin "%60'a karşılık %45") açıkça belirtilmeli, örneklem büyüklüğü ve veri toplama yönteminin sınırlılıkları göz önünde bulundurulmalıdır.

İki kategorik değişkenli araştırmalarda dikkat edilmesi gereken en önemli ilke, ilişkililik (birliktelik) ile nedenselliğin (sebep-sonuç ilişkisinin) birbirinden farklı olduğudur. İki değişken arasında istatistiksel bir ilişki tespit edilmesi, birinci değişkenin ikinci değişkenin doğrudan nedeni olduğunu kanıtlamaz; çoğu zaman her iki değişkeni de etkileyen üçüncü bir karıştırıcı değişken (gizli etken) bulunabilir.

Ayrıca araştırmada örneklemin hedef kitleyi (evreni) temsil edecek biçimde yansız (tarafsız) seçilip seçilmediği sorgulanmalıdır. Örneğin okul kantini memnuniyetini araştırırken yalnız kantin önünde sıra bekleyen öğrencilere anket uygulamak örneklem yanlılığına yol açar ve araştırma sonuçlarının tüm okula genellenmesini geçersiz kılar.

İSTATİSTİKSEL ARAŞTIRMA DÖNGÜSÜ VE SONUÇLARI RAPORLAMA 1. SORU OLUŞTURMA • Bağlam belirlenir. • İki kategorik değişken arasındaki ilişkiyi sorgulayan açık ve veri toplanabilir soru yazılır. 2. VERİ TOPLAMA • Tarafsız (yansız) örneklem seçilir. • Gizlilik ve etik ilkelere uyulur. • Veriler temizlenip analize hazırlanır. 3. VERİ ANALİZİ • İki yönlü sıklık ve göreli sıklık tablosu oluşturulur. • Koşullu göreli sıklık ve sütun grafikleri çizilir. 4. YORUM VE KARAR • Koşullu göreli sıklık oranları karşılaştırılır. • İlişkililik ≠ Nedensellik! • Sonuçlar kanıtlarla araştırma sorusu bağlamında raporlanır. İki kategorik değişken arasında istatistiksel ilişki (birliktelik) bulunması, birinin diğerinin doğrudan nedeni olduğu anlamına gelmez.
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1İki yönlü sıklık tablosunda 'birleşik göreli sıklık', 'marjinal göreli sıklık' ve 'koşullu göreli sıklık' hesaplanırken paydaya hangi toplamlar yazılır?

    Cevabı göster

    Birleşik (ortak) göreli sıklıkta hücre değeri tablonun genel toplamına bölünür. Marjinal (kenar) göreli sıklıkta satır veya sütun kenar toplamı genel toplama bölünür. Koşullu göreli sıklıkta ise incelenen koşula göre hücre değeri kendi satır toplamına (satır koşullu) veya kendi sütun toplamına (sütun koşullu) bölünür.

  2. Örnek 2Seksen kişilik 9. sınıflarda 36 öğrenci, 120 kişilik 10. sınıflarda ise 72 öğrenci okula bisikletle gelmektedir. İki sınıf düzeyini bisiklet kullanımı bakımından adil karşılaştırmak için neden koşullu göreli sıklık kullanılmalıdır?

    Cevabı göster

    Sınıfların öğrenci mevcutları (80 ve 120) birbirinden farklı olduğu için doğrudan kişi sayılarını (36 ve 72) karşılaştırmak yanıltıcıdır. Satır koşullu göreli sıklıklar hesaplandığında 9. sınıflarda oran 36/80 = %45, 10. sınıflarda ise 72/120 = %60 bulunur ve 10. sınıflarda bisiklet tercih oranının daha yüksek olduğu matematiksel olarak kanıtlanır.

  3. Örnek 3İki kategorik değişken arasında istatistiksel bir ilişki (bağımlılık) olup olmadığına koşullu göreli sıklıklara bakarak nasıl karar verilir?

    Cevabı göster

    Açıklayıcı değişkenin kategorileri (alt grupları) değiştikçe yanıt değişkeninin koşullu göreli sıklık oranları belirgin biçimde değişiyorsa iki değişken 'ilişkilidir (bağımlıdır)' kararı verilir. Eğer tüm alt gruplarda koşullu göreli sıklık oranları birbirine (ve marjinal göreli sıklığa) eşitse iki değişken 'ilişkisizdir (bağımsızdır)'.

  4. Örnek 4Yüzde yüz yığılmış sütun grafiğine bakarak iki kategorik değişkenin ilişkili mi yoksa bağımsız mı olduğu nasıl anlaşılır?

    Cevabı göster

    %100 yığılmış sütun grafiğinde her sütun %100'ü gösterir. Sütunların içindeki kategori bölmelerini ayıran yatay çizgiler sütundan sütuna farklı yükseklikteyse koşullu göreli sıklıklar farklıdır ve değişkenler 'ilişkilidir'. Bölme çizgileri tüm sütunlarda aynı yatay hizada ise değişkenler 'ilişkisizdir (bağımsızdır)'.

  5. Örnek 5Gözlemsel bir istatistiksel araştırmada iki kategorik değişken arasında güçlü bir ilişki bulunması, birinci değişkenin ikinci değişkenin 'nedeni' olduğunu kanıtlar mı? Açıklayınız.

    Cevabı göster

    Hayır, kanıtlamaz. İstatistiksel ilişkililik (birliktelik) ile nedensellik (sebep-sonuç ilişkisi) farklı kavramlardır. Gözlemsel araştırmalarda her iki değişkeni de aynı anda etkileyen üçüncü bir karıştırıcı değişken (gizli etken) bulunabileceği için doğrudan nedensellik iddiasında bulunulamaz.

  6. Örnek 6İki kategorik değişkenli bir araştırmada 'örneklem yanlılığı' nedir ve araştırma sonuçlarını nasıl etkiler?

    Cevabı göster

    Örneklem yanlılığı, veri toplanan grubun hedef kitleyi (evreni) tarafsız biçimde temsil etmemesi durumudur (örneğin spor salonu çıkışında yapılan ankette spor yapma oranının gerçekte olduğundan çok yüksek çıkması). Yanlı örneklemle elde edilen sonuçlar hedef kitleye genellenemez.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Bir lisedeki 150 öğrenciye uygulanan ankette öğrencilerin 60'ı 9. sınıf, 90'ı 10. sınıftır. 9. sınıfların 24'ü, 10. sınıfların ise 54'ü okul kütüphanesini düzenli kullanmaktadır. Buna göre 9. ve 10. sınıflarda kütüphaneyi düzenli kullanma satır koşullu göreli sıklıkları sırasıyla yüzde kaçtır?

  2. 2Yukarıdaki kütüphane araştırmasında 'kütüphaneyi düzenli kullanan öğrencilerin (toplam 78 kişi) içinde 10. sınıf olanların' sütun koşullu göreli sıklığı aşağıdakilerden hangisidir?

  3. 3İki kategorik değişkenin (Cinsiyet ve Seçmeli Ders Tercihi) bağımsız (ilişkisiz) olduğu bilinen 200 kişilik bir grupta 80 kız ve 120 erkek öğrenci vardır. Kız öğrencilerin 32'si Robotik dersini seçtiğine göre, erkek öğrencilerin kaçı Robotik dersini seçmiştir?

  4. 4İki kategorik değişkenli bir veri grubuna ait %100 yığılmış sütun grafiği incelendiğinde bütün sütunlardaki kategori bölmelerinin birebir aynı yatay hizada olduğu görülüyor. Bu grafikten çıkarılabilecek en doğru istatistiksel sonuç aşağıdakilerden hangisidir?

  5. 5

    • Örneklem büyüklükleri farklı olan iki grubu karşılaştırırken mutlak sıklıklar yerine koşullu göreli sıklıklar kullanılmalıdır.
    • Bir satır koşullu göreli sıklık tablosunda her bir satırdaki göreli sıklıkların toplamı 1'e (%100'e) eşittir.
    • İki kategorik değişken arasında istatistiksel ilişki bulunması, birinci değişkenin ikinci değişkenin doğrudan sebebi olduğunu kanıtlar.
    • İki yönlü tabloda kenar (satır veya sütun) toplamlarının genel toplama bölünmesiyle elde edilen orana marjinal göreli sıklık denir.
    • Yüzde yüz (%100) yığılmış sütun grafiğinde sütunların toplam yükseklikleri her grubun kişi sayısına göre farklı boyda çizilir.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. İki yönlü sıklık tablosunda bir hücrenin değerini kendi sütun toplamına böldüğümüzde koşullu göreli sıklık elde edilir.
    2. Bir değişkenin kategorilerine göre diğer değişkenin koşullu göreli sıklıkları değişmiyorsa iki değişken birbirinden demektir.
    3. Koşullu göreli sıklık yüzdelerini tek bir sütun boyunda (%100) alt alta bölmelerle gösteren grafiğe sütun grafiği denir.
    4. Gözlemsel araştırmalarda iki değişken arasında ilişki çıkması, aralarında doğrudan bulunduğu anlamına gelmez.
    5. Toplam 250 kişinin katıldığı bir araştırmada 50 kişi 'Doğa Yürüyüşü ve İlkbahar' hücresindeyse bu hücrenin birleşik göreli sıklığı yüzde olur.

  8. 8Bir okulda 'Öğrencilerin düzenli spor yapma durumu (Evet / Hayır)' ile 'Uyku düzeni memnuniyeti (Yüksek / Düşük)' arasındaki ilişkiyi incelemek için 200 öğrenciyle anket yapılmıştır. Düzenli spor yapan 80 öğrencinin 60'ında, düzenli spor yapmayan 120 öğrencinin ise 48'inde uyku memnuniyeti 'Yüksek' çıkmıştır. Bu verileri üç adımda analiz ederek iki değişken arasında ilişki olup olmadığına karar veriniz.

Kısaca

  • Göreli Sıklık Türleri: İki yönlü tabloda birleşik göreli sıklık (hücre / genel toplam), marjinal göreli sıklık (kenar toplam / genel toplam) ve koşullu göreli sıklık (hücre / satır veya sütun toplamı) hesaplanır.
  • Adil Karşılaştırma: Alt grup mevcutları farklı olduğunda mutlak sıklıklar yerine koşullu göreli sıklıklar karşılaştırılır.
  • İlişkililik ve Bağımsızlık: Koşullu göreli sıklıklar gruptan gruba değişiyorsa değişkenler ilişkili (bağımlı); değişmeyip eşit kalıyorsa ilişkisiz (bağımsız) olur.
  • Sütun Grafikleri: %100 yığılmış ve kümelenmiş sütun grafikleri, koşullu göreli sıklık dağılımlarını görsel olarak karşılaştırmayı sağlar.
  • Raporlama İlkeleri: Araştırma sonuçları sayısal kanıtlarla raporlanır; ilişkililik ile nedensellik birbirine karıştırılmaz ve örneklem yansızlığı denetlenir.

Bu dersin öteki kaynakları