Aralarında asal çarpanların en küçük ortak katından (EKOK) oluşan 6 (2 ve 3), 12 (3 ve 4), 15 (3 ve 5), 18 (2 ve 9), 30 (3 ve 10), 36 (4 ve 9) ve 45 (5 ve 9) sayılarına bölünebilmede aralarında asal çarpanların kuralları birlikte uygulanır.
Bölünebilme Muhakemesi: EKOK Sayılarına Bölümünden Kalanlar
Geçen hafta temel bölünebilme kurallarını (2, 3, 4, 5, 8, 9 ve 10) incelemiştik. Bu hafta ise aralarında asal sayıların en küçük ortak katlarından (EKOK) oluşan 6, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45 ve 90 gibi sayılara bölünebilme ve kalan bulma muhakemesini tamamlıyoruz. Bir doğal sayının bileşik bir sayıya tam bölünebilmesi için aralarında asal çarpanlarının her birine ayrı ayrı tam bölünmesi gerekir.
Bir A doğal sayısının örneğin 15 ile bölümünden kalan k = 13 ise, bu A sayısının 15'in aralarında asal çarpanları olan 3 ile bölümünden kalan 13'ün 3'e bölümünden kalan olan 1; 5 ile bölümünden kalan ise 13'ün 5'e bölümünden kalan olan 3'tür. Tersi yönde de 3 ve 5 ile bölümünden kalanları bilinen bir sayının 15 ile bölümünden kalan tek bir değer olarak belirlenir.
| Bölen Sayı | Aralarında Asal Çarpanlar | Önce Uygulanacak Kural (Son Basamak) | Sonra Uygulanacak Kural (Rakamlar Toplamı) |
|---|---|---|---|
| 6 | 2 ve 3 | 2 ile bölünebilme (Birler basamağı) | 3 ile bölünebilme |
| 12 | 3 ve 4 | 4 ile bölünebilme (Son iki basamak) | 3 ile bölünebilme |
| 15 | 3 ve 5 | 5 ile bölünebilme (Birler basamağı) | 3 ile bölünebilme |
| 36 | 4 ve 9 | 4 ile bölünebilme (Son iki basamak) | 9 ile bölünebilme |
| 45 | 5 ve 9 | 5 ile bölünebilme (Birler basamağı) | 9 ile bölünebilme |
Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları ve Düşey Doğru Testi
Boş olmayan iki gerçek sayı kümesi A ve B olsun. A kümesinin her bir elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen ilişkiye A'dan B'ye tanımlı bir fonksiyon denir ve f: A -> B, y = f(x) biçiminde gösterilir. Burada A kümesine tanım kümesi, B kümesine değer kümesi, A'daki elemanların B'de eşleştiği elemanların oluşturduğu f(A) alt kümesine ise görüntü kümesi adı verilir.
Bir ilişkinin fonksiyon olup olmadığını anlamak için iki şart kontrol edilir: 1) Tanım kümesinde (A) açıkta eleman kalmamalıdır (yani her x için f(x) tanımlı olmalıdır; örneğin paydayı sıfır yapan veya karekök içini negatif yapan değer tanım kümesinde olamaz). 2) Tanım kümesindeki bir eleman değer kümesinde birden fazla elemanla eşleşmemelidir. Grafik üzerinde bu şart Düşey (Dikey) Doğru Testi ile kontrol edilir: Tanım kümesinden y eksenine paralel çizilen her düşey doğru grafiği bir ve yalnız bir noktada kesmelidir.
Fonksiyonların Nitel Özellikleri — I: Sıfırlar ve İşaret İncelemesi
Gerçek sayılarda tanımlı bir y = f(x) fonksiyonunun nitel özelliklerini hem cebirsel kuralı hem de grafiği üzerinden analiz edebiliriz. Fonksiyonun değerini sıfır yapan (f(x) = 0) x değerlerine fonksiyonun sıfırları veya denklemin kökleri denir. Grafik üzerinde fonksiyonun sıfırları, grafiğin x eksenini kestiği veya teğet olduğu noktaların apsisleridir.
Fonksiyonun işareti incelenirken grafiğin x eksenine göre konumuna bakılır: Grafiğin x ekseninin üstünde (y > 0) kalan kısımlarında fonksiyon pozitif değerlidir (f(x) > 0); grafiğin x ekseninin altında (y < 0) kalan kısımlarında ise fonksiyon negatif değerlidir (f(x) < 0).
| Grafikteki Konum | Cebirsel Karşılığı | Nitel Yorumu |
|---|---|---|
| x ekseninin üstünde kalan aralıklar | f(x) > 0 | Fonksiyon pozitif işaretlidir |
| x ekseninin üzerinde bulunan noktalar | f(x) = 0 | Fonksiyonun sıfırlarıdır (kökleridir) |
| x ekseninin altında kalan aralıklar | f(x) < 0 | Fonksiyon negatif işaretlidir |
Fonksiyonların Nitel Özellikleri — II: Artanlık, Azalanlık ve Ekstremum Noktaları
Bir fonksiyonun belirli bir [a, b] aralığında x değerleri soldan sağa doğru büyürken (x1 < x2) görüntüleri olan y değerleri de büyüyorsa (f(x1) < f(x2)), fonksiyon o aralıkta artandır (grafik soldan sağa yukarı yükselir). Eğer x değerleri büyürken (x1 < x2) y değerleri küçülüyorsa (f(x1) > f(x2)), fonksiyon o aralıkta azalandır (grafik soldan sağa aşağı iner). Görüntüler hiç değişmiyorsa (f(x1) = f(x2)) fonksiyon o aralıkta sabittir.
Fonksiyonun artanlıktan azalanlığa geçtiği tepe noktalarına ve tanım kümesinde aldığı en büyük değere maksimum noktası / maksimum değeri; azalanlıktan artanlığa geçtiği çukur noktalarına ve aldığı en küçük değere ise minimum noktası / minimum değeri denir.
Fonksiyonların Nitel Özellikleri — III: Bire Birlik ve Örtenlik
Bire Bir (İnjektif) Fonksiyon: Tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntüsü de birbirinden farklı ise (x1 != x2 iken f(x1) != f(x2) veya f(x1) = f(x2) iken x1 = x2) fonksiyona bire bir fonksiyon denir. Grafik üzerinde bire birlik Yatay Doğru Testi ile belirlenir: x eksenine paralel çizilen yatay doğrular grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire birdir.
Örten (Sürjektif) Fonksiyon: Değer kümesinde (B) açıkta hiçbir eleman kalmıyorsa, yani görüntü kümesi değer kümesine eşitse (f(A) = B) fonksiyon örtendir. Değer kümesinde en az bir eleman açıkta kalıyorsa (f(A) != B) fonksiyona içine fonksiyon denir.
| Fonksiyon Kuralı (f: R -> R) | Bire Bir mi? | Örten mi? | Gerekçesi |
|---|---|---|---|
| f(x) = 2x + 3 (Doğrusal) | Evet (Bire bir) | Evet (Örten) | Her y için tek bir x vardır; görüntü kümesi R'dir |
| f(x) = x² (Karesel) | Hayır (f(-2) = f(2) = 4) | Hayır (İçine) | Negatif sayıların karesi de pozitiftir; f(R) = [0, ∞) |
| f(x) = x³ (Kübik) | Evet (Bire bir) | Evet (Örten) | Sürekli artandır ve görüntü kümesi tüm R'dir |
Fonksiyonların Nitel Özellikleri — IV: Tek ve Çift Fonksiyonlar
Simetrik bir tanım kümesinde ([-a, a] veya R) tanımlı fonksiyonlar simetri özelliklerine göre çift fonksiyon ve tek fonksiyon olarak sınıflandırılır. Tanım kümesindeki her x için f(-x) = f(x) eşitliği sağlanıyorsa fonksiyon çift fonksiyondur ve grafiği y eksenine göre simetriktir (Örn: f(x) = x · x, f(x) = |x|, f(x) = x⁴ - 3x² + 5).
Tanım kümesindeki her x için f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanıyorsa fonksiyon tek fonksiyondur ve grafiği orijine (0, 0 noktasına) göre simetriktir (Örn: f(x) = x³ - x, f(x) = 5x). Bir fonksiyon hem tek hem çift olmayan bir yapıda da olabilir (Örn: f(x) = x² + 2x ne tektir ne çifttir).
Örnekler
Örnek 1Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 4a7b doğal sayısı 36 ile tam bölünebildiğine göre a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Cevabı göster
36 ile tam bölünen sayı aralarında asal çarpanları olan 4 ve 9'a tam bölünür. Önce 4 ile bölünebilmeye (son iki basamak 7b) bakalım: 72 ve 76 sayısı 4'e tam bölünür; yani b = 2 veya b = 6 olabilir. • b = 2 için 4a72: Rakamlar toplamı 4 + a + 7 + 2 = 13 + a = 18 → a = 5 (rakamları farklı: 4, 5, 7, 2). • b = 6 için 4a76: Rakamlar toplamı 4 + a + 7 + 6 = 17 + a = 18 → a = 1 (rakamları farklı: 4, 1, 7, 6). Buna göre a'nın alabileceği değerler toplamı 5 + 1 = 6 bulunur.
Örnek 2Beş basamaklı 52x4y doğal sayısının 45 ile bölümünden kalan 17'dir. Buna göre x kaç farklı değer alabilir?
Cevabı göster
45'in aralarında asal çarpanları 5 ve 9'dur. Sayının 45 ile bölümünden kalan 17 olduğuna göre: • 5 ile bölümünden kalan: 17'nin 5'e bölümünden kalan olan 2'dir → Birler basamağı y = 2 veya y = 7 olur. • 9 ile bölümünden kalan: 17'nin 9'a bölümünden kalan olan 8'dir. 1) y = 2 için 52x42: 5 + 2 + x + 4 + 2 = 13 + x = 9k + 8 → x + 5 = 9k → x = 4. 2) y = 7 için 52x47: 5 + 2 + x + 4 + 7 = 18 + x = 9k + 8 → x = 8. Rakamları farklı şartı verilmediğinden x; 4 ve 8 olmak üzere 2 farklı değer alır.
Örnek 3Gerçek sayılarda f(x) = x - 2 cebirsel ifadesinin fonksiyon belirttiği en geniş tanım kümesi nedir?
Cevabı göster
İfadenin gerçek sayı belirtmesi için iki şart vardır: 1) Karekök içi negatif olamaz: x + 4 >= 0 → x >= -4. 2) Payda sıfır olamaz: x - 2 != 0 → x != 2. Dolayısıyla en geniş tanım kümesi [-4, sonsuz) fark (2) kümesidir.
Örnek 4f: R -> R, f(x) = 2x - 8 doğrusal fonksiyonunun sıfırını (kökünü), pozitif ve negatif olduğu aralıkları bulunuz.
Cevabı göster
• Fonksiyonun sıfırı için f(x) = 0 denklemi çözülür: 2x - 8 = 0 → 2x = 8 → x = 4 fonksiyonun sıfırıdır. • Pozitif olduğu aralık: 2x - 8 > 0 → x > 4 yani (4, sonsuz) aralığıdır. • Negatif olduğu aralık: 2x - 8 < 0 → x < 4 yani (-sonsuz, 4) aralığıdır.
Örnek 5f: [-3, 5] -> R fonksiyonu f(x) = -2x + 4 kuralıyla tanımlanmıştır. Bu fonksiyonun görüntü kümesini, maksimum ve minimum değerlerini bulunuz.
Cevabı göster
f(x) = -2x + 4 fonksiyonunda x'in katsayısı negatif (-2) olduğu için fonksiyon azalandır. • En büyük (maksimum) değerini x = -3 uç noktasında alır: f(-3) = -2·(-3) + 4 = 10. • En küçük (minimum) değerini x = 5 uç noktasında alır: f(5) = -2·(5) + 4 = -6. Dolayısıyla görüntü kümesi f(A) = [-6, 10] kapalı aralığıdır.
Örnek 6Grafiği y eksenine göre simetrik olan bir f: R -> R fonksiyonu için f(x) + 2·f(-x) = 3x² - 12 eşitliği veriliyor. Buna göre f(3) değeri kaçtır?
Cevabı göster
Grafiği y eksenine göre simetrik olan fonksiyon çift fonksiyondur ve her x için f(-x) = f(x) eşitliğini sağlar. Denklemde f(-x) yerine f(x) yazarsak: f(x) + 2·f(x) = 3x² - 12 → 3·f(x) = 3x² - 12 → f(x) = x² - 4 bulunur. Buradan x = 3 için f(3) = 3² - 4 = 9 - 4 = 5 elde edilir.
Kavram Kartları
1 / 8
Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.
Etkinlikler
Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.
1Dört basamaklı 6x3y doğal sayısı 15 ile tam bölünebilen bir çift sayıdır. Buna göre x'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Sayı 15'e (3 ve 5'e) tam bölünen bir çift sayı olduğu için birler basamağı y = 0'dır (6x30). 3 ile bölünebilmesi için 6 + x + 3 + 0 = 9 + x = 3k -> x {0, 3, 6, 9} değerlerini alır; toplamları 0 + 3 + 6 + 9 = 18'dir.
2Gerçek sayılarda tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi hem bire bir hem de örten bir fonksiyondur?
f(x) = 3x - 5 doğrusal fonksiyonu R'den R'ye hem bire bir hem de örtendir; x² + 1, |x| ve sabit fonksiyon ise bire bir ve örten değildir.
3Aşağıda kuralı verilen gerçek sayı fonksiyonlarından hangisinin grafiği orijine (başlangıç noktasına) göre simetriktir?
Grafiği orijine göre simetrik olan fonksiyonlar TEK fonksiyonlardır. f(x) = x³ - 5x fonksiyonunda tüm kuvvetler (3 ve 1) tek olduğu için tek fonksiyondur.
4f: R -> R, f(x) = -x² + 9 fonksiyonunun sıfırlarının (grafiğinin x eksenini kestiği noktaların apsislerinin) çarpımı kaçtır?
f(x) = 0 -> -x² + 9 = 0 -> x² = 9 -> x = -3 ve x = 3 bulunur. Sıfırların çarpımı (-3) · 3 = -9'dur.
5Aşağıdaki ifadeleri Doğru (D) veya Yanlış (Y) olarak değerlendiriniz.
- Bir doğal sayının 36 ile tam bölünebilmesi için aralarında asal olan 4 ve 9 sayılarına ayrı ayrı tam bölünmesi gerekir.
EKOK(4, 9) = 36 ve EBOB(4, 9) = 1 olduğu için 4 ve 9 kuralları birlikte uygulanır.
- Koordinat düzleminde y eksenine paralel çizilen düşey doğrular bir grafiği iki farklı noktada kesiyorsa o grafik bir fonksiyon belirtir.
Düşey Doğru Testi'ne göre düşey doğrular grafiği en fazla bir noktada kesmelidir; iki noktada kesiyorsa fonksiyon değildir.
- Tanım kümesindeki her x için f(-x) = f(x) eşitliğini sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon denir ve grafikleri y eksenine göre simetriktir.
Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
- Bir fonksiyonun grafiğinin x ekseninin altında kalan kısımlarında fonksiyon pozitif değerlidir (f(x) > 0).
X ekseninin altında y değerleri negatif olduğu için f(x) < 0 (negatif değerli) olur.
- Değer kümesinde açıkta hiçbir eleman kalmayan (görüntü kümesi değer kümesine eşit olan) fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
f(A) = B koşulunu sağlayan fonksiyonlar örtendir.
- Bir doğal sayının 36 ile tam bölünebilmesi için aralarında asal olan 4 ve 9 sayılarına ayrı ayrı tam bölünmesi gerekir.
6Aşağıdaki fonksiyon kavramlarını ve testlerini açıklamalarıyla doğru şekilde eşleştiriniz.
Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.
7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.
- Bir doğal sayının 45 ile tam bölünebilmesi için aralarında asal olan 5 ve sayılarına tam bölünmesi gerekir.
- Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntülerinin de farklı olduğu fonksiyonlara fonksiyon denir.
- Bir fonksiyon grafiğinin x eksenini kestiği noktaların apsislerine fonksiyonun adı verilir.
- x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) eşitsizliği sağlanıyorsa fonksiyon o aralıkta bir fonksiyondur.
- f(-x) = -f(x) eşitliğini sağlayan tek fonksiyonların grafikleri göre simetriktir.
Önce bütün boşlukları doldurun.
8f: R -> R, f(x) = x² - 4 fonksiyonunun nitel özelliklerini 3 adımda analiz ediniz.
1. ipucu: :
2. ipucu: :
3. ipucu: :
Cevap:
Kısaca
- Aralarında asal çarpanların en küçük ortak katından (EKOK) oluşan 6 (2 ve 3), 12 (3 ve 4), 15 (3 ve 5), 18 (2 ve 9), 30 (3 ve 10), 36 (4 ve 9) ve 45 (5 ve 9) sayılarına bölünebilmede aralarında asal çarpanların kuralları birlikte uygulanır.
- Boş olmayan A (tanım kümesi) ve B (değer kümesi) gerçek sayı alt kümeleri arasında tanımlı bir f: A -> B ilişkisinin fonksiyon olabilmesi için: 1) Tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalı, 2) Tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde yalnız bir elemanla eşleşmelidir.
- Koordinat düzleminde verilen bir grafiğin fonksiyon belirtip belirtmediği Düşey (Dikey) Doğru Testi ile anlaşılır: Tanım kümesinden çizilen düşey doğrular grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa grafik bir fonksiyona aittir.
- Bir f(x) fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kestiği noktaların apsislerine fonksiyonun sıfırları (kökleri: f(x) = 0) denir; grafik x ekseninin üstündeyken f(x) pozitif, altındayken f(x) negatiftir.
- Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklı ise fonksiyon bire bir (Yatay Doğru Testi), değer kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa (f(A) = B) fonksiyon örtendir; ayrıca f(-x) = f(x) ise çift fonksiyon (y eksenine göre simetrik), f(-x) = -f(x) ise tek fonksiyondur (orijine göre simetrik).
Bu dersin öteki kaynakları
- 10. Sınıf Matematik Yıllık Planı (2026-2027) Yıllık plan
- Matematik Dersi Öğretim Programı (ortaöğretim) Öğretim programı
- 10. Sınıf Matematik Ortak Yazılı Senaryoları (1. dönem, 2026-2027) Yazılı senaryosu
- Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı Ders kitabı
- 10. Sınıf Matematik Günlük Planları (2026-2027) Ders planı