İçeriğe geç

10. sınıf · Matematik · 11. hafta (30 Kasım-4 Aralık 2026)

Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları, Pozitif Tam Bölen Sayısı ve En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ile En Küçük Ortak Kat (EKOK) Uygulamaları (10.3.1 & 10.3.2)

Sayılar teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Doğal sayıların yapı taşlarını oluşturan asal sayılar, aritmetikten modern şifreleme (kriptografi) algoritmalarına kadar matematiğin temelini kurar. Bir doğal sayının asal çarpanları ile pozitif tam bölenleri arasındaki örüntüyü keşfetmek ve birden çok sayının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) ile En Küçük Ortak Katı (EKOK) arasındaki ilişkileri muhakeme etmek, karmaşık gerçek yaşam problemlerini sistematik olarak çözmemizi sağlar.

Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları ve Pozitif Tam Bölen Sayısı

Yalnızca 1'e ve kendisine kalansız bölünebilen 1'den büyük doğal sayılara asal sayı (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...) denir; 2 en küçük ve tek çift asal sayıdır. Aritmetiğin Temel Teoremi'ne göre 1'den büyük her A doğal sayısı, birbirinden farklı p₁, p₂, ..., pₖ asal sayılarının pozitif tam sayı kuvvetlerinin çarpımı biçiminde A = p₁a₁ · p₂a₂ · ... · pₖaₖ şeklinde tek türlü (standart asal çarpan biçiminde) yazılabilir.

Asal çarpanlarına ayrılmış bir A doğal sayısının herhangi bir pozitif böleni, bu asal çarpanların kuvvetlerinden seçilerek oluşturulur. Birinci asal çarpanın üssü 0, 1, 2, ..., a₁ olmak üzere (a₁ + 1) farklı şekilde, ikinci asal çarpanın üssü (a₂ + 1) farklı şekilde seçilebildiğinden, sayının Pozitif Tam Bölen Sayısı (PBS) üslerin birer fazlasının çarpımına eşittir: PBS(A) = (a₁ + 1) · (a₂ + 1) · ... · (aₖ + 1).

Bir doğal sayının negatif tam bölen sayısı (NBS) pozitif tam bölen sayısına eşittir (NBS = PBS); dolayısıyla tüm tam bölenlerinin sayısı = 2 · PBS olur ve tüm tam bölenlerinin toplamı daima 0'dır. Ayrıca asal olmayan pozitif tam bölen sayısı, toplam pozitif bölen sayısından farklı asal çarpan adedinin (k) çıkarılmasıyla (PBS - k) bulunur. Bir doğal sayının tam kare olması için asal çarpan açılımındaki tüm üslerin çift sayı olması gerekir; bu durumda (aᵢ + 1) çarpanlarının hepsi tek olacağından tam kare sayıların pozitif tam bölen sayısı daima tek sayıdır.

ASAL ÇARPANLARA AYIRMA VE POZİTİF TAM BÖLEN SAYISI (10.3.1) ARİTMETİĞİN TEMEL TEOREMİ • 1'den büyük her A doğal sayısı, birbirinden farklı p₁, p₂, ..., pₖ asal sayılarının kuvvetleri çarpımı şeklinde tek türlü yazılır: • A = p₁^a₁ · p₂^a₂ · ... · pₖ^aₖ • Örnek: 180 = 2² · 3² · 5¹ • Asal çarpanları (bölenleri): 2, 3 ve 5 (3 tane) BÖLEN SAYISI BAĞINTILARI • Pozitif Tam Bölen Sayısı (PBS): PBS(A) = (a₁ + 1) · (a₂ + 1) · ... · (aₖ + 1) • 180 için PBS = (2 + 1)·(2 + 1)·(1 + 1) = 3·3·2 = 18 • Negatif Tam Bölen Sayısı (NBS) = PBS = 18 • Tam Bölen Sayısı = 2 · PBS = 36 • Asal Olmayan Pozitif Bölen = PBS - k = 18 - 3 = 15 Özel Örüntü: Tam kare doğal sayıların (1, 4, 9, 16, 25, 36...) pozitif tam bölen sayısı (PBS) daima TEK sayıdır.
🔍 Büyütmek için dokunun

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) Muhakemesi

İki veya daha fazla doğal sayıyı aynı anda kalansız bölebilen pozitif tam sayılara bu sayıların ortak bölenleri, ortak bölenlerin en büyüğüne ise En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir. Önemli bir matematiksel genelleme olarak; birden çok doğal sayının tüm ortak bölenleri, bu sayıların EBOB'unun tam bölenlerinden ibarettir. Dolayısıyla iki sayının kaç tane ortak pozitif böleni olduğunu bulmak için doğrudan EBOB(A, B)'nin pozitif bölen sayısı (PBS) hesaplanır.

İki veya daha fazla doğal sayının her birine kalansız bölünebilen pozitif tam sayılara bu sayıların ortak katları, ortak katların en küçüğüne ise En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir. Bu sayıların tüm ortak katları EKOK(A, B)'nin pozitif tam katlarıdır (k · EKOK(A, B)). Asal çarpanlarına ayrılmış sayılarda EBOB bulunurken yalnız ortak asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar çarpılır; EKOK bulunurken ise ortak asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak olmayan asal çarpanların tamamı çarpılır.

Herhangi iki A ve B pozitif tam sayısı için dört temel muhakeme önermesi geçerlidir: 1) İki sayının çarpımı EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir: A · B = EBOB(A, B) · EKOK(A, B). 2) Daima EBOB(A, B) ≤ A ≤ B ≤ EKOK(A, B) eşitsizliği sağlanır. 3) Eğer A ve B aralarında asal ise (1'den başka ortak pozitif bölenleri yoksa) EBOB(A, B) = 1 ve EKOK(A, B) = A · B olur (ardışık doğal sayılar ve ardışık tek sayılar daima aralarında asaldır). 4) Biri diğerinin tam katı olan iki sayıda (B = k · A) küçük sayı EBOB, büyük sayı ise EKOK'tur.

EBOB VE EKOK KAVRAMLARI İLE TEMEL ÖZELLİKLERİ (10.3.2) EBOB VE EKOK BULMA KURALI • Asal çarpanlarına ayrılmış iki doğal sayıda: • EBOB(A, B): Ortak asal çarpanlardan üssü en küçük olanların çarpımıdır. • EKOK(A, B): Ortak asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak olmayan asal çarpanların tamamının çarpımıdır. TEMEL MUHAKEME ÖNERMELERİ • A · B = EBOB(A, B) · EKOK(A, B) (İki sayı için!) • EBOB(A, B) ≤ min(A, B) ≤ max(A, B) ≤ EKOK(A, B) • A ve B aralarında asal ise: EBOB(A, B) = 1 ve EKOK(A, B) = A · B • B sayısı A'nın tam katı ise (A | B): EBOB(A, B) = A ve EKOK(A, B) = B İki doğal sayının tüm ortak bölenlerinin kümesi, bu iki sayının EBOB'unun bölenleri kümesine eşittir.
🔍 Büyütmek için dokunun

Gerçek Yaşam Problemlerinde EBOB ve EKOK Uygulamaları

Gerçek yaşam problemlerinde bütünden eş parçalara gidilen durumlarda EBOB kullanılır: Farklı ağırlık veya hacimdeki çuval ve varillerde bulunan ürünlerin birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükteki en az sayıda poşet veya şişeye doldurulması; dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın etrafına köşelere de gelmek şartıyla eşit aralıklarla en az sayıda ağaç/direk dikilmesi; büyük bir dikdörtgen levhanın eş karelere ya da dikdörtgenler prizmasının eş küplere bölünmesi EBOB problemleridir.

Küçük parçalardan ortak bir bütüne veya periyoda gidilen durumlarda ise EKOK kullanılır: Farklı zaman aralıklarıyla çalan zillerin, sefere çıkan otobüslerin veya nöbet tutan görevlilerin birlikte harekete geçtikten en az kaç saat/gün sonra tekrar aynı anda karşılaşacaklarının bulunması; küçük dikdörtgen fayanslar yan yana dizilerek en küçük alanlı bir kare veya tuğlalardan en küçük hacimli bir küp oluşturulması EKOK problemleridir.

Geometrik ve kalanlı bölme uygulamalarında pratik modeller kullanılır: 1) Kenarları a ve b olan dikdörtgenin çevresine eşit d = EBOB(a, b) aralıklarla dikilecek ağaç sayısı Çevred = 2(a + b)d formülüyle bulunur. 2) Boyutları a, b olan küçük dikdörtgenlerden en küçük kareyi yapmak için gereken parça sayısı EKOKa · EKOKb ile hesaplanır. 3) A = a·x + r = b·y + r biçimindeki kalanlı bölme sorularında her iki taraftan r çıkarılarak A - r sayısı EKOK(a, b)'nin katı olarak modellenir.

GERÇEK YAŞAM PROBLEMLERİNDE EBOB VE EKOK MODELLEMESİ BÜYÜKTEN KÜÇÜĞE PARÇALAMA ⟶ EBOB • Çuvallardaki ürünleri eşit hacimli poşetlere veya şişelere hiç artmayacak şekilde bölüştürme, • Tarlanın/bahçenin etrafına eşit aralıklarla en az sayıda ağaç veya direk dikme, • Büyük dikdörtgen/prizmayı eş karelere/küplere ayırma problemlerinde EBOB kullanılır. KÜÇÜKTEN BÜYÜĞE BİRLEŞTİRME ⟶ EKOK • Farklı periyotlarla çalan zillerin, nöbet tutan doktorların veya sefer yapan araçların tekrar aynı anda karşılaşma süresini bulma, • Küçük dikdörtgen fayanslardan/tuğlalardan en küçük kare/küp oluşturma, • Kalanlı bölünme problemlerinde EKOK kullanılır. Kapalı bir şeklin (üçgen, dikdörtgen) çevresine eşit d aralığıyla dikilen direk sayısı = Çevre / d bağıntısıyla bulunur.
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Asal çarpanlarına ayrılışı 360 = 23 · 32 · 51 olan 360 doğal sayısının; a) Kaç farklı asal çarpanı vardır? b) Pozitif tam bölen sayısı (PBS) kaçtır? c) Asal olmayan pozitif tam bölen sayısı kaçtır?

    Cevabı göster

    a) Asal çarpanları 2, 3 ve 5 olup toplam 3 tanedir. b) Pozitif tam bölen sayısı üslerin birer fazlasının çarpımından PBS(360) = (3 + 1)·(2 + 1)·(1 + 1) = 4 · 3 · 2 = 24'tür. c) Asal olmayan pozitif tam bölen sayısı ise 24 - 3 = 21'dir.

  2. Örnek 2Sondan kaç basamağı sıfırdır soruları ile bölen sayısı ilişkisini kullanarak: Pozitif tam bölen sayısı 36 olan A = 18 · 10n doğal sayısında n kaçtır?

    Cevabı göster

    Sayımızı asal çarpanlarına ayıralım: A = (2 · 32) · (2n · 5n) = 2n+1 · 32 · 5n. Pozitif tam bölen sayısı PBS(A) = (n + 1 + 1) · (2 + 1) · (n + 1) = 36'dır. Buradan 3 · (n + 2) · (n + 1) = 36 ⟹ (n + 2)·(n + 1) = 12 = 4 · 3 bulunur ve n = 2 elde edilir.

  3. Örnek 3Yetmiş iki (72) ve 120 doğal sayılarının EBOB ve EKOK değerlerini bularak bu iki sayının kaç tane ortak pozitif tam böleni olduğunu hesaplayınız.

    Cevabı göster

    72 = 23 · 32 ve 120 = 23 · 31 · 51'dir. Ortak asalların küçük üslülerinden EBOB(72, 120) = 23 · 31 = 24; büyük üslüler ve ortak olmayanlardan EKOK(72, 120) = 23 · 32 · 51 = 360 bulunur. İki sayının ortak pozitif bölenlerinin sayısı EBOB(72, 120) = 24 = 23 · 31 sayısının pozitif bölen sayısına eşittir: PBS(24) = (3 + 1)·(1 + 1) = 8 tanedir.

  4. Örnek 4Aralarında asal iki doğal sayının EKOK'u 120'dir. Bu iki sayıyı (A ve B) birbirine bağlayan A + 16B = 17 eşitliği verildiğine göre A + B toplamı kaçtır?

    Cevabı göster

    A ve B aralarında asal olduğundan EBOB(A, B) = 1 ve A · B = EKOK(A, B) = 120'dir. Verilen eşitlikte payda eşitlenirse A·B + 16B = 17 olur. A·B yerine 120 yazılırsa 120 + 16B = 17 ⟹ 136B = 17 ⟹ B = 8 bulunur. A · B = 120 eşitliğinde B = 8 yazılırsa A = 15 elde edilir (15 ve 8 aralarında asaldır). Buna göre A + B = 15 + 8 = 23'tür.

  5. Örnek 5Boyutları 84 metre ve 108 metre olan dikdörtgen biçimindeki bir parkın çevresine, köşelerine de dikilmek şartıyla eşit aralıklarla en az kaç aydınlatma direği dikilebilir?

    Cevabı göster

    Direk sayısının en az olması için direkler arası mesafe (d) 84 ve 108'i tam bölen en büyük sayı olmalıdır: d = EBOB(84, 108) = 12 metredir. Kapalı dikdörtgenin çevresine dikilecek direk sayısı = Çevred = 2 · (84 + 108)12 = 2 · 19212 = 32 adet direk dikilir.

  6. Örnek 6Bir sepetteki güller 6'şarlı, 8'erli ve 10'arlı demetler yapıldığında her seferinde 4 gül artmaktadır. Sepetteki gül sayısı 200'den fazla olduğuna göre sepette en az kaç gül vardır?

    Cevabı göster

    Sepetteki gül sayısına G dersek G = 6x + 4 = 8y + 4 = 10z + 4 olduğundan (G - 4) sayısı 6, 8 ve 10'un ortak katıdır. EKOK(6, 8, 10) = 120'dir. Buna göre G - 4 = 120·k ⟹ G = 120·k + 4 olur. Gül sayısı 200'den fazla olduğu için k = 2 verilir: G = 120 · 2 + 4 = 244 gül vardır.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Asal çarpanlarına ayrılmış biçimi A = 24 · 32 · 51 olan A doğal sayısının pozitif tam bölen sayısı (PBS) kaçtır?

  2. 2Birbirinden farklı iki pozitif tam sayının en büyük ortak böleni EBOB(A, B) = 15 olduğuna göre A + B toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

  3. 3Bir hastanede görev yapan iki doktordan birincisi 6 günde bir, ikincisi ise 8 günde bir nöbet tutmaktadır. İki doktor ilk kez Salı günü birlikte nöbet tuttuklarına göre 3. kez birlikte nöbeti hangi gün tutarlar?

  4. 4Boyutları 40 kg, 56 kg ve 72 kg olan üç farklı çuvaldaki pirinçler birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak biçimde eşit kütleli poşetlere doldurulacaktır. Bu işlem için en az kaç adet poşet gerekir?

  5. 5

    • Tam kare olan her pozitif doğal sayının (örneğin 36, 49, 100) pozitif tam bölen sayısı tek sayıdır.
    • Bir doğal sayının tüm tam bölenlerinin (pozitif ve negatif tam bölenlerinin) toplamı sıfırdır.
    • Aralarında asal olan iki doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğü (EBOB) bu iki sayının çarpımına eşittir.
    • İki doğal sayının tüm ortak pozitif bölenlerinin sayısı, bu iki sayının EBOB'unun pozitif bölen sayısına eşittir.
    • Kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan küçük dikdörtgen kartonlar yan yana dizilerek oluşturulabilecek en küçük karenin bir kenarı 2 cm'dir.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Yalnızca 1'e ve kendisine kalansız bölünebilen en küçük ve tek çift asal sayı sayısıdır.
    2. Pozitif tam bölen sayısı (PBS) yalnız 3 olan doğal sayılar, bir asal sayının olan sayılardır (4, 9, 25, 49 gibi).
    3. Ardışık iki doğal sayı (örneğin 14 ve 15) daima aralarında olduğu için EBOB'ları 1'dir.
    4. Büyük çuvallardaki bakliyatları eşit hacimli küçük paketlere hiç artmayacak biçimde paylaştırma problemlerinde kullanılır.
    5. Farklı zaman aralıklarıyla sefer yapan gemilerin aynı limandan kalktıktan sonra tekrar birlikte kalkma süresini bulurken hesaplanır.

  8. 8Bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılışı ile pozitif tam bölen sayısı (PBS) arasındaki ilişkiyi ve iki doğal sayının EBOB-EKOK özelliklerinin gerçek yaşam problemlerine nasıl uygulandığını üç aşamada açıklayınız.

Kısaca

  • Aritmetiğin Temel Teoremi'ne göre 1'den büyük her doğal sayı A = p₁^a₁ · p₂^a₂ · ... · pₖ^aₖ biçiminde asal çarpanlarının kuvvetleri çarpımı olarak yazılır; Pozitif Tam Bölen Sayısı PBS(A) = (a₁ + 1)·(a₂ + 1)...·(aₖ + 1) formülüyle bulunur.
  • Bir doğal sayının tam bölen sayısı 2 · PBS'dir, tam bölenlerinin toplamı 0'dır; tam kare doğal sayıların pozitif tam bölen sayısı (PBS) ise daima tek sayıdır.
  • İki doğal sayının tüm ortak bölenleri EBOB'larının bölenleridir; asal çarpan açılımında ortak asalların küçük üslüleri EBOB'u, tüm asalların büyük üslüleri EKOK'u verir.
  • Herhangi iki A ve B doğal sayısı için A · B = EBOB(A, B) · EKOK(A, B) eşitliği sağlanır; aralarında asal iki sayı için EBOB = 1 ve EKOK = A · B'dir.
  • Bütünü eş parçalara bölme ve eşit aralıklı ağaç dikme problemlerinde EBOB; parçaları birleştirme, periyodik nöbet/sefer karşılaşmaları ve kalanlı bölme problemlerinde ise EKOK kullanılır.

Bu dersin öteki kaynakları