İçeriğe geç

10. sınıf · Matematik · 13. hafta (14-18 Aralık 2026)

Bölünebilme: Bir Doğal Sayının 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 ve Bunların En Küçük Ortak Katlarına Bölümünden Kalanlara Dair Muhakeme (10.3.3)

Sayılar teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Çok basamaklı bir doğal sayıyı uzun bölme işlemi yapmadan belirli bir doğal sayıya böldüğümüzde kalanın kaç olacağını bulmak, onluk sayı sisteminin (10'un kuvvetlerinin) basamak çözümlemesine dayanır. Bu haftaki dersimizde 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 ile bölünebilme önermelerini doğruluyor ve bu sayıların en küçük ortak katlarından (EKOK) oluşan birleşik sayılara bölümünden kalanları muhakeme ediyoruz.

Son Basamaklara Dayalı Bölünebilme Önermeleri (2, 4, 5, 8 ve 10)

Onluk tabanda yazılan dört basamaklı bir abcd doğal sayısı basamak değerlerine göre abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 10·(100a + 10b + c) + d şeklinde çözümlenir. Burada 10·(100a + 10b + c) terimi 10, 5 ve 2 sayılarına kalansız bölündüğü için sayının 2, 5 ve 10 ile bölümünden kalan, doğrudan birler basamağındaki d rakamının bu sayılara bölümünden kalana eşittir.

Benzer şekilde abcd = 100·(10a + b) + (cd) yazıldığında 100 = 4 · 25 sayısı 4'ün tam katı olduğundan, bir doğal sayının 4 ile bölümünden kalan, sayının son iki basamağının (cd) 4 ile bölümünden kalana eşittir. Sayının son iki basamağı 00 veya 4'ün katı (04, 08, ..., 96) ise sayı 4 ile tam bölünür.

Üçüncü kuvvet olan 1000 = 8 · 125 sayısı 8'in tam katı olduğu için abcde = 1000·(10a + b) + (cde) çözümlemesi gereğince bir doğal sayının 8 ile bölümünden kalan, sayının son üç basamağının (cde) 8 ile bölümünden kalana eşittir. Son üç basamağı 000 veya 8'in katı olan doğal sayılar 8 ile kalansız bölünür.

SON BASAMAKLARA DAYALI BÖLÜNEBİLME KURALLARI (2, 4, 5, 8, 10) BİRLER BASAMAĞINA BAKILANLAR (2, 5, 10) • 10 = 2 · 5 olduğundan 10'un katları 2, 5 ve 10'a tam bölünür • 2 ile bölünebilme: Birler basamağı çift (0, 2, 4, 6, 8) olmalı Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1'dir • 5 ile bölünebilme: Birler basamağı 0 veya 5 olmalı • 10 ile bölünebilme: Birler basamağı 0 olmalı (Kalan = birler b.) SON İKİ VE SON ÜÇ BASAMAĞA BAKILANLAR (4, 8) • 4 ile bölünebilme (100 = 4 · 25 tam bölünür): Son iki basamağı (ab) 00 veya 4'ün katı olmalıdır 4 ile bölümden kalan = Son iki basamağın 4'e bölümünden kalan • 8 ile bölünebilme (1000 = 8 · 125 tam bölünür): Son üç basamağı (abc) 000 veya 8'in katı olmalıdır 8 ile bölümden kalan = Son üç basamağın 8'e bölümünden kalan 10^k sayısı 2^k ve 5^k ile tam bölündüğünden, 2^k kuralında son k basamağa bakılır.
🔍 Büyütmek için dokunun

Rakamlar Toplamına Dayalı Bölünebilme Önermeleri (3 ve 9) ve Kalan Cebiri

Onun kuvvetleri incelendiğinde 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1 ve genel olarak 10n = 9k + 1 örüntüsü görülür. Dört basamaklı abcd sayısı abcd = (999 + 1)a + (99 + 1)b + (9 + 1)c + d = 9·(111a + 11b + c) + (a + b + c + d) biçiminde yazıldığında ilk terim hem 9'un hem de 3'ün tam katıdır.

Bu matematiksel doğrulama sonucunda: Bir doğal sayının 9 ile bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının (a + b + c + d) 9 ile bölümünden kalana eşittir. Aynı şekilde sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. Rakamları toplamı 9'un katı olan sayılar 9'a, 3'ün katı olan sayılar ise 3'e tam bölünür.

Kalanlar Cebiri: İki doğal sayının (A ve B) aynı m doğal sayısına bölümünden kalanlar sırasıyla k1 ve k2 ise; A + B toplamının, A - B farkının ve A · B çarpımının m ile bölümünden kalan, doğrudan kalanlarla yapılan k1 + k2, k1 - k2 ve k1 · k2 işlemlerinin m ile bölümünden kalana eşittir.

RAKAMLAR TOPLAMINA DAYALI BÖLÜNEBİLME (3 VE 9) VE KALAN CEBİRİ 3 VE 9 İLE BÖLÜNEBİLME MUHAKEMESİ • Basamak Özelliği: 10^n = (99...9) + 1 = 9k + 1 • abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 9·(111a+11b+c) + (a+b+c+d) • 9 ile bölümden kalan = Rakamlar toplamının 9'a bölümünden kalan • 3 ile bölümden kalan = Rakamlar toplamının 3'e bölümünden kalan • 9'a tam bölünen her doğal sayı 3'e de tam bölünür KALANLARLA İŞLEM YAPMA ÖZELLİĞİ • A ve B sayılarının m ile bölümünden kalanlar k1 ve k2 ise: • (A + B)'nin m ile bölümünden kalan ↔ (k1 + k2)'nin kalanı • (A · B)'nin m ile bölümünden kalan ↔ (k1 · k2)'nin kalanı • (A^n)'nin m ile bölümünden kalan ↔ (k1^n)'nin kalanı • Büyük sayıları çarpmak yerine kalanları çarpmak yeterlidir! Bir doğal sayının basamaklarındaki rakamların yer değiştirmesi 3 ve 9 ile bölümünden kalanı değiştirmez.
🔍 Büyütmek için dokunun

En Küçük Ortak Katlardan (EKOK) Oluşan Sayılara Bölünebilme Muhakemesi

Aralarında asal iki doğal sayının (EBOB(a, b) = 1) en küçük ortak katı çarpımlarına eşittir (EKOK(a, b) = a · b). Bir doğal sayının a · b sayısına tam bölünebilmesi için hem a hem de b sayısına ayrı ayrı tam bölünmesi gerekir. Bu kuraldan hareketle: 6 için (2 ve 3), 12 için (3 ve 4), 15 için (3 ve 5), 18 için (2 ve 9), 30 için (3 ve 10), 36 için (4 ve 9), 45 için (5 ve 9) ve 90 için (9 ve 10) bölünebilme kuralları birlikte uygulanır.

Birleşik sayılara bölünebilme sorularında işlem sırası çok önemlidir: Önce son basamakları ilgilendiren kural (2, 4, 5, 8 veya 10) uygulanarak son basamağın alabileceği değerler belirlenir; ardından rakamlar toplamını ilgilendiren kural (3 veya 9) her durum için ayrı ayrı incelenir.

Bir doğal sayının EKOK(a, b) = d sayısına bölümünden kalan k olarak verildiğinde (A = d · q + k), bu sayının a ve b çarpanlarına bölümünden kalanlar, doğrudan k kalanının a ve b'ye bölümünden kalanlara eşittir. Örneğin bir sayının 36 ile bölümünden kalan 23 ise, bu sayının 4 ile bölümünden kalan 23 → 3, 9 ile bölümünden kalan ise 23 → 5'tir.

ARALARINDA ASAL ÇARPANLARIN EKOK'UNA BÖLÜNEBİLME (6, 12, 15, 36, 45) BİRLEŞİK SAYILARA BÖLÜNEBİLME İLKESİ • EBOB(a, b) = 1 (aralarında asal) ise EKOK(a, b) = a · b • 6 ile bölünebilme → Hem 2 hem 3 ile tam bölünmeli • 12 ile bölünebilme → Hem 3 hem 4 ile tam bölünmeli • 15 ile bölünebilme → Hem 3 hem 5 ile tam bölünmeli • 36 → (4 ve 9) | 45 → (5 ve 9) | 90 → (9 ve 10) UYGULAMA SIRASI VE KALAN MUHAKEMESİ • 1. Adım: Önce SON BASAMAĞI ilgilendiren kural uygulanır (Örn: 36 için önce 4 kuralı, 45 için önce 5 kuralı) • 2. Adım: Sonra RAKAMLAR TOPLAMI kuralı (3 veya 9) uygulanır • Kalanlı sorularda: Sayının d = a·b ile bölümünden kalan k ise sayının a ve b ile bölümünden kalanlar, k'nin kalanlarına eşittir! Dikkat: 12 için (2 ve 6) veya 36 için (6 ve 6) seçilmez; seçilen çarpanlar aralarında asal (EBOB=1) olmalıdır!
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 53ab doğal sayısı 4 ve 9 ile kalansız bölünebildiğine göre a + b toplamının alabileceği değerleri bulunuz.

    Cevabı göster

    Önce son iki basamağı ilgilendiren 4 ile bölünebilme kuralına bakılır; ancak a da son iki basamakta olduğu için önce 9 kuralını yazalım: 5 + 3 + a + b = 8 + a + b = 9k olmalıdır. Buradan a + b = 1 veya a + b = 10 olabilir (a + b = 19 olamaz çünkü rakamlar farklı). 1) a + b = 1 ise (ab) iki basamaklı sayısı 10 veya 01 olur; ikisi de 4'e bölünmez. 2) a + b = 10 ise (ab) sayısı 28, 46, 64, 82 olabilir; bunlardan 28 ve 64 sayısı 4'e tam bölünür ve rakamları 5, 3'ten farklıdır (5328 ve 5364). O hâlde a + b = 10 bulunur.

  2. Örnek 2Beş basamaklı 7a43b doğal sayısının 45 ile bölümünden kalan 13 olduğuna göre a'nın alabileceği değerler toplamını hesaplayınız.

    Cevabı göster

    45 = EKOK(5, 9) olduğundan, 45 ile bölümünden kalan 13 olan sayının 5 ile bölümünden kalan 13 → 3; 9 ile bölümünden kalan ise 13 → 4'tür. 1) 5 ile bölümden kalan 3 olduğuna göre birler basamağı b = 3 veya b = 8 olur. 2) b = 3 için 7a433 sayısının rakamları toplamı 7 + a + 4 + 3 + 3 = 17 + a = 9k + 4 → 13 + a = 9k → a = 5 olur. 3) b = 8 için 7a438 sayısının rakamları toplamı 7 + a + 4 + 3 + 8 = 22 + a = 9k + 4 → 18 + a = 9k → a = 0 veya a = 9 olur. Böylece a'nın alabileceği değerler 0, 5 ve 9 olup toplamları 0 + 5 + 9 = 14'tür.

  3. Örnek 3A = 1453 · 2026 + (1923)² işleminin sonucunda elde edilen doğal sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

    Cevabı göster

    Büyük sayıları çarpmak yerine her sayının 9 ile bölümünden kalan (rakamları toplamının 9'a kalanı) bulunur: 1453 → 1+4+5+3 = 13 → kalan 4; 2026 → 2+0+2+6 = 10 → kalan 1; 1923 → 1+9+2+3 = 15 → kalan 6. Kalanlar işlemde yerine yazılırsa: 4 · 1 + 6² = 4 + 36 = 40 olur. 40 sayısının 9 ile bölümünden kalan 4 + 0 = 4 olarak bulunur.

  4. Örnek 4Dört basamaklı 6x4y doğal sayısı 30 ile tam bölünebilen bir sayı olduğuna göre x rakamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

    Cevabı göster

    30 = EKOK(3, 10) olup 3 ve 10 aralarında asaldır. 1) Sayı 10 ile tam bölündüğüne göre birler basamağı y = 0 olmalıdır (sayı 6x40 olur). 2) Sayı 3 ile tam bölündüğüne göre rakamları toplamı 6 + x + 4 + 0 = 10 + x = 3k olmalıdır. Buradan x rakamı 2, 5 veya 8 değerlerini alabilir. Rakamları farklı şartı verilmediği için x'in alabileceği 3 farklı değer vardır.

  5. Örnek 5Bir doğal sayının 4 ile bölümünden kalan 3, 9 ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre bu sayının 36 ile bölümünden kalan kaçtır?

    Cevabı göster

    4 ve 9 aralarında asal olduğundan EKOK(4, 9) = 36'dır. Aranan kalan k (0 ≤ k < 36) hem 9'a bölündüğünde 5 kalanını hem de 4'e bölündüğünde 3 kalanını vermelidir. 0 ile 35 arasında 9 ile bölümünden 5 kalanını veren sayılar: 5, 14, 23 ve 32'dir. Bu sayılardan 4 ile bölündüğünde 3 kalanını veren sayı 23'tür (23 = 4·5 + 3). Dolayısıyla sayının 36 ile bölümünden kalan 23'tür.

  6. Örnek 6Altı basamaklı 418a5b doğal sayısı 8 ve 3 ile kalansız bölünebildiğine göre a = 2 için (a + b) toplamının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

    Cevabı göster

    a = 2 verildiğinde sayı 41825b olur ve son üç basamağı (25b) 8 ile tam bölünmelidir. 250 + b ifadesinde 248 sayısı 8'in tam katı (8 · 31 = 248) olduğundan 248 + 8 = 256 sayısı 8'e tam bölünür; yani b = 6 bulunur. Kontrol edilirse rakamları toplamı 4+1+8+2+5+6 = 26 (3'e bölünmez! Demek ki a'yı 3'e göre seçmeliyiz): Önce 8 ile bölünen (a5b) son üç basamak kuralına göre 5b kısmında a çift ise (5b) = 56 → b = 6; a tek ise (15b) = 152 → b = 2 olur. b = 6 için (a çift: 0,2,4,6,8) rakamlar toplamı 4+1+8+a+5+6 = 24 + a = 3k → a = 0 veya a = 6 olur. En büyük a = 6 ve b = 6 için a + b = 12 bulunur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 47a2 doğal sayısının 3 ile kalansız bölünebilmesi için a yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?

  2. 2Beş basamaklı 38a4b doğal sayısı 15 ile tam bölünebildiğine göre a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

  3. 3Bir A doğal sayısının 36 ile bölümünden kalan 29'dur. Buna göre A sayısının 4 ve 9 ile bölümünden kalanların toplamı kaçtır?

  4. 4Dört basamaklı 5a3b doğal sayısının 45 ile bölümünden kalan 7 olduğuna göre a kaç farklı değer alabilir?

  5. 5

    • Bir doğal sayının 8 ile bölümünden kalanı bulmak için sayının son üç basamağının oluşturduğu sayının 8 ile bölümünden kalana bakılır.
    • Hem 2 ile hem de 6 ile kalansız bölünen her doğal sayı 12 ile de kalansız bölünür.
    • Bir doğal sayının basamaklarındaki rakamların yerleri değiştirildiğinde oluşan yeni sayının 9 ile bölümünden kalan değişmez.
    • Birler basamağı 4 olan bütün doğal sayılar 4 ile kalansız bölünür.
    • Aralarında asal olan 4 ve 9 sayılarına kalansız bölünen her doğal sayı, bu iki sayının en küçük ortak katı olan 36'ya da kalansız bölünür.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Bir doğal sayının 10 ile bölümünden kalan, o sayının basamağındaki rakama eşittir.
    2. Onun kuvvetlerinin 9 ile bölümünden kalan daima 1 olduğu için 9 ile bölünebilmede sayının toplamına bakılır.
    3. Bir doğal sayının 15 ile kalansız bölünebilmesi için aralarında asal olan 3 ve sayılarına tam bölünmesi gerekir.
    4. Dokuz (9) ile kalansız bölünebilen her doğal sayı, 9'un çarpanı olan sayısı ile de kalansız bölünür.
    5. Dört basamaklı 2026 doğal sayısının 4 ile bölümünden kalan, son iki basamağı olan 26'nın 4'e bölümünden kalan olan sayısıdır.

  8. 8Rakamları birbirinden farklı beş basamaklı 64a3b doğal sayısının 36 ile bölümünden kalan 15'tir. Buna göre a rakamının değerini bulma sürecini 3 adımda muhakeme ederek yapılandırınız.

Kısaca

  • 10^k = 2^k · 5^k olduğundan 2, 5 ve 10 ile bölünebilmede birler basamağına; 4 ile bölünebilmede son iki basamağa; 8 ile bölünebilmede ise son üç basamağa bakılır.
  • 10^n = 9k + 1 basamak çözümlemesi gereğince bir doğal sayının 3 ve 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 ve 9 ile bölümünden kalana eşittir.
  • Aynı m sayısına bölünen sayıların toplam, fark ve çarpımlarının m ile bölümünden kalan, sayıların kendi kalanlarıyla yapılan işlemin kalanına eşittir.
  • Aralarında asal a ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı EKOK(a, b) = a · b sayısına bölünebilme için hem a hem de b kuralı birlikte sağlanmalıdır (6→2-3, 12→3-4, 15→3-5, 36→4-9, 45→5-9).
  • Birleşik sayılara bölünebilme problemlerinde önce son basamağı ilgilendiren kural (2, 4, 5, 10), ardından rakamlar toplamı kuralı (3, 9) uygulanır.

Bu dersin öteki kaynakları