İçeriğe geç

10. sınıf · Matematik · 2. hafta (21-25 Eylül 2026)

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar, Özdeşlik Uygulamaları, Birim Çember, Geniş Açılar ve Yönlü Açılar

1. TEMA: GEOMETRİK ŞEKİLLER teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

İlk haftada dik üçgende dar açıların dört temel trigonometrik oranını, 30°, 45°, 60° özel açılarını ve temel Pisagor özdeşliğini öğrenmiştik. Bu ikinci haftada ise dik olmayan üçgenlerde dikme indirerek trigonometrik modelleme yapmayı, trigonometrik özdeşliklerin tam kare ifadelerle kullanımını, hipotenüsü 1 birim olan dik üçgende kenarların trigonometrik oranlarla temsilini, eğim yüzdesi ve trigonometrik cetvel uygulamalarını, birim çember yardımıyla geniş açıların (90° < α < 180°) sinüs ve kosinüs değerlerini ve yönlü açı kavramını inceliyoruz.

Dikme İndirerek Trigonometrik Modelleme ve Gerçek Yaşam Problemleri

Gerçek yaşam problemlerinde karşılaşılan her üçgen başlangıçta dik üçgen olmayabilir. Bir üçgende iki dar açının trigonometrik oranları (veya yaklaşık değerleri) biliniyorsa bilinen açıları bozmayacak şekilde üçgenin tepe köşesinden tabana bir dikme (yükseklik) indirilir. Böylece ortak bir dik kenara sahip iki ayrı dik üçgen elde edilir.

Örneğin tabanı [AB] olan bir DAB üçgeninde D köşesinden [DH] ⊥ [AB] dikmesi indirildiğinde DAH ve DBH dik üçgenleri oluşur. |DH| = h ortak dik kenarı üzerinden tan A = h|AH| ve tan B = h|BH| (veya tümler açının kotanjantı) yazılarak |AH| ile |BH| uzunlukları k orantı sabiti cinsinden ifade edilir ve toplam taban uzunluğu |AB| = |AH| + |BH| yardımıyla aranan mesafe bulunur.

GENEL ÜÇGENDE DİKME İNDİREREK TRİGONOMETRİK MODELLEMEABD (Deniz Feneri)H22°31°59°h = 4k|AH| = 10k|BH| = 20k/3ÇÖZÜM ADIMLARI (ORTAK DİK KENAR)1. [DH] ⊥ [AB] dikmesi indirilerek iki dik üçgen (DAH ve DBH) oluşturulur.2. tan 22° = h/|AH| = 4/10 ⇒ h = 4k, |AH| = 10k3. cot 59° = |BH|/h = 6/10 ⇒ |BH| = 20k/34. |AB| = |AH| + |BH| toplamından k ve h (fenerin kıyıya uzaklığı) bulunur.

Trigonometrik Özdeşliklerin Tam Kare İfadelerle Kullanımı

Bir x dar açısı için Pisagor teoreminden türetilen sin2 x + cos2 x = 1 ve ters oranların çarpımından gelen tan x · cot x = 1 özdeşlikleri, cebirsel çarpanlara ayırma ve tam kare özdeşlikleriyle birlikte sıkça kullanılır. Özellikle sin x + cos x veya sin x − cos x toplam/farkı verildiğinde sin x · cos x çarpımını bulmak için ifadenin her iki tarafının karesi alınır: (sin x ∓ cos x)2 = sin2 x ∓ 2 · sin x · cos x + cos2 x = 1 ∓ 2 · sin x · cos x.

Benzer şekilde bir dar açının tanjant ve kotanjant değerlerinin kareleri toplamı veya toplamlarının karesi sorulduğunda tan x · cot x = 1 özdeşliğinden yararlanılır: (tan x + cot x)2 = tan2 x + 2 · tan x · cot x + cot2 x = tan2 x + cot2 x + 2. Böylece açı ölçüsü veya dik üçgenin kenarları tek tek bulunmadan cebirsel sonuç doğrudan elde edilir.

Cebirsel İfadeTrigonometrik Özdeşliklerle Sadeleştirilmiş Eşiti
(sin x + cos x)2sin2 x + cos2 x + 2 · sin x · cos x = 1 + 2 · sin x · cos x
(sin x − cos x)2sin2 x + cos2 x − 2 · sin x · cos x = 1 − 2 · sin x · cos x
(tan x + cot x)2tan2 x + cot2 x + 2 · tan x · cot x = tan2 x + cot2 x + 2
1 − sin2 x ve 1 − cos2 x1 − sin2 x = cos2 x ve 1 − cos2 x = sin2 x
TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER VE TAM KARE UYGULAMALARI1. SİNÜS - KOSİNÜS TAM KARETemel Özdeşlik: sin²x + cos²x = 1(sin x + cos x)² = 1 + 2 · sin x · cos x(sin x − cos x)² = 1 − 2 · sin x · cos xUygulama: Tel çerçeve alanı A = sin x · cos x2. TANJANT - KOTANJANT TAM KARETemel Özdeşlik: tan x · cot x = 1(tan x + cot x)² = tan²x + cot²x + 2(tan x − cot x)² = tan²x + cot²x − 2Uygulama: tan²x + cot²x = 14 ⇒ Alan = 14 + 2 = 16

Hipotenüsü 1 Birim Olan Dik Üçgen, Eğim Yüzdesi ve Trigonometrik Cetvel

Hipotenüs uzunluğu 1 birim olan bir ABC dik üçgeninde (m(A) = 90°) dar açılardan birinin ölçüsü x olsun. Bu durumda sin x = |AC|1 = |AC| ve cos x = |AB|1 = |AB| olur. Yani hipotenüsü 1 birim olan dik üçgende x açısının karşısındaki dik kenar doğrudan sin x birim, komşu dik kenar ise doğrudan cos x birimdir. Buradan karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı yazılırsa tan x = sin xcos x ve cot x = cos xsin x özdeşlikleri doğal olarak kanıtlanmış olur.

Günlük hayatta karayollarının dikliğini gösteren Tehlikeli Eğim Levhalarında eğim yüzdesi trigonometrik oranlarla hesaplanır. Eğim açısı α olan bir yolda Eğim = Yükseklik FarkıYatay Uzaklık = tan α = sin αcos α olup Eğim Yüzdesi (%) = tan α · 100 formülüyle bulunur. 15°, 16°, 17° gibi özel olmayan açılarda ise trigonometrik cetveldeki yaklaşık sinüs ve kosinüs değerleri birbirine bölünerek tanjant ve eğim yüzdesi hesaplanır.

HİPOTENÜSÜ 1 BİRİM OLAN DİK ÜÇGEN VE YOL EĞİM YÜZDESİHİPOTENÜSÜ 1 BİRİM OLAN DİK ÜÇGENxHipotenüs = 1Komşu = cos xKarşı = sin xORANLAR VE YOL EĞİM YÜZDESİ (%)tan x = sin x / cos x • cot x = cos x / sin xEğim = Yükseklik Farkı / Yatay Uzaklık = tan αEğim Yüzdesi (%) = tan α · 100Örn: α = 17° için tan 17° ≈ 0,30 ⇒ Eğim ≈ %30

Birim Çember ve Dar Açıların Koordinat Temsili

Dik üçgen yardımıyla yalnızca 0° < α < 90° aralığındaki dar açıların trigonometrik oranları tanımlanabilir. Geniş açıların ve yönlü açıların trigonometrik oranlarını inceleyebilmek için birim çember kullanılır. Dik koordinat düzleminde merkezi orijin O(0, 0) ve yarıçap uzunluğu r = 1 birim olan çembere birim çember denir. Birim çember eksenleri (1, 0), (0, 1), (−1, 0) ve (0, −1) noktalarında keser.

Başlangıç kolu pozitif x ekseni olan bir α dar açısının bitim kolunun birim çemberi birinci bölgede kestiği nokta P(x, y) olsun. P noktasından x eksenine dikme indirildiğinde hipotenüsü |OP| = 1 birim olan bir dik üçgen oluşur. Bu üçgende komşu dik kenar x = cos α, karşı dik kenar ise y = sin α olur. Dolayısıyla birim çember üzerindeki her noktanın koordinatları P(cos α, sin α) biçimindedir: Birinci bileşen (apsis) açının kosinüsünü, ikinci bileşen (ordinat) ise açının sinüsünü verir.

Dar Açı (α)Birim Çemberi Kestiği Nokta P(cos α, sin α)cos α (Apsis)sin α (Ordinat)
30°B(2, 12)212
45°L(2, 2)22
60°N(12, 2)122
BİRİM ÇEMBER VE NOKTALARIN TRİGONOMETRİK KOORDİNATLARIP(cos α, sin α)αcos αsin α1−111. BÖLGEDE ÖZEL AÇILAR: P(cos α, sin α)α = 30°B( 3/2 , 1/2 )cos 30° = 3/2 • sin 30° = 1/2α = 45°L( 2/2 , 2/2 )cos 45° = 2/2 • sin 45° = 2/2α = 60°N( 1/2 , 3/2 )cos 60° = 1/2 • sin 60° = 3/2

Geniş Açıların (90° < α < 180°) Trigonometrik Oranları ve İş Uygulaması

Ölçüsü 90° < α < 180° olan bir geniş açının bitim kolu birim çemberi ikinci bölgede keser. İkinci bölgedeki bir P(cos α, sin α) noktasından x ekseninin negatif kısmına dikme indirildiğinde, bütünler açı olan 180° − α dar açısına sahip bir dik üçgen oluşur. İkinci bölgede noktaların apsisi (x) negatif, ordinatı (y) pozitif olduğu için geniş açıların kosinüs değeri negatif, sinüs değeri ise pozitiftir: cos(180° − θ) = −cos θ ve sin(180° − θ) = +sin θ.

Örneğin 120°lik açının bütünleri 60° olduğundan birim çemberi kestiği nokta B(−12, 2) olur; buradan cos 120° = −12 ve sin 120° = 2 bulunur. Benzer şekilde cos 135° = −2, sin 135° = 2 ve cos 150° = −2, sin 150° = 12 değerlerine ulaşılır. Fizikte bir kuvvetin yaptığı iş W = F · d · cos θ formülüyle hesaplanır; kuvvet ile yer değiştirme arasındaki açı θ > 90° (geniş açı) ise cos θ < 0 olduğundan yapılan iş negatif çıkar ve bu durum sistemden enerji çekildiğini gösterir.

Geniş AçıBütünler Dar AçısıBirim Çemberdeki NoktasıKosinüs ve Sinüs Değerleri
120°60°B(−12, 2)cos 120° = −12 • sin 120° = 2
135°45°L(−2, 2)cos 135° = −2 • sin 135° = 2
150°30°N(−2, 12)cos 150° = −2 • sin 150° = 12
BİRİM ÇEMBERDE GENİŞ AÇILAR (90° < α < 180°) VE MEKANİK İŞB(−1/2, 3/2)60°120°2. Bölge: cos α < 0 (Negatif), sin α > 0 (Pozitif)GENİŞ AÇI ÖZDEŞLİKLERİ (BÜTÜNLER AÇI)cos(180° − θ) = −cos θ • sin(180° − θ) = +sin θ• 120°: cos 120° = −1/2 | sin 120° = 3/2• 135°: cos 135° = −2/2 | sin 135° = 2/2• 150°: cos 150° = −3/2 | sin 150° = 1/2Fizikte İş: W = F · d · cos θθ geniş açı ise cos θ < 0 ⇒ W < 0 (Enerji çekilir)

Yönlü Açılar ve Türk-İslam Bilginlerinin Trigonometriye Katkıları

Birim çember üzerinde ortak köşesi orijin O ve başlangıç kolu pozitif x ekseni ([OA ışını) olan açılarda dönüş yönü büyük önem taşır. Bir ışın orijini merkez alarak saat yönünün tersine dönerse oluşan açıya pozitif yönlü açı (+), saat yönünde dönerse oluşan açıya negatif yönlü açı (−) denir. Tam çember 360° olduğundan dairesel bir pistte iki nokta arasındaki bir dönüş pozitif yönde α° ise negatif yönde −(360° − α)° olarak ifade edilir.

Trigonometrinin bağımsız bir bilim dalı hâline gelmesinde ve dakik trigonometrik cetvellerin hazırlanmasında Türk-İslam bilim insanları öncü rol oynamıştır. Özellikle Semerkant Rasathanesi’ni kuran Uluğ Bey (Zîc-i Uluğ Bey adlı eseriyle 1°nin sinüsünü büyük hassasiyetle hesaplamıştır) ile Battânî, Ebü’l-Vefâ el-Bûzcânî, Bîrûnî, Gıyâseddin Cemşîd el-Kâşî ve Ali Kuşçu sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant kavramlarının ve cetvellerinin gelişimine büyük katkılar sunmuştur.

YÖNLÜ AÇILAR: POZİTİF (+) VE NEGATİF (−) DÖNÜŞ YÖNLERİPOZİTİF YÖNLÜ AÇI (+)Saat Yönünün Tersine DönüşBaşlangıç kolu (+x ekseni) sabitkensaat yönünün tersine dönen ışının açısıdır.Örnek: +20°, +70°, +140°NEGATİF YÖNLÜ AÇI (−)Saat Yönünde DönüşBaşlangıç kolu (+x ekseni) sabitkensaat yönünde dönen ışının açısıdır.Örnek: −40°, −50°, −120°, −150°

Örnekler

  1. Örnek 10° < x < 90° olmak üzere kenar uzunlukları sin x mm ve cos x mm olan iki metal telin uzunlukları farkı |sin x − cos x| = 12 mm’dir. Bu tellerle yapılan dikdörtgen çerçevenin alanı kaç milimetrekaredir?

    Cevabı göster

    Dikdörtgen çerçevenin alanı A = sin x · cos x çarpımına eşittir. |sin x − cos x| = 12 eşitliğinin iki tarafının karesi alınırsa sin2 x − 2 · sin x · cos x + cos2 x = 14 olur. sin2 x + cos2 x = 1 olduğundan 1 − 2 · sin x · cos x = 14 ⇒ 2 · sin x · cos x = 34 ⇒ sin x · cos x = 38 milimetrekare bulunur. (Not: Fark 1 mm verildiğinde ise karesi 12 olduğundan alan 14 milimetrekare olur.)

  2. Örnek 20° < x < 90° olmak üzere bir kenarı tan x birim olan mavi kare ile bir kenarı cot x birim olan yeşil karenin alanları toplamı 14 birimkaredir. Bir kenar uzunluğu (tan x + cot x) birim olan büyük karenin alanı kaç birimkaredir?

    Cevabı göster

    Mavi ve yeşil karelerin alanları toplamı tan2 x + cot2 x = 14 birimkaredir. Büyük karenin bir kenarı tan x + cot x olduğundan alanı (tan x + cot x)2 = tan2 x + cot2 x + 2 · tan x · cot x olur. tan x · cot x = 1 özdeşliği yerine yazılırsa alan 14 + 2 · 1 = 16 birimkare olarak bulunur.

  3. Örnek 3Zemine dik bir direk, yerden 1,2 metre yükseklikten kırılarak devrilmiş ve kırılan üst parça zeminle 30°lik açı yapmıştır. Direğin kırılmadan önceki toplam boyu kaç metredir?

    Cevabı göster

    Kırılma noktasının yerden yüksekliği olan 1,2 m, oluşan dik üçgende 30°lik açının karşısındaki dik kenardır. Devrilen üst parçanın uzunluğu hipotenüs (L) olduğundan sin 30° = 1,2L = 12 ⇒ L = 2,4 m bulunur. Direğin kırılmadan önceki toplam boyu 1,2 + 2,4 = 3,6 metredir.

  4. Örnek 4Eğim açısı 17° olan bir karayolunda sin 17° ≈ 0,2924 ve cos 17° ≈ 0,9563 olarak verilmiştir. Bu yolun tehlikeli eğim levhasında yazması gereken eğim yüzdesi yaklaşık kaçtır?

    Cevabı göster

    Yolun eğimi tan 17° = sin 17°cos 17° ≈ 0,290,96 ≈ 0,30 olur. Eğim yüzdesi ise Eğim (%) = tan 17° · 100 ≈ 0,30 · 100 = %30 (kesirli değerler doğrudan bölündüğünde yaklaşık %30,58) olarak bulunur.

  5. Örnek 5Yatay zemin üzerindeki bir kutu, yer değiştirme doğrultusuyla 120°lik açı yapan 60 N büyüklüğündeki kuvvetle 4 metre çekiliyor. W = F · d · cos θ formülüne göre kuvvetin yaptığı işi ve sistemin enerji durumunu bulunuz.

    Cevabı göster

    Geniş açı için cos 120° = −cos 60° = −12 değerindedir. İş formülünde yerine yazılırsa W = 60 · 4 · (−12) = −120 joule bulunur. İş negatif çıktığı için sistemden enerji çekilmiştir.

  6. Örnek 6Dik koordinat sistemindeki dairesel pistte A(1, 0) noktasından başlayan Beril pozitif yönde 70° dönerek B noktasına, Cansu ise negatif yönde 150° dönerek C noktasına ulaşıyor. Beril’in B noktasından C noktasına ulaşması için hangi yönde kaç derece dönmesi gerekir?

    Cevabı göster

    B noktası +70°, C noktası ise −150° (yani pozitif yönde 210°) konumundadır. Beril B noktasından C noktasına gitmek için pozitif yönde (saat yönünün tersine) 210° − 70° = 140° veya negatif yönde (saat yönünde) 70° + 150° = 220° dönmelidir.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 10° < x < 90° olmak üzere sin x + cos x = 43 olduğuna göre sin x · cos x çarpımının değeri kaçtır?

  2. 2Birim çember üzerinde başlangıç kolu pozitif x ekseni olan 150°lik pozitif yönlü açının birim çemberi kestiği N noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

  3. 3Her iki ayağının uzunluğu 2,5 metre olan ikizkenar üçgen biçimindeki bir iş merdiveni, ayakları zeminle 50°lik açı yapacak şekilde açılmıştır. Ayakların zemine değdiği iki uç arasına gerilecek emniyet ipinin uzunluğu en az kaç metre olmalıdır? (sin 40° ≈ 0,6 alınız.)

  4. 4Birim çemberde başlangıç kolu pozitif x ekseni olan bir ışın, orijin etrafında saat yönünde 120° döndürülerek D noktası elde ediliyor. Bu açının yönlü açı ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?

  5. 5Trigonometrik oranlar, birim çember ve yönlü açılarla ilgili aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Hipotenüs uzunluğu 1 birim olan bir dik üçgende x dar açısının karşısındaki dik kenarın uzunluğu sin x birim, komşu dik kenarın uzunluğu cos x birimdir.
    • İkinci bölgedeki bir geniş açının (90° < α < 180°) hem sinüs hem de kosinüs değeri negatiftir.
    • Birim çember üzerindeki herhangi bir P(x, y) noktası için x2 + y2 = 1 eşitliği her zaman sağlanır.
    • Bir ışının orijin etrafında saat yönünün tersine dönmesiyle oluşan açıya negatif yönlü açı denir.
    • Eğim açısı α olan bir rampanın eğim yüzdesi tan α · 100 formülüyle hesaplanır.

  6. 6Aşağıdaki trigonometrik kavram ve ifadeleri doğru karşılıklarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.

    1. Birim çember üzerindeki bir P noktasının birinci bileşeni olan açının kosinüs değerini verir.
    2. Birim çember üzerindeki bir P noktasının ikinci bileşeni olan açının sinüs değerini verir.
    3. Bir dar açının sinüs değerinin kosinüs değerine oranı o açının değerine eşittir.
    4. Fizikte W = F · d · cos θ formülünde θ geniş açı olduğunda yapılan iş işaretli çıkar.
    5. Bir ışının orijin etrafında saat yönünde dönmesiyle oluşan açıya yönlü açı adı verilir.

  8. 8Dik üçgende tanımlanan dar açı trigonometrik oranlarının birim çember yardımıyla geniş açılara (90° < α < 180°) nasıl genişletildiğini 120° ve 150° örnekleri üzerinden adım adım açıklayınız.

Kısaca

  • Dik olmayan bir üçgende iki dar açı ve bir kenar biliniyorsa üçgenin uygun bir köşesinden yükseklik (dikme) indirilerek iki dik üçgen oluşturulur ve ortak yükseklik üzerinden trigonometrik oranlar kurulur.
  • sin2 x + cos2 x = 1 ve tan x · cot x = 1 özdeşlikleri tam kare açılımlarıyla birleştirildiğinde (sin x ∓ cos x)2 = 1 ∓ 2 · sin x · cos x ve tan2 x + cot2 x = (tan x + cot x)2 − 2 eşitlikleri elde edilir.
  • Hipotenüs uzunluğu 1 birim olan bir dik üçgende x dar açısının karşısındaki dik kenar uzunluğu sin x birim, komşu dik kenar uzunluğu ise cos x birimdir; buradan tan x = sin xcos x ve cot x = cos xsin x olur.
  • Bir yolun eğim açısı α olmak üzere Eğim = Yükseklik FarkıYatay Uzaklık = tan α = sin αcos α ve Eğim Yüzdesi (%) = tan α · 100 formülüyle hesaplanır.
  • Dik koordinat sisteminde merkezi orijin O(0, 0) ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir; başlangıç kolu +x ekseni olan bir α açısının birim çemberi kestiği noktanın koordinatları P(cos α, sin α) şeklindedir.
  • İkinci bölgedeki geniş açılar (90° < α < 180°) için birim çemberde apsis negatif, ordinat pozitif olduğundan cos(180° − dar açı) = −cos(dar açı) ve sin(180° − dar açı) = +sin(dar açı) eşitlikleri geçerlidir.
  • Başlangıç kolu sabitken orijin etrafında saat yönünün tersine dönen ışının oluşturduğu açı pozitif yönlü açı (+), saat yönünde dönen ışının oluşturduğu açı ise negatif yönlü açı (−) olarak adlandırılır.

Bu dersin öteki kaynakları