Düzgün Çokgen Problemleri ve Trigonometrik Fonksiyonlara Giriş: Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Nitel Özellikleri

n kenarlı dışbükey bir çokgende bir köşeden n − 3 köşegen çizilebilir ve bu köşegenler çokgeni n − 2 üçgene ayırır. Bu nedenle iç açılar toplamı (n − 2)·180° olur; dış açılar toplamı ise kenar sayısından bağımsız olarak daima 360°'dir. Her köşeden n − 3 köşegen çıkar, ancak her köşegen iki köşeden sayıldığı için toplam köşegen sayısı n·(n − 3)2 formülüyle bulunur. Tüm kenarları ve tüm iç açıları eş olan çokgene düzgün çokgen denir; düzgün çokgende bir dış açı 360°n, bir iç açı ise 180° − 360°n olur.

Düzgün çokgen problemlerinde ilk iş, problemin parçalarını belirlemektir: Verilen nicelik iç açı mı, dış açı mı, köşegen sayısı mı, yoksa iç açılar toplamı mı? Ardından bu nicelikle kenar sayısı n arasındaki ilişki kurulur. En kullanışlı strateji dış açıdan başlamaktır; çünkü dış açıların toplamı her zaman 360° olduğundan n doğrudan bulunur. Örneğin bir iç açısı 150° olan düzgün çokgenin bir dış açısı 180° − 150° = 30°, kenar sayısı n = 360°30° = 12 olur. Aynı soru (n − 2)·180° = 150°·n denklemiyle de çözülebilir; iki stratejiyi karşılaştırmak çözümü kontrol etmenin güzel bir yoludur.

Düzgün n-genin n tane simetri ekseni vardır ve şekil merkezi etrafında 360°n ve bunun katları kadar döndürüldüğünde kendisiyle çakışır (dönme simetrisi). n tek ise her simetri ekseni bir köşeden geçip karşı kenarın orta noktasına ulaşır; n çift ise eksenlerin yarısı karşılıklı iki köşeden, diğer yarısı karşılıklı iki kenarın orta noktasından geçer. Ayrıca yalnızca kenar sayısı çift olan düzgün çokgenler merkezil simetriye sahiptir; eşkenar üçgen ve düzgün beşgenin merkezil simetrisi yoktur.

Düzgün bir n-genin merkezinden köşelere çizilen doğru parçaları (çevrel çemberin yarıçapları, r) çokgeni n tane eş ikizkenar üçgene ayırır. Bu üçgenlerin tepe açısı merkez açısı adını alır ve 360°n değerine eşittir. Önceki haftalarda kullandığımız iki kenar ve aradaki açı ile alan formülü burada doğrudan işe yarar: Alan = n · 12 · r² · sin(360°n). Merkezden bir kenara indirilen dikmenin uzunluğu (iç teğet çemberin yarıçapı, apotem) h ise alan Alan = 12 · Çevre · h biçiminde de yazılabilir.

Düzgün altıgende merkez açısı 360°6 = 60° olduğundan oluşan altı ikizkenar üçgenin hepsi eşkenar üçgendir ve çevrel çemberin yarıçapı kenar uzunluğuna eşittir (r = a). Buna göre Alan = 6 · a²·34 = 3·a²·32 olur. Düzgün altıgenin 9 köşegeni iki gruba ayrılır: merkezden geçen 3 uzun köşegen 2a uzunluğunda, iki eşkenar üçgenin yüksekliklerinden oluşan 6 kısa köşegen ise a·3 uzunluğundadır. Altıgeni eşkenar üçgen kafesi gibi düşünmek, karmaşık alan sorularını üçgen saymaya dönüştürür.

Düzgün sekizgen çoğunlukla bir karenin dört köşesinden eş ikizkenar dik üçgenler kesilerek elde edilir. Kesilen üçgenin dik kenarları x, hipotenüsü sekizgenin kenarı a ise a = x·2 ve karenin kenarı a + 2x = a·(1 + 2) olur. Sekizgenin alanı, kare alanından dört köşe üçgeninin alanı çıkarılarak bulunur: Alan = a²·(1 + 2)² − 4·x²2 = a²·(3 + 22) − a² = 2·a²·(1 + 2). Aynı sonuca merkez açısı 45° olan 8 üçgenle de ulaşılabilir; iki farklı stratejinin aynı sonucu vermesi çözümün doğruluğunu kontrol etmemizi sağlar.

Bir zemini boşluk kalmadan ve üst üste binmeden çokgen karolarla döşemeye düzlem kaplama denir. Kaplamanın her köşesinde buluşan iç açıların toplamı tam olarak 360° olmalıdır. Tek tür düzgün çokgen kullanılıyorsa bir köşede k tane çokgen buluşur ve k · (iç açı) = 360° olmalıdır; yani iç açı 360°'nin tam böleni olmalıdır. Eşkenar üçgen (6 × 60°), kare (4 × 90°) ve düzgün altıgen (3 × 120°) bu koşulu sağlar. Düzgün beşgende 3 × 108° = 324° olur ve 36°'lik boşluk kalır; düzgün sekizgende 2 × 135° = 270° olup yine boşluk kalır. Arı peteklerinin altıgen olması, aynı çevreyle daha büyük alan kaplayan ve düzlemi boşluksuz dolduran bu şekle doğada verilen güzel bir örnektir.

Farklı düzgün çokgenler birlikte kullanıldığında da köşe toplamı 360° olmalıdır: iki sekizgen ve bir kare (135° + 135° + 90°), üç üçgen ve iki kare (3 · 60° + 2 · 90°), iki üçgen ve iki altıgen (60° + 120° + 60° + 120°) bu tür yarı düzgün kaplamalara örnektir. Bir düzgün çokgenin kenarları uzatıldığında ise yıldız şekilleri oluşur. Düzgün beşgende uzatılan kenarların oluşturduğu her uç üçgenin taban açıları dış açıya, yani 72°'ye eşittir; bu yüzden uç açısı 180° − 2 · 72° = 36° olur. Genel olarak n ≥ 5 için uç açısı 180° − 2 · 360°n dir: altıgende 60°, sekizgende 90°.

Çokgen problemlerini çözerken izlenecek yol bir döngüdür: problemin parçalarını (nicelikler, şekil) belirle, aralarındaki ilişkileri yaz, bunları denklem veya şekil gibi matematiksel temsillere dönüştür, bir strateji seç ve çöz. Ardından çözümü kontrol et: Kenar sayısı tam sayı mı? İç açı 180°'den küçük mü? Alan pozitif mi? Kontrol başarısızsa strateji değiştirilir. Örneğin iç açı formülüyle uzun bir denklem kurmak yerine dış açıyla çalışmak ya da alanı merkezden üçgenlere ayırmak yerine çevreleyen şekilden çıkarmak, aynı soruya farklı ama daha kısa yollar sunar.

Trigonometrik fonksiyonlarda açıları çoğunlukla radyan ile ölçeriz: π radyan = 180°, dolayısıyla 1 radyan yaklaşık 57,3°'dir. Merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir; denklemi x² + y² = 1'dir. Birim çember üzerinde (1, 0) noktasından başlayıp saat yönünün tersine x birim uzunluğunda yay çizildiğinde (x negatifse saat yönünde) yayın bitim noktası P olsun. P noktasının apsisi cos x, ordinatı sin x olarak tanımlanır: P(cos x, sin x). Her reel sayıya birim çember üzerinde tek bir P noktası karşılık geldiği için f(x) = sin x ve f(x) = cos x kuralları ℝ'den ℝ'ye birer fonksiyon belirtir.

P noktası birim çember üzerinde olduğundan koordinatları çember denklemini sağlar: sin²x + cos²x = 1. Bu eşitlik bize sinüs ve kosinüs değerlerinin hiçbir zaman −1'den küçük, 1'den büyük olamayacağını söyler: −1 ≤ sin x ≤ 1 ve −1 ≤ cos x ≤ 1. Ayrıca x ve x + 2π sayıları çember üzerinde aynı noktaya karşılık gelir; çünkü 2π birim çemberin çevresidir. Bu nedenle sin(x + 2kπ) = sin x ve cos(x + 2kπ) = cos x (k ∈ ℤ) eşitlikleri her zaman doğrudur. Bu durum, iki fonksiyonun da periyodik olduğunun ilk işaretidir.

Koordinat eksenleri birim çemberi dört bölgeye ayırır ve sinüs, kosinüs değerlerinin işaretleri P noktasının bulunduğu bölgeye göre belirlenir: I. bölgede (0, π2) ikisi de pozitif; II. bölgede (π2, π) sinüs pozitif, kosinüs negatif; III. bölgede (π, 3π2) ikisi de negatif; IV. bölgede (3π2, 2π) sinüs negatif, kosinüs pozitiftir. Büyük bir reel sayının sinüsünü veya kosinüsünü bulmak için önce 2π'nin katları atılarak sayı [0, 2π) aralığına indirilir (esas ölçü), ardından bölge işareti ve eksene en yakın açı (referans açı) kullanılır.

f(x) = sin x fonksiyonunun tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi [−1, 1] aralığıdır. Değer kümesi ℝ alınırsa (f: ℝ → ℝ) fonksiyon örten değildir, çünkü örneğin 2 sayısı hiçbir x için sin x değeri olamaz; değer kümesi [−1, 1] alındığında ise f: ℝ → [−1, 1] örten olur. Fonksiyonun sıfırları, birim çemberde P noktasının x ekseni üzerine düştüğü yerlerdir: sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ). Grafik x eksenini …, −π, 0, π, 2π, … noktalarında keser; ayrıca sin 0 = 0 olduğundan grafik orijinden geçer.

[0, 2π] aralığında P noktası (1, 0)'dan (0, 1)'e çıkarken ordinat artar, sonra (−1, 0) ve (0, −1)'e inerken azalır, en sonda yeniden artar. Buna göre sin x fonksiyonu [0, π2] ve [3π2, 2π] aralıklarında artan, [π2, 3π2] aralığında azalandır. Maksimum değeri 1'dir ve x = π2 + 2kπ noktalarında alınır; minimum değeri −1'dir ve x = 3π2 + 2kπ noktalarında alınır. İşaret incelemesinde sin x, (0, π) aralığında pozitif, (π, 2π) aralığında negatiftir; bu düzen her 2π'de bir tekrar eder.

Birim çemberde x ve −x yayları x eksenine göre simetrik noktalara karşılık gelir; bu noktaların ordinatları ters işaretlidir. Bu yüzden her x için sin(−x) = −sin x olur ve sinüs bir tek fonksiyondur; grafiği orijine göre simetriktir. sin(x + 2π) = sin x eşitliğini sağlayan en küçük pozitif sayı 2π olduğu için esas periyot T = 2π'dir. Grafiğe çizilen y = 12 gibi yatay bir doğru grafiği sonsuz noktada kestiğinden sin x ℝ'de bire bir değildir; örneğin sin(π6) = sin(5π6) = 12. Tanım kümesi [−π2, π2] aralığına kısıtlanırsa fonksiyon bu aralıkta artan ve bire bir olur.

f(x) = cos x fonksiyonunun da tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi [−1, 1]'dir; bu yüzden f: ℝ → ℝ olarak ele alındığında örten değil, f: ℝ → [−1, 1] olarak ele alındığında örtendir. Kosinüs P noktasının apsisi olduğundan, P noktası y ekseni üzerine düştüğünde değeri sıfırdır: cos x = 0 ⇔ x = π2 + kπ (k ∈ ℤ). Maksimum değer 1, P noktası (1, 0)'da iken yani x = 2kπ'de; minimum değer −1, P noktası (−1, 0)'da iken yani x = π + 2kπ'de alınır. Grafik y eksenini (0, 1) noktasında keser.

[0, 2π] aralığında P noktası (1, 0)'dan (−1, 0)'a giderken apsis sürekli küçülür, ardından yeniden (1, 0)'a dönerken büyür. Bu nedenle cos x fonksiyonu [0, π] aralığında azalan, [π, 2π] aralığında artandır. İşaret açısından cos x, [0, π2) ve (3π2, 2π] aralıklarında pozitif, (π2, 3π2) aralığında negatiftir. x ve −x yayları x eksenine göre simetrik noktalara gittiğinden apsisleri aynıdır: cos(−x) = cos x. Bu yüzden kosinüs bir çift fonksiyondur ve grafiği y eksenine göre simetriktir. Esas periyodu sinüste olduğu gibi 2π'dir ve ℝ'de bire bir değildir; tanım kümesi [0, π] aralığına kısıtlanırsa azalan ve bire bir olur.

İki grafiği aynı eksen üzerinde çizdiğimizde kosinüs dalgasının sinüs dalgasıyla aynı biçimde olduğunu, yalnızca π2 birim sola kaymış göründüğünü fark ederiz: her x için cos x = sin(x + π2) olur. Örneğin sinüsün maksimum noktası x = π2 iken kosinüsünki x = 0'dır. Bu gözlem, referans fonksiyonların grafikleri üzerinde yapılan işlemlerle yeni trigonometrik fonksiyonlar elde edilebileceğinin ilk ipucudur. Gerçek yaşamda gelgit yüksekliği, dönme dolaptaki bir kabinin yerden yüksekliği veya alternatif akımın değişimi gibi düzenli tekrar eden olaylar bu dalga biçimleriyle modellenir; periyot tekrar süresini, maksimum-minimum ise en yüksek ve en düşük değeri anlatır.