İçeriğe geç

11. sınıf · Matematik · 9. hafta (9-13 Kasım 2026)

Yamuk (İkizkenar Yamuk, Dik Yamuk) ve Genel Dörtgenlerin Açı, Kenar, Orta Taban, Köşegen ve Alan Özellikleri (MAT.11.2.1)

Geometrik Şekiller teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

En az iki kenarı birbirine paralel olan dörtgenlere yamuk adı verilir. Paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve kareyi incelerken edindiğimiz üçgende benzerlik ve dik üçgen (Pisagor-Öklid) becerilerini bu bölümde yamuk, ikizkenar yamuk, dik yamuk ve genel dörtgenlerin açı, uzunluk ve alan problemlerine taşıyoruz.

Yamuğun Temel Elemanları, Orta Taban ve Alan Bağıntısı

ABCD dörtgeninde AB // DC ise bu şekle yamuk denir. Paralel olan [AB] (|AB| = a) ve [DC] (|DC| = c) kenarlarına yamuğun tabanları, paralel olmayan [AD] ve [BC] kenarlarına ise yan kenarlar denir. Paralel doğrular arasındaki karşı durumlu (U kuralı) açılar bütünler olduğundan her bir yan kenarın uçlarındaki açıların ölçüleri toplamı 180°'dir: m(A) + m(D) = 180° ve m(B) + m(C) = 180°.

Yamuğun paralel olmayan yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban ([EF]) denir. Orta taban hem alt ve üst tabana paraleldir hem de uzunluğu alt ve üst taban uzunluklarının aritmetik ortalamasına eşittir: e = a+c2. Köşegenlerin orta taban üzerinde ayırdığı küçük parça (K ve L noktaları arasındaki uzaklık) ise tabanların farkının yarısına eşittir: |KL| = a-c2.

Alt ve üst taban arasındaki dik uzaklığa yamuğun yüksekliği (h) denir. Yamuk bir köşegenle tabanları a ve c, yükseklikleri h olan iki üçgene ayrıldığında toplam alan, orta taban ile yüksekliğin çarpımına eşit olur: Alan(ABCD) = a+c2 · h = e · h.

YAMUKTA TEMEL ÖZELLİKLER, ORTA TABAN VE ALAN BAĞINTISI D C A B E F c (üst taban) a (alt taban) Orta Taban (e) h Yamuk Formülleri ([AB] // [DC]) • Yan kenar komşu açıları bütünlerdir: m(A) + m(D) = 180° ve m(B) + m(C) = 180° • Orta Taban Uzunluğu (|EF| = e): 2 · e = a + c (Alt ve üst taban ortalaması) • Yamuğun Alanı: Alan(ABCD) = e · h (Orta taban × Yükseklik)
🔍 Büyütmek için dokunun

Özel Yamuklar: İkizkenar Yamuk ve Dik Yamuk

Paralel olmayan yan kenarlarının uzunlukları birbirine eşit olan (|AD| = |BC|) yamuğa ikizkenar yamuk denir. İkizkenar yamukta taban açıları birbirine eşittir (m(A) = m(B) ve m(D) = m(C)) ve köşegen uzunlukları birbirine eşittir (|AC| = |BD|). Üst köşelerden (D ve C'den) alt tabana dikmeler indirildiğinde ortada üst tabana eşit (c) bir dikdörtgen, iki yanda ise tabanları x = a-c2 olan iki eş dik üçgen oluşur.

İkizkenar yamukta köşegenler birbirine dik kesişirse ([AC] diktir [BD]), yamuğun yüksekliği alt ve üst taban toplamının yarısına yani orta tabana eşit olur: h = a+c2 = e ve bu durumda yamuğun alanı doğrudan Alan = h² bağıntısıyla bulunur.

Yan kenarlarından biri tabanlara dik olan ([AD] diktir [AB]) yamuğa dik yamuk denir; dik olan yan kenar aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir (|AD| = h). Dik yamuk sorularında C köşesinden alt tabana dikme indirilerek kenarları h ve a - c olan dik üçgende Pisagor teoremi uygulanır. Bir dik yamukta köşegenler dik kesişiyorsa yükseklik tabanların geometrik ortasıdır: h² = a · c.

İKİZKENAR YAMUK VE DİK YAMUK ÖZELLİKLERİ İkizkenar Yamuk (|AD| = |BC|) c c x x • Taban açıları ve köşegenler eşittir: |AC| = |BD| • Ayak dikmeleri: 2 · x = a - c ve Alan = (a - x) · h Dik Yamuk ([AD] dik [AB]) h c a - c • C köşesinden dikme indirilerek dik üçgen kurulur. • Köşegenler dik kesişirse ([AC] dik [BD]): h² = a · c
🔍 Büyütmek için dokunun

Genel Dörtgenlerde Açı, Köşegen ve Alan Özellikleri

Herhangi bir dışbükey ABCD dörtgeninin iç açılarının ölçüleri toplamı 360°, dış açılarının ölçüleri toplamı da 360°'dir. Bir dörtgende ardışık iki iç açının açıortayları arasındaki açının ölçüsü, diğer iki iç açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir; karşılıklı iki iç açının açıortayları arasındaki dar açı ise diğer iki açının farkının mutlak değerinin yarısıdır.

Köşegenleri birbirine dik kesişen ([AC] diktir [BD]) herhangi bir dörtgende (içbükey dörtgenler dahil) karşılıklı kenarların kareleri toplamı birbirine eşittir: a² + c² = b² + d². Köşegenleri arasında α açısı bulunan genel bir dörtgenin alanı Alan(ABCD) = 12 · |AC| · |BD| · sin(α) formülüyle hesaplanır; köşegenler dik kesişiyorsa sin(90°) = 1 olduğundan Alan = |AC|·|BD|2 olur.

Herhangi bir dörtgenin dört kenarının orta noktaları (K, L, M, N) ardışık olarak birleştirildiğinde oluşan KLMN dörtgeni daima bir paralelkenardır (Varignon paralelkenarı). Bu paralelkenarın çevresi dörtgenin köşegen uzunlukları toplamına (Çevre(KLMN) = |AC| + |BD|), alanı ise ana dörtgenin alanının yarısına (Alan(KLMN) = Alan(ABCD)2) eşittir. Ayrıca köşegenlerin ayırdığı dört üçgenin alanları arasında karşılıklı çarpım eşitliği vardır: S1 · S3 = S2 · S4.

GENEL DÖRTGENLERDE KÖŞEGEN, KENAR VE ALAN İLİŞKİLERİ Köşegenleri Dik Kesişen Dörtgen • ABCD dörtgeninde [AC] dik [BD] ise karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir: a² + c² = b² + d² • Köşegenleri dik kesişen dörtgenin alanı: 2 · Alan(ABCD) = |AC| · |BD| Orta Nokta (Varignon) ve Alan Kuralı • Herhangi bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştirilirse oluşan KLMN şekli daima PARALELKENARDIR. • Çevre(KLMN) = |AC| + |BD| • 2 · Alan(KLMN) = Alan(ABCD) • Köşegenlerin ayırdığı 4 üçgen: S1 · S3 = S2 · S4
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Alt taban uzunluğu |AB| = 18 cm ve üst taban uzunluğu |DC| = 8 cm olan bir ABCD yamuğunun orta taban uzunluğu |EF| ve köşegenlerin orta taban üzerinde ayırdığı |KL| parçasının uzunluğu kaç cm'dir?

    Cevabı göster

    Orta taban uzunluğu alt ve üst tabanın aritmetik ortalamasıdır: |EF| = 18+82 = 262 = 13 cm. Köşegenlerin orta taban üzerinde ayırdığı parçanın uzunluğu ise tabanlar farkının yarısıdır: |KL| = 18-82 = 102 = 5 cm.

  2. Örnek 2Bir ABCD ikizkenar yamuğunda [AB] // [DC], yan kenar uzunlukları |AD| = |BC| = 10 cm, üst taban |DC| = 6 cm ve alt taban |AB| = 18 cm'dir. Buna göre yamuğun yüksekliğini ve alanını hesaplayınız.

    Cevabı göster

    Üst köşelerden alt tabana dikmeler indirildiğinde iki yanda kalan eş parçaların uzunluğu x = a-c2 = 18-62 = 6 cm olur. Yandaki dik üçgende hipotenüs 10 cm ve yatay dik kenar 6 cm olduğundan (6-8-10 üçgeni) yükseklik h = 8 cm bulunur. Alan(ABCD) = 18+62 · 8 = 12 · 8 = 96 cm² olur.

  3. Örnek 3[AD] diktir [AB] olan bir ABCD dik yamuğunda köşegenler birbirine dik kesişmektedir ([AC] diktir [BD]). Üst taban |DC| = 4 cm ve alt taban |AB| = 9 cm olduğuna göre yamuğun alanı kaç cm²'dir?

    Cevabı göster

    Köşegenleri dik kesişen dik yamukta yükseklik tabanların geometrik ortasıdır: h² = a · c = 9 · 4 = 36 => h = 6 cm. Yamuğun alanı Alan(ABCD) = a+c2 · h = 9+42 · 6 = 13 · 3 = 39 cm² bulunur.

  4. Örnek 4Köşegenleri birbirine dik kesişen bir ABCD dörtgeninde |AB| = 7 cm, |BC| = 4 cm ve |CD| = 5 cm olduğuna göre |AD| = x uzunluğu kaç cm'dir?

    Cevabı göster

    Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde karşılıklı kenarların kareleri toplamı birbirine eşittir: |AB|² + |CD|² = |BC|² + |AD|². 7² + 5² = 4² + x² => 49 + 25 = 16 + x² => 74 - 16 = x² => x² = 58 => x = cm bulunur.

  5. Örnek 5Bir ABCD yamuğunda köşegenler E noktasında kesişmektedir. Üstteki üçgenin alanı Alan(DEC) = 4 cm² ve alttaki üçgenin alanı Alan(AEB) = 16 cm² olduğuna göre tüm yamuğun alanı kaç cm²'dir?

    Cevabı göster

    Yamukta yan kanatlardaki üçgenlerin alanları birbirine eşittir (Alan(AED) = Alan(BEC) = S) ve S² = 4 · 16 = 64 bağıntısından S = 8 cm² bulunur. Tüm yamuğun alanı = 4 + 16 + 8 + 8 = 36 cm²'dir.

  6. Örnek 6Dışbükey bir ABCD dörtgeninde köşegen uzunlukları |AC| = 12 cm ve |BD| = 16 cm olup köşegenler birbirini dik kesmektedir. Bu dörtgenin kenar orta noktalarını birleştiren KLMN dörtgeninin çevresi ve alanı nedir?

    Cevabı göster

    Kenar orta noktalarını birleştiren KLMN paralelkenarının çevresi köşegenler toplamına eşittir: Çevre(KLMN) = |AC| + |BD| = 12 + 16 = 28 cm. Ana dörtgenin alanı Alan(ABCD) = 12·162 = 96 cm² olduğundan, orta noktalar paralelkenarının alanı bunun yarısıdır: Alan(KLMN) = 962 = 48 cm².

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1[AB] // [DC] olan bir ABCD ikizkenar yamuğunda |AD| = |BC| = 13 cm, üst taban |DC| = 7 cm ve alt taban |AB| = 17 cm olduğuna göre bu yamuğun alanı kaç cm²'dir?

  2. 2Köşegenleri birbirine dik kesişen bir ABCD ikizkenar yamuğunda alt taban uzunluğu |AB| = 14 cm ve üst taban uzunluğu |DC| = 6 cm olduğuna göre bu yamuğun alanı kaç cm²'dir?

  3. 3Köşegenleri birbirine dik kesişen bir ABCD dörtgeninde |AB| = 6 cm, |BC| = 8 cm ve |CD| = 9 cm olduğuna göre |AD| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

  4. 4Bir ABCD yamuğunda köşegenler E noktasında kesişmektedir. Üst tabana komşu üçgenin alanı Alan(DEC) = 9 cm² ve alt tabana komşu üçgenin alanı Alan(AEB) = 25 cm² olduğuna göre Alan(ABCD) kaç cm²'dir?

  5. 5Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Bir yamukta orta taban uzunluğu, alt taban ile üst taban uzunluklarının aritmetik ortalamasına eşittir.
    • İkizkenar yamuğun köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
    • Köşegenleri dik kesişen bir dik yamukta yükseklik, alt ve üst tabanların farkına eşittir.
    • Herhangi bir dışbükey dörtgenin kenar orta noktalarının ardışık birleştirilmesiyle oluşan dörtgenin alanı, ana dörtgenin alanının yarısıdır.
    • Dışbükey bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 540 derecedir.

  6. 6Aşağıdaki dörtgen ve yamuk durumlarını ilgili matematiksel bağıntılarla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.

    1. En az iki kenarı birbirine paralel olan dörtgenlere adı verilir.
    2. Bir yamuğun alanı, uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
    3. Paralel olmayan yan kenar uzunlukları eşit olan yamuğa yamuk denir.
    4. Bir yamukta aynı yan kenara ait iki komşu iç açının açıortayları orta taban üzerinde kesişir.
    5. Herhangi bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde oluşan dörtgen bir belirtir.

  8. 8Köşegenleri birbirine dik kesişen ([AC] diktir [BD]) bir ikizkenar yamuk ile bir dik yamuğun yükseklik ve alan bağıntıları arasındaki farkı açıklayarak, alt tabanı 9 cm ve üst tabanı 4 cm olan her iki yamuğun yüksekliğini hesaplayınız.

Kısaca

  • Yamuk ve Orta Taban: [AB] // [DC] olan yamukta yan kenar açıları bütünlerdir (180°); orta taban e = a+c2 ve Alan(ABCD) = e · h'dir.
  • İkizkenar Yamuk: Yan kenarları, taban açıları ve köşegenleri eşittir; üst köşelerden indirilen dikmeler tabanda x = a-c2 parçaları ayırır.
  • Dik Yamuk ve Dik Köşegenler: Köşegenler dik kesiştiğinde ikizkenar yamukta h = a+c2, dik yamukta ise h² = a · c bağıntısı geçerlidir.
  • Genel Dörtgenlerde Köşegenler: Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde a² + c² = b² + d² olur ve köşegenlerin ayırdığı alanlar S1 · S3 = S2 · S4 eşitliğini sağlar.
  • Orta Noktalar Paralelkenarı: Dörtgenin kenar orta noktalarını birleştiren KLMN paralelkenarının çevresi |AC| + |BD|, alanı ise Alan(ABCD)'nin yarısıdır.

Bu dersin öteki kaynakları