İçeriğe geç

11. sınıf · Matematik · 7. hafta (26-30 Ekim 2026)

Özel Dörtgenler: Yamuk ve Paralelkenarın Açı, Kenar, Köşegen ve Alan Özellikleri

GEOMETRİK ŞEKİLLER teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Geçen hafta genel dörtgenlerin açı, köşegen ve alan bağıntılarını incelemiştik. Bu hafta kenarları arasında paralellik koşulu bulunan iki temel özel dörtgeni ele alıyoruz: karşılıklı en az iki kenarı paralel olan Yamuk ve karşılıklı her iki kenar çifti de paralel olan Paralelkenar. Orta taban teoreminden kelebek benzerliğine, dik kesişen komşu açıortaylardan köşegenlerin alan paylaşımına kadar tüm temel özellikleri birlikte keşfedeceğiz.

1. Yamuk, İkizkenar Yamuk, Dik Yamuk ve Alan Özellikleri

Karşılıklı en az iki kenarı birbirine paralel olan dörtgene yamuk denir ([AB] // [DC]). Paralel kenarlara alt taban (a) ve üst taban (c), paralel olmayan kenarlara ise yan kenarlar denir. U kuralı (karşı durumlu açılar) gereğince aynı yan kenarın uçlarındaki açıların toplamı daima 180°’dir (m(A) + m(D) = 180° ve m(B) + m(C) = 180°). Yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban ([EF]) denir; orta taban her iki tabana paraleldir ve uzunluğu tabanların aritmetik ortalamasıdır: |EF| = (a + c) / 2. Yamuğun köşegenleri orta tabanı K ve L noktalarında kesiyorsa, ortadaki parça tabanlar farkının yarısı kadardır: |KL| = |a - c| / 2.

İkizkenar Yamukta yan kenarlar eşit (|AD| = |BC|), taban açıları eşit (m(A) = m(B)) ve köşegen uzunlukları eşittir (|AC| = |BD|). Üst köşelerden (D ve C) alt tabana dikmeler indirildiğinde ortada bir dikdörtgen, iki yanda ise taban kenarları (a - c) / 2 olan iki eş dik üçgen oluşur. Eğer ikizkenar yamuğun köşegenleri dik kesişiyorsa ([AC] ⊥ [BD]), yükseklik doğrudan orta tabana eşittir: h = (a + c) / 2. Dik Yamukta ise yan kenarlardan biri tabanlara diktir (|AD| = h); köşegenleri dik kesişen bir dik yamukta Öklid benzerliğinden h^2 = a · c bağıntısı elde edilir. Yamuğun alanı Alan = ((a + c) / 2) · h ile bulunur.

ÖZEL DÖRTGENLER: YAMUK VE PARALELKENARIN ÖZELLİKLERİ1. YAMUK VE ÖZEL YAMUK TÜRLERİYamuk Tanımı ve Komşu AçılarEn az iki kenarı paralel olan dörtgendir (AB // DC). Yan kenar uç açıları toplamı 180°’dir.Orta Taban (EF) ve Köşegen Parçası (KL)Orta taban: |EF| = (a + c) / 2 | Köşegenlerin orta tabanda ayırdığı parça: |KL| = |a - c| / 2.İkizkenar Yamuk ÖzellikleriYan kenarlar eşit (|AD| = |BC|), taban açıları eşit, köşegenler eşit (|AC| = |BD|).Dik Yamuk ve Dik Köşegenli İkizkenar YamukDik yamukta dikme indirilir. İkizkenar yamukta AC ⊥ BD ise yükseklik h = (a + c) / 2.Yamuğun Alanı ve Alan OranlarıAlan(ABCD) = ((a + c) / 2) · h = |EF| · h. Kelebek yan üçgenlerin alanları eşittir (S_1 = S_3).2. PARALELKENAR VE ALAN BAĞINTILARIKarşılıklı Kenar ve Açı ÖzellikleriKarşılıklı kenarlar paralel ve eşit; karşılıklı açılar eşit, ardışık açılar toplamı 180°’dir.Köşegenlerin Birbirini OrtalamasıKöşegenler eşit değildir ancak birbirini ortalar: |AO| = |OC| ve |BO| = |OD|.Komşu Açıortayların Dik KesişimiArdışık iki köşeden çıkan açıortaylar dik kesişir (90°) ve kesim noktası orta tabandadır!Paralelkenarda Alan FormülleriAlan = a · h_a = b · h_b = a · b · sin(A). Köşegenler alanı 4 eşit üçgene böler (S, S, S, S).Köşegen Kuvvet Bağıntısıe^2 + f^2 = 2 · (a^2 + b^2). İçerde alınan P noktası için karşılıklı alanlar toplamı eşittir.ALTIN KURAL: Yamukta köşegenlerin oluşturduğu 4 bölgede karşılıklı alanlar çarpımı eşittir: S_1 · S_3 = S_2 · S_4 (ve S_1 = S_3 => S^2 = A_alt · A_üst)!Paralelkenarın bir kenarı üzerinde alınan E noktası karşı iki köşeyle birleştirilirse oluşan üçgenin alanı tüm alanın YARISIDIR!

2. Paralelkenarın Açı, Kenar, Köşegen ve Alan Bağıntıları

Karşılıklı kenar çiftleri birbirine paralel olan dörtgene paralelkenar denir. Paralelkenar aynı zamanda özel bir yamuktur. Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit (|AB| = |DC| = a ve |AD| = |BC| = b), karşılıklı açıları birbirine eşit (m(A) = m(C), m(B) = m(D)) ve ardışık iki açısının toplamı 180°’dir. Bundan dolayı ardışık iki köşeden çizilen iç açıortaylar birbirine dik (90°) kesişir ve dik kesiştikleri nokta tam olarak orta taban doğrusu üzerinde yer alır! Paralelkenarın köşegen uzunlukları (e ve f) genel olarak eşit değildir ancak köşegenler birbirini ortalar (|AO| = |OC| ve |BO| = |OD|). Köşegen uzunlukları ile kenarlar arasında e^2 + f^2 = 2 · (a^2 + b^2) bağıntısı vardır.

Paralelkenarın alanı bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir: Alan(ABCD) = a · h_a = b · h_b. Aradaki açı biliniyorsa sinüs alan formülünden Alan(ABCD) = a · b · sin(A) olarak bulunur. Bir köşegen paralelkenarı 2 eş üçgene, iki köşegen ise alanı birbirine eşit 4 üçgene (S, S, S, S) ayırır. Ayrıca paralelkenarın bir kenarı üzerinde alınan herhangi bir E noktası karşı kenarın uç köşeleriyle birleştirilirse, oluşan AEB (veya DEC) üçgeninin alanı paralelkenarın alanının tam yarısına eşittir!

Örnekler

  1. Örnek 1[AB] // [DC] olan bir ABCD yamuğunda alt taban |AB| = 18 cm ve üst taban |DC| = 8 cm’dir. Yan kenarların orta noktalarını birleştiren [EF] orta tabanı [AC] ve [BD] köşegenlerini sırasıyla K ve L noktalarında kesmektedir. Buna göre |EF| ve |KL| uzunlukları kaç cm’dir?

    Cevabı göster

    Orta taban uzunluğu tabanların toplamının yarısıdır: |EF| = (a + c) / 2 = (18 + 8) / 2 = 26 / 2 = 13 cm. Köşegenlerin orta taban üzerinde ayırdığı |KL| parçası ise tabanlar farkının yarısıdır: |KL| = (a - c) / 2 = (18 - 8) / 2 = 10 / 2 = 5 cm.

  2. Örnek 2Köşegenleri dik kesişen bir ABCD ikizkenar yamuğunda alt taban |AB| = 15 cm ve üst taban |DC| = 9 cm olduğuna göre yamuğun yüksekliği (h) kaç cm ve alanı kaç cm²’dir?

    Cevabı göster

    Köşegenleri dik kesişen ikizkenar yamukta yükseklik orta tabana eşittir: h = (a + c) / 2 = (15 + 9) / 2 = 12 cm. Alan(ABCD) = ((a + c) / 2) · h = h^2 = 12 · 12 = 144 cm² bulunur.

  3. Örnek 3Bir ABCD paralelkenarında |AB| = 12 cm, |BC| = 8 cm ve [AB] kenarına ait yükseklik h_a = 6 cm’dir. Buna göre paralelkenarın alanı kaç cm² ve [BC] kenarına ait yükseklik (h_b) kaç cm’dir?

    Cevabı göster

    Paralelkenarın alanı: Alan(ABCD) = a · h_a = 12 · 6 = 72 cm². Aynı alan b · h_b çarpımına da eşit olduğundan: 8 · h_b = 72 => h_b = 72 / 8 = 9 cm bulunur.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1[AB] // [DC] olan bir ABCD ikizkenar yamuğunda |AD| = |BC| = 10 cm, üst taban |DC| = 6 cm ve alt taban |AB| = 18 cm’dir. Buna göre bu yamuğun alanı kaç cm²’dir?

  2. 2[AB] // [DC] olan bir ABCD yamuğunda [AC] ve [BD] köşegenleri E noktasında kesişmektedir. Alan(DEC) = 4 cm² ve Alan(AEB) = 16 cm² olduğuna göre tüm yamuğun alanı (Alan(ABCD)) kaç cm²’dir?

  3. 3Bir ABCD paralelkenarında A ve D köşelerine ait iç açıortaylar E noktasında kesişmektedir. |AE| = 6 cm ve |DE| = 8 cm olduğuna göre paralelkenarın |AD| yan kenar uzunluğu kaç cm’dir?

  4. 4Köşegenleri birbirine dik olan ([AC] ⊥ [BD]) bir ABCD dik yamuğunda [AD] ⊥ [AB], üst taban |DC| = 4 cm ve alt taban |AB| = 9 cm olduğuna göre yamuğun yüksekliği |AD| = h kaç cm’dir?

  5. 5Alanı 80 cm² olan bir ABCD paralelkenarında [DC] kenarı üzerinde bir E noktası ve [AB] kenarının orta noktası olan F noktası alınıyor. Buna göre Alan(AEB) + Alan(FBC) toplamı kaç cm²’dir?

  6. 6Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) veya yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Bir yamuğun orta taban uzunluğu, alt taban ile üst taban uzunluklarının toplamının yarısına eşittir.
    • İkizkenar bir yamuğun köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
    • Paralelkenarın köşegenleri her zaman birbirine eşit uzunluktadır ve dik kesişir.
    • Paralelkenarda ardışık iki köşeye ait iç açıortaylar 90°’lik açıyla dik kesişir.
    • Paralelkenarın iki köşegeni çizildiğinde oluşan dört üçgenin alanları birbirine eşittir.

  7. 7Yamuk ve paralelkenara ait aşağıdaki formül ve özellikleri karşılıklarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  8. 8Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavram veya sayılarla tamamlayınız.

    1. En az iki kenarı birbirine paralel olan dörtgene denir.
    2. Köşegenleri dik kesişen bir ikizkenar yamukta yükseklik (h), uzunluğuna eşittir.
    3. Paralelkenarda karşılıklı açılar birbirine eşit, ardışık iki açının toplamı ise derecedir.
    4. Paralelkenarın köşegenleri birbirini .
    5. Yamukta köşegenlerin oluşturduğu yan (kelebek kanadı) üçgenlerin alanları birbirine .

  9. 9Bir yamuğun alan formülünün neden 'orta taban çarpı yükseklik' (((a + c) / 2) · h) olduğunu, yamuğu köşegeni yardımıyla iki üçgene ayırarak adım adım açıklayınız.

Kısaca

  • Yamuk ve Orta Taban: Alt tabanı a ve üst tabanı c birbirine paralel (AB // DC) olan dörtgene yamuk denir. Yan kenar uçlarındaki komşu açıların toplamı 180°’dir. Yan kenarların orta noktalarını birleştiren orta taban uzunluğu |EF| = (a + c) / 2, köşegenlerin orta taban üzerinde ayırdığı iç parça ise |KL| = |a - c| / 2’dir.
  • İkizkenar ve Dik Yamuk: Paralel olmayan yan kenarları eşit (|AD| = |BC|) olan yamuğa ikizkenar yamuk denir; taban açıları ve köşegen uzunlukları birbirine eşittir (|AC| = |BD|). Köşegenleri dik kesişen ikizkenar yamukta yükseklik orta tabana eşittir: h = (a + c) / 2.
  • Yamuğun Alanı: Yüksekliği h olan yamuğun alanı Alan(ABCD) = ((a + c) / 2) · h = |EF| · h formülüyle bulunur. Köşegenler yamuğu dört üçgene ayırdığında yanlardaki iki üçgenin alanları birbirine eşittir (S_1 = S_3 = S) ve S^2 = S_alt · S_üst bağıntısı sağlanır.
  • Paralelkenarın Özellikleri: Karşılıklı kenarları paralel ve eşit (|AB| = |DC| = a, |AD| = |BC| = b), karşılıklı açıları eşit, ardışık açıları bütünler (180°) olan dörtgendir. Köşegenler birbirini ortalar; ardışık iki köşenin açıortayları ise dik (90°) kesişir ve kesim noktası orta taban üzerindedir.
  • Paralelkenarda Alan: Alan(ABCD) = a · h_a = b · h_b = a · b · sin(A) formülüyle hesaplanır. İki köşegen paralelkenarı alanı birbirine eşit 4 üçgene (S, S, S, S) ayırır.

Bu dersin öteki kaynakları