Özel Dörtgenler: Eşkenar Dörtgen, Dikdörtgen, Kare ve Deltoidin Açı, Kenar, Köşegen ve Alan Özellikleri

Örnekler

1. Örnek 1Köşegen uzunlukları 12 cm ve 16 cm olan bir eşkenar dörtgenin çevresi kaç cm ve alanı kaç cm² olur?

   Cevabı göster

   Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortalar; dolayısıyla dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan dört eş dik üçgen oluşur. Pisagor bağıntısından bir kenar uzunluğu a = 6² + 8² = 10 cm ve çevre 4a = 40 cm bulunur. Alan ise (12 · 16) / 2 = 96 cm² olarak hesaplanır.

2. Örnek 2Kenar uzunlukları 9 cm ve 12 cm olan bir ABCD dikdörtgeninin köşegen uzunluğunu ve alanını hesaplayınız.

   Cevabı göster

   Dikdörtgenin alanı komşu iki kenarın çarpımından Alan = 9 · 12 = 108 cm² olur. Köşegen uzunluğu ise dik üçgende Pisagor teoreminden e = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15 cm olarak bulunur.

3. Örnek 3Köşegen uzunluğu 82 cm olan bir karenin çevresi kaç cm ve alanı kaç cm² değerindedir?

   Cevabı göster

   Bir kenarı a olan karenin köşegeni a2 olduğundan a2 = 82 ⇒ a = 8 cm bulunur. Karenin çevresi 4a = 4 · 8 = 32 cm, alanı ise a² = 8² = 64 cm² (veya e²/2 = 128/2 = 64 cm²) olarak elde edilir.

4. Örnek 4Bir ABCD deltoidinde |AB| = |AD| = 10 cm, |BC| = |CD| = 17 cm ve |BD| = 16 cm olduğuna göre deltoidin alanı kaç cm² olur?

   Cevabı göster

   [AC] simetri ekseni [BD] köşegenini dik olarak 8 cm ve 8 cm şeklinde iki eş parçaya böler. Oluşan dik üçgenlerde Pisagor teoreminden [AC] köşegeninin üst parçası 10² - 8² = 6 cm, alt parçası 17² - 8² = 15 cm olur. Toplam |AC| = 6 + 15 = 21 cm olduğundan Alan = (21 · 16) / 2 = 168 cm² bulunur.

5. Örnek 5Bir ABCD deltoidinde |AB| = |AD|, |BC| = |CD|, m(A) = 70° ve m(C) = 50° olduğuna göre m(B) kaç derecedir?

   Cevabı göster

   Deltoidde [AC] simetri ekseni olduğundan B ve D köşelerindeki iç açıların ölçüleri birbirine eşittir: m(B) = m(D) = x. Dörtgenin iç açıları toplamı 360° olduğundan 70° + 50° + 2x = 360° ⇒ 2x = 240° ⇒ x = 120° bulunur.

6. Örnek 6Bir ABCD dikdörtgeninin iç bölgesinde alınan bir P noktası için |PA| = 5 cm, |PB| = 6 cm ve |PC| = 8 cm olduğuna göre |PD| uzunluğu kaç cm olur?

   Cevabı göster

   Dikdörtgenin düzlemindeki herhangi bir P noktası için karşılıklı köşelere olan uzaklıkların kareleri toplamı eşittir: |PA|² + |PC|² = |PB|² + |PD|². Değerler yerine yazılırsa 5² + 8² = 6² + |PD|² ⇒ 25 + 64 = 36 + |PD|² ⇒ |PD|² = 53 ⇒ |PD| = 53 cm bulunur.

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

1. 1Çevresi 52 cm ve köşegenlerinden birinin uzunluğu 10 cm olan bir eşkenar dörtgenin alanı kaç cm² olur?

   A100 cm² değerine eşit olarak hesaplanırB120 cm² değerine eşit olarak hesaplanırC130 cm² değerine eşit olarak hesaplanırD144 cm² değerine eşit olarak hesaplanırE240 cm² değerine eşit olarak hesaplanır

2. 2Özel dörtgenlerin köşegen ve açı özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

   ADikdörtgenin köşegenleri iç açıları iki eş parçaya bölen açıortaydırBParalelkenarın köşegen uzunlukları birbirine eşit ve diktirCEşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar ve açıortaydırDDeltoidin her iki köşegeni de birbirini iki eş parçaya bölerEEşkenar dörtgenin bütün iç açıları doksanar dereceye eşittir

3. 3Köşegen uzunluklarının toplamı 142 cm olan bir karenin alanı kaç cm² değerindedir?

   A28 cm² değerine eşit olarak bulunurB36 cm² değerine eşit olarak bulunurC49 cm² değerine eşit olarak bulunurD64 cm² değerine eşit olarak bulunurE98 cm² değerine eşit olarak bulunur

4. 4Bir ABCD deltoidinde |AB| = |AD|, |BC| = |CD|, m(B) = 115° ve m(C) = 45° olduğuna göre m(A) açısının ölçüsü kaç derecedir?

   A65 derece olarak hesaplanırB70 derece olarak hesaplanırC75 derece olarak hesaplanırD80 derece olarak hesaplanırE85 derece olarak hesaplanır

5. 5

   • Eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları farklı olsa bile köşegenler birbirini dik olarak iki eş parçaya böler.DoğruYanlış
   • Dikdörtgenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir ve köşegenler dikdörtgeni alanları eşit dört üçgene ayırır.DoğruYanlış
   • Deltoidde her iki köşegen de geçtiği köşelerin iç açılarını iki eş parçaya bölen açıortay doğrusudur.DoğruYanlış
   • Kare hem dikdörtgenin hem de eşkenar dörtgenin bütün kenar, açı ve köşegen özelliklerini taşır.DoğruYanlış
   • Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde eşkenar dörtgen oluşur.DoğruYanlış

6. 6

   Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

   Eşkenar DörtgenDikdörtgenKareDeltoidSimetri Ekseni

   Tabanları ortak olan iki ikizkenar üçgenin tabanları boyunca birleşmesiyle oluşan dörtgenHem dört kenarı birbirine eşit hem de dört iç açısı 90° olan düzgün dörtgenDört kenar uzunluğu birbirine eşit olan ve köşegenleri dik kesişen paralelkenarDeltoidde tepe noktalarını birleştiren, açıortay olan ve diğer köşegeni dik ortalayan köşegenBütün iç açıları 90° olan ve köşegen uzunlukları birbirine eşit bulunan paralelkenar

7. 7

   a2ikizkenareşitdikparalelkenaryamukeşkenar
   1. Eşkenar dörtgen, kare ve deltoidde köşegenler birbirini olarak kestiği için alanları köşegenler çarpımının yarısıdır.
   2. Bir kenar uzunluğu a birim olan karenin köşegen uzunluğu Pisagor bağıntısıyla a2" aria-label="Boşluk"> birim olarak bulunur.
   3. Dikdörtgende köşegenler birbirini ortaladığı için dikdörtgenin iç bölgesi dört üçgene ayrılır.
   4. Deltoidde eşit olmayan kenarların birleştiği karşılıklı iki köşedeki iç açıların ölçüleri birbirine olur.
   5. Herhangi bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları ardışık biçimde birleştirildiğinde oluşan şekil bir belirtir.
   Kontrol et

8. 8Çevresi 40 cm olan bir ABCD eşkenar dörtgeninde [AC] köşegeninin uzunluğu 16 cm'dir. Bu eşkenar dörtgenin [BD] köşegeninin uzunluğunu, alanını ve bir kenarına ait h yüksekliğini adım adım hesaplayınız.

   1. ipucunu göster