İçeriğe geç

11. sınıf · Matematik · 13. hafta (14-18 Aralık 2026)

Dışbükey Çokgenlerin ve Özel Dörtgenlerin Kenar, Açı, Köşegen, Simetri ve Alan Özelliklerine Dair Çıkarımlar ve Problem Çözme (MAT.11.2.4 & MAT.11.2.5)

Geometrik Şekiller teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Mimar Sinan'ın Selimiye Camii'nde kubbeyi taşıyan sekizgen ayak sisteminden bal arılarının minimum balmumuyla maksimum bal depoladığı düzgün altıgen peteklerine, geleneksel Selçuklu yıldız motiflerinden modern kentsel parsel hesaplamalarına kadar her yerde çokgenlerin kusursuz geometrisi yer alır. Geçen hafta özel dörtgenlerin temel özelliklerini incelemiştik. Bu haftaki dersimizde; n kenarlı dışbükey ve düzgün çokgenlerin açı, köşegen, simetri ve alan örüntülerini genelleyecek, dörtgenlerde orta nokta ve alan paylaşımı teoremlerini çıkaracak ve çokgenlerle ilgili gerçek yaşam problemlerini çözeceğiz.

Dışbükey Çokgenlerin ve Düzgün Çokgenlerin Açı, Köşegen ve Simetri Örüntüleri

Kenar sayısı n (n ≥ 3) olan bir dışbükey (konveks) çokgenin bir köşesinden kendisine ve komşu iki köşesine köşegen çizilemeyeceği için bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı n - 3 tanedir. Bu köşegenler çokgeni n - 2 tane üçgensel bölgeye ayırır. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan, dışbükey bir n-genin iç açılarının ölçüleri toplamı (n - 2) · 180°, dış açılarının ölçüleri toplamı ise kenar sayısından bağımsız olarak 360° olur. Çokgenin tüm köşegenlerinin toplam sayısı ise her köşegen iki köşeyi birleştirdiğinden n · (n - 3)2 bağıntısıyla hesaplanır.

Bütün kenar uzunlukları ve bütün iç açılarının ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir. Düzgün bir n-genin bir dış açısının ölçüsü α = 360°n, bir iç açısının ölçüsü ise 180° - 360°n = (n - 2) · 180°n formülüyle bulunur. Buna göre; düzgün beşgenin bir dış açısı 72° ve bir iç açısı 108°; düzgün altıgenin bir dış açısı 60° ve bir iç açısı 120°; düzgün sekizgenin bir dış açısı 45° ve bir iç açısı 135° olur.

Düzgün bir n-genin n tane simetri ekseni vardır. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde (eşkenar üçgen, düzgün beşgen gibi) her simetri ekseni bir köşeden ve karşı kenarın orta noktasından dik geçerek hem açıortay hem kenarortay olur. Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde (kare, düzgün altıgen, düzgün sekizgen gibi) ise simetri eksenlerinin yarısı karşılıklı köşelerden, diğer yarısı karşılıklı kenarların orta noktalarından geçer; ayrıca bu çokgenler merkezî (noktasal) simetriye de sahiptir.

DÜZGÜN BEŞGEN VE DÜZGÜN ALTIGENİN AÇI, KÖŞEGEN VE SİMETRİ ÖZELLİKLERİ DÜZGÜN BEŞGEN (n = 5) A (54°|54°) H (Dik / Simetri Ekseni) • Dış açı: 360°/5 = 72° • İç açı: 180° - 72° = 108° • Toplam 5 köşegen eşittir. • 5 simetri ekseni vardır. • Köşegen açıları: 36°-36°-108° DÜZGÜN ALTIGEN (n = 6) Kenar = a Uzun köşegen = 2a · Kısa = a·kök(3) • Dış açı: 360°/6 = 60° • İç açı: 180° - 60° = 120° • 6 eş eşkenar üçgene ayrılır. • 6 simetri ekseni vardır. • Alan = 6 · (a²·kök(3) / 4)
🔍 Büyütmek için dokunun

Dörtgenlerde Orta Nokta (Varignon) Teoremi ve Alan Paylaşımı Çıkarımları

Herhangi bir ABCD dışbükey dörtgeninin ardışık kenarlarının orta noktaları olan K, L, M ve N noktaları birleştirildiğinde elde edilen KLMN dörtgeni daima bir paralelkenardır; bu özelliğe Varignon Teoremi denir. Çünkü üçgende orta taban teoremine göre |KL| ve |MN| doğru parçaları |AC| köşegenine paralel ve |AC| uzunluğunun yarısına eşittir (|KL| = |MN| = |AC| / 2). Benzer şekilde |KN| = |LM| = |BD| / 2 olur.

Buradan şu üç önemli çıkarıma ulaşılır: 1) Ortada oluşan KLMN paralelkenarının çevresi, ABCD dörtgeninin köşegen uzunlukları toplamına eşittir: Çevre(KLMN) = |AC| + |BD|. 2) KLMN paralelkenarının alanı, ABCD dörtgeninin tüm alanının yarısına eşittir: Alan(KLMN) = Alan(ABCD)2. Köşelerde kalan dört üçgenin alanlarında da karşılıklı olanların toplamı birbirine eşittir: Alan(AKN) + Alan(CML) = Alan(BKL) + Alan(DNM) = Alan(ABCD)4. 3) Eğer ana dörtgenin köşegenleri birbirine dik ise (|AC| ⊥ |BD|) KLMN bir dikdörtgen; köşegen uzunlukları birbirine eşit ise (|AC| = |BD|) KLMN bir eşkenar dörtgen; köşegenler hem dik hem eşit ise KLMN bir kare olur.

Ayrıca herhangi bir ABCD dışbükey dörtgeninde köşegenlerin kesişim noktası E olmak üzere, köşegenlerin ayırdığı dört üçgenin alanları sırasıyla S₁, S₂, S₃ ve S₄ ise tabanlar oranı alanlar oranına eşit olduğundan karşılıklı alanların çarpımı birbirine eşittir: S₁ · S₃ = S₂ · S₄.

VARİGNON PARALELKENARI VE KÖŞEGEN ALAN PAYLAŞIMI TEOREMLERİ 1. VARİGNON TEOREMİ (ORTA NOKTALAR) D C B A M L K N Çevre(KLMN) = AC + BD · Alan = Alan(ABCD)/2 2. KÖŞEGEN ALAN PAYLAŞIMI S₃ S₁ S₄ S₂ S₁ · S₃ = S₂ · S₄
🔍 Büyütmek için dokunun

Çokgen ve Dörtgenlerle İlgili Problem Çözme Stratejileri ve Katlama Uygulamaları

Çokgenlerin ve özel dörtgenlerin kenar, açı, köşegen ve alan özelliklerini içeren gerçek yaşam veya geometri problemlerini çözerken Polya'nın dört aşamalı problem çözme süreci (problemi anlama, strateji geliştirme, stratejiyi uygulama ve çözümü değerlendirme) izlenir.

1. Yardımcı Çizgi ve Üçgene Tamamlama Stratejisi: Yamuk ve genel dörtgen sorularında bir köşeden yan kenara veya köşegene paralel çizmek şekli bir paralelkenar ve bir üçgene ayırır. İç açıları 60°, 90° veya 120° olan çokgen sorularında ise kenarları dışarıya doğru uzatarak özel üçgenlere (30°-60°-90° veya eşkenar üçgen) tamamlama stratejisi kullanılır.

2. Katlama (Simetri) Stratejisi: Bir çokgen veya dörtgen kâğıt bir doğru boyunca katlandığında; katlama çizgisi daima açıortaydır (simetri eksenidir), üst üste gelen kenar uzunlukları, açılar ve alanlar birbirine birebir eşittir. Katlanmış şekli çözmenin en etkili yolu, katlanan parçayı kesikli çizgilerle ilk (açık) hâline geri tamamlamak ve eş açıları/uzunlukları işaretlemektir.

ÇOKGEN VE DÖRTGEN PROBLEMLERİNDE ÜÇ TEMEL ÇÖZÜM STRATEJİSİ 1. PARALEL ÇİZME (YAMUK) • Üst köşeden yan kenara paralel doğru çizilir. • Şekil paralelkenar + üçgene bölünerek taban (c - a) üçgende kullanılır. 2. KATLAMA (SİMETRİ) • Katlama çizgisi açıortaydır. • Katlanan şekil ilk (açık) hâline geri tamamlanır. • Çakışan kenar ve açılara eşitlik işareti konulur. 3. ALAN PARÇALAMA • Paralelkenar ve dörtgende yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları tabanlarıyla orantılı (k → S, 2k → 2S) olarak dağıtılır.
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Bir iç açısının ölçüsü bir dış açısının ölçüsünün 4 katına eşit olan düzgün çokgenin kenar sayısı ve toplam köşegen sayısı kaçtır?

    Cevabı göster

    Bir dış açının ölçüsüne α dersek, iç açının ölçüsü 4α olur. Aynı köşedeki iç ve dış açının toplamı 180° olduğundan α + 4α = 5α = 180° ⇒ α = 36° bulunur. Kenar sayısı n = 360° / 36° = 10 (düzgün ongen) olur. Toplam köşegen sayısı ise n · (n - 3) / 2 = 10 · (10 - 3) / 2 = 35 tanedir.

  2. Örnek 2Bir parkta bir kenar uzunluğu 6 metre olan düzgün altıgen biçimindeki çiçekliğin tamamına çim döşenecektir. Çiçekliğin toplam alanı kaç m²'dir? ( değerini sembolik bırakınız.)

    Cevabı göster

    Bir kenarı a = 6 m olan düzgün altıgen, bir kenarı 6 m olan 6 eş eşkenar üçgenden oluşur. Bir eşkenar üçgenin alanı a² / 4 = 6² / 4 = 9 m² olduğundan, düzgün altıgen çiçekliğin toplam alanı 6 · 9 = 54 m² olur.

  3. Örnek 3Bir ABCD dışbükey dörtgeninde köşegenler dik kesişmektedir (|AC| ⊥ |BD|). |AC| = 12 cm ve |BD| = 16 cm olduğuna göre, bu dörtgenin kenarlarının orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan KLMN dörtgeninin türünü, çevresini ve alanını bulunuz.

    Cevabı göster

    Ana dörtgenin köşegenleri dik kesiştiği için orta noktaların birleştirilmesiyle oluşan KLMN dörtgeni bir dikdörtgendir. KLMN dikdörtgeninin kenarları orta tabandan 12 / 2 = 6 cm ve 16 / 2 = 8 cm olduğundan çevresi |AC| + |BD| = 12 + 16 = 28 cm, alanı ise 6 · 8 = 48 cm² (veya Alan(ABCD) = (12 · 16)/2 = 96 cm²'nin yarısı olan 48 cm²) bulunur.

  4. Örnek 4Bir ABCD dışbükey dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegenleri E noktasında kesişmektedir. Alan(ABE) = 18 cm², Alan(BCE) = 12 cm² ve Alan(CDE) = 8 cm² olduğuna göre, tüm ABCD dörtgeninin alanı kaç cm²'dir?

    Cevabı göster

    Köşegenlerin ayırdığı karşılıklı üçgensel bölgelerin alanları çarpımı birbirine eşittir: Alan(ABE) · Alan(CDE) = Alan(BCE) · Alan(ADE). Buradan 18 · 8 = 12 · Alan(ADE) ⇒ 144 = 12 · Alan(ADE) ⇒ Alan(ADE) = 12 cm² bulunur. Tüm dörtgenin alanı ise 18 + 12 + 8 + 12 = 50 cm² olur.

  5. Örnek 5Kısa kenarı |AB| = 8 cm ve uzun kenarı |BC| = 16 cm olan ABCD dikdörtgeni biçimindeki bir kâğıt, C köşesi A köşesinin üzerine gelecek biçimde katlanıp açıldığında oluşan katlama çizgisinin [BC] kenarını kestiği E noktasının B köşesine uzaklığı (|BE|) kaç cm olur?

    Cevabı göster

    C köşesi A köşesinin üzerine katlandığında E noktasından geçen katlama izi [AC] doğru parçasının orta dikmesidir; dolayısıyla |AE| = |EC| olur. |BE| = x dersek |EC| = 16 - x ve |AE| = 16 - x olur. Dik açılı ABE üçgeninde Pisagor teoreminden 8² + x² = (16 - x)² ⇒ 64 + x² = 256 - 32x + x² ⇒ 32x = 192 ⇒ x = |BE| = 6 cm bulunur (6-8-10 özel dik üçgeni).

  6. Örnek 6ABCDE düzgün beşgeninde A köşesinden [CD] kenarına indirilen dikme ayağı H noktasıdır. |CD| = 10 cm olduğuna göre |CH| uzunluğu kaç cm'dir ve [AH] doğrusu beşgeni nasıl böler?

    Cevabı göster

    Düzgün beşgende bir köşeden karşı kenara indirilen dikme ([AH]) beşgenin simetri eksenidir. Bu nedenle hem A açısının açıortayıdır (54° - 54°) hem de karşı [CD] kenarını iki eş parçaya bölen kenarortaydır. Dolayısıyla |CH| = |HD| = 10 / 2 = 5 cm olur ve [AH] beşgeni iki eş dörtgensel bölgeye ayırır.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1İç açılarının ölçüleri toplamı 1.440° olan düzgün bir çokgenin bir dış açısının ölçüsü kaç derecedir?

  2. 2Bir kenar uzunluğu 4 cm olan ABCDEF düzgün altıgeninin en uzun köşegeni ile en kısa köşegeninin uzunlukları çarpımı kaç cm²'dir?

  3. 3Bir dışbükey ABCD dörtgeninde köşegen uzunlukları toplamı |AC| + |BD| = 34 cm'dir. Bu dörtgenin dört kenarının orta noktaları ardışık olarak birleştirildiğinde oluşan KLMN paralelkenarının çevresi kaç cm'dir?

  4. 4Bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı 6 olan dışbükey bir çokgenin tüm köşegenlerinin toplam sayısı kaçtır?

  5. 5

    • Kenar sayısı kaç olursa olsun her dışbükey çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360 derecedir.
    • Düzgün beşgenin bir iç açısının ölçüsü 108°, bir dış açısının ölçüsü ise 72°'dir.
    • Bir dikdörtgenin kenarlarının orta noktaları ardışık olarak birleştirildiğinde oluşan dörtgen yine bir dikdörtgendir.
    • Herhangi bir dışbükey dörtgenin kenar orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan paralelkenarın alanı, ana dörtgenin alanının yarısına eşittir.
    • Düzgün altıgenin bir köşesinden çizilen tüm köşegenlerin uzunlukları birbirine eşittir.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Kenar uzunlukları ve iç açılarının ölçüleri birbirine eşit olan dışbükey çokgenlere çokgen denir.
    2. Kenar sayısı n olan düzgün bir çokgenin tane simetri ekseni vardır.
    3. Bir kenar uzunluğu a birim olan düzgün altıgenin en uzun köşegeninin uzunluğu birimdir.
    4. Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde oluşan şekil bir olur.
    5. Bir çokgen kâğıt katlandığında katlama çizgisi üzerindeki açılar birbirine eşit olduğundan katlama izi doğrusudur.

  8. 8Herhangi bir ABCD dışbükey dörtgeninin ardışık kenarlarının orta noktaları olan K, L, M ve N noktalarının birleştirilmesiyle oluşan KLMN dörtgeninin neden daima bir paralelkenar olduğunu (Varignon Teoremi) üçgende orta taban özelliğinden yararlanarak açıklayınız.

Kısaca

  • Kenar sayısı n olan dışbükey çokgenin iç açıları toplamı (n - 2) · 180°, dış açıları toplamı 360° ve toplam köşegen sayısı n · (n - 3) / 2'dir.
  • Düzgün n-genin bir dış açısı 360° / n, simetri ekseni sayısı n'dir; düzgün beşgenin iç açısı 108°, düzgün altıgenin iç açısı 120°, düzgün sekizgenin iç açısı 135°'dir.
  • Bir kenarı a olan düzgün altıgenin uzun köşegeni 2a, kısa köşegeni a ve alanı 6 eş eşkenar üçgenin toplamı olan 6 · (a² / 4)'tür.
  • Varignon teoremine göre bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde çevresi (|AC| + |BD|) ve alanı Alan(ABCD)/2 olan bir paralelkenar oluşur.
  • Çokgen ve dörtgen problemlerinde paralel çizme, özel üçgene tamamlama ve katlama izini simetri ekseni (açıortay) olarak kullanma stratejileri uygulanır.

Bu dersin öteki kaynakları