İçeriğe geç

11. sınıf · Matematik · 6. hafta (19-23 Ekim 2026)

Dörtgenlerin Özellikleri

GEOMETRİK ŞEKİLLER teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Üçgenler, çokgenler dünyasının en temel yapı taşıdır; çünkü her dörtgen, bir köşegeni çizildiğinde iki üçgene ayrılır. Üçgenlerde öğrendiğimiz iç açılar toplamı, benzerlik, orta taban, Pisagor ve sinüslü alan bağıntıları, dörtgenlerin tüm özelliklerini ispatlamamızı sağlar. Bu haftaki dersimizde genel dörtgenlerden başlayarak yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoid gibi özel dörtgenlerin açı, kenar, köşegen, simetri ve alan özelliklerini muhakeme yoluyla keşfedeceğiz.

1. Genel Dörtgenlerde Açı, Köşegen ve Alan Bağıntıları

Herhangi bir ABCD konveks dörtgeninde [AC] köşegeni çizildiğinde dörtgen ABC ve ADC olmak üzere iki üçgene ayrılır. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 360° olur. Dış açılarının ölçüleri toplamı da tüm konveks çokgenlerde olduğu gibi 360°dir. • Ardışık İki Açıortay: A ve B köşelerine ait iç açıortayların kesiştiği E noktasında oluşan açı, diğer iki açının aritmetik ortalamasıdır: m(AEB) = m(C) + m(D)2. • Karşılıklı İki Açıortay: A ve C köşelerine ait iç açıortaylar arasındaki dar açı (m(B) > m(D) için) m(B) - m(D)2 formülüyle bulunur.

Köşegen uzunlukları |AC| = e ve |BD| = f olan bir ABCD dörtgeninde köşegenler arasındaki açı α ise dörtgenin alanı: • Alan(ABCD) = 12 . |AC| . |BD| . sin α bağıntısıyla hesaplanır. Eğer köşegenler birbirine dik ise (α = 90° ve sin 90° = 1) alan e . f2 olur ve Pisagor teoreminden karşılıklı kenarların kareleri toplamı birbirine eşit çıkar: a2 + c2 = b2 + d2.

Genel Dörtgenlerde Açı, Köşegen ve Alan ÖzellikleriABCDαTemel Dörtgen Bağıntıları• İç açılar toplamı: m(A)+m(B)+m(C)+m(D) = 360°• Dış açılar toplamı her konveks çokgende 360°’dir.• Köşegenli alan: Alan = (1/2) . |AC| . |BD| . sin α• Köşegenler dik kesişirse (α = 90°): a² + c² = b² + d²• Kenar orta noktaları birleştirilirse paralelkenar oluşur.

2. Yamuk ve Özel Yamuk Türleri (İkizkenar ve Dik Yamuk)

Yalnızca iki kenarı birbirine paralel olan ([AB] // [DC]) dörtgene yamuk denir. Paralel kenarlara alt taban (a) ve üst taban (c), paralel olmayan kenarlara yan kenarlar denir. Paralel doğrular arasındaki karşı durumlu (U kuralı) açılar bütünler olduğundan m(A) + m(D) = 180° ve m(B) + m(C) = 180°dir.

Yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban ([EF]) denir. Üçgende orta taban teoreminden: • Orta taban uzunluğu: |EF| = a + c2 • Köşegenlerin orta taban üzerinde ayırdığı parça (a > c için): |KL| = a - c2 • Yamuğun alanı: Alan(ABCD) = a + c2 . h = |EF| . h Paralel olmayan yan kenarları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk (|AD| = |BC|) denir. İkizkenar yamukta taban açıları birbirine eşittir, köşegen uzunlukları eşittir (|AC| = |BD|) ve tabanların orta noktalarını birleştiren doğru yamuğun simetri eksenidir.

Yamuk ve İkizkenar Yamuğun Temel ÖzellikleriABCDc (üst taban)a (alt taban)Orta taban: e = (a+c)/2Yamukta Uzunluk ve Alan• [AB] // [DC] => m(A)+m(D) = 180°, m(B)+m(C) = 180°• Orta taban uzunluğu: |EF| = (a + c) / 2• Köşegenlerin orta tabanda ayırdığı parça: |KL| = |a - c| / 2• Yamuğun alanı: Alan = ((a + c) / 2) . h• İkizkenar yamukta |AD| = |BC| ve |AC| = |BD|’dir.

3. Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgenin Özellikleri

Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir. Paralelkenarda köşegen çizildiğinde oluşan üçgenler (A.K.A. eşliğinden) birbirine eş olduğundan: • Karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açı ölçüleri birbirine eşittir. • Ardışık iki açının ölçüleri toplamı 180°’dir ve ardışık iki açının açıortayları birbirine diktir (90°). • Köşegenler birbirini ortalar (|AO| = |OC| ve |BO| = |OD|). • Alanı taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımına eşittir: Alan = a . h_a = b . h_b = a . b . sin A.

Dört kenar uzunluğu birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Eşkenar dörtgen paralelkenarın tüm özelliklerini taşır; ek olarak ikizkenar üçgen özelliğinden dolayı köşegenleri birbirini dik ortalar ve köşegenler aynı zamanda iç açıortaydır. Eşkenar dörtgenin köşegenleri onun iki simetri eksenini oluşturur.

Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgenin ÖzellikleriParalelkenar Özellikleri• Karşılıklı kenarlar paralel ve eşit uzunluktadır.• Karşılıklı açılar eşit, ardışık açılar bütünlerdir (180°).• Köşegenler birbirini ortalar (|AO|=|OC|, |BO|=|OD|).• Alan = a . h_a = b . h_b = a . b . sin A• Köşegenler alanı 4 eşit üçgensel bölgeye ayırır.Eşkenar Dörtgen ve Dikdörtgen• Eşkenar dörtgende 4 kenar eşittir; köşegenler dik kesişir ve iç açıortaydır: Alan = (|AC|.|BD|)/2• Dikdörtgende açılar 90° ve köşegen uzunlukları birbirine eşittir (|AC| = |BD|); Alan = a . b• Kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir.

4. Dikdörtgen, Kare ve Deltoid

Dikdörtgen: İç açılarının her biri 90° olan paralelkenardır. Karşılıklı kenarları eşit, köşegen uzunlukları birbirine eşittir (|AC| = |BD|) ve köşegenler birbirini ortalar. Alanı Alan = a . b, çevresi 2(a + b)dir. Karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren 2 doğru dikdörtgenin simetri eksenleridir.

Kare: Hem dikdörtgenin hem de eşkenar dörtgenin tüm özelliklerini taşıyan düzgün dörtgendir. Dört kenarı eşit, dört açısı 90°’dir; köşegenleri eşit uzunluktadır, birbirini dik ortalar ve köşelerdeki 90°’lik açıları 45° - 45° olarak ikiye böler. Bir kenarı a olan karenin köşegeni a, alanı a2dir ve 4 simetri ekseni vardır.

Deltoid: Tabanları ortak olan iki farklı ikizkenar üçgenin taban tabana birleşmesiyle oluşan dörtgendir (|AB| = |AD| ve |CB| = |CD|). Tepe noktalarını birleştiren esas köşegen açıortaydır, simetri eksenidir ve diğer köşegeni dik ortalar.

Örnekler

  1. Örnek 1Bir ABCD dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegenleri birbirine diktir. |AB| = a = 5 cm, |BC| = b = 8 cm ve |CD| = c = 9 cm olduğuna göre |AD| = d = x kaç cm’dir?

    Cevabı göster

    Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde karşılıklı kenarların kareleri toplamı birbirine eşittir: a2 + c2 = b2 + d2 => 52 + 92 = 82 + x2 => 25 + 81 = 64 + x2 => 106 - 64 = 42 = x2 => x = cm bulunur.

  2. Örnek 2Alt tabanı a = 14 cm, üst tabanı c = 6 cm ve yüksekliği h = 8 cm olan bir ABCD yamuğunun orta taban uzunluğu ve alanı kaçtır?

    Cevabı göster

    Yamuğun orta taban uzunluğu alt ve üst tabanların aritmetik ortalamasıdır: e = a + c2 = 14 + 62 = 10 cm. Yamuğun alanı ise orta taban ile yüksekliğin çarpımıdır: Alan = e . h = 10 . 8 = 80 cm2 bulunur.

  3. Örnek 3Bir ABCD paralelkenarında A ve B ardışık açılarının açıortayları [CD] kenarı üzerindeki E noktasında kesişmektedir. |AD| = 6 cm olduğuna göre paralelkenarın çevresi kaç cm’dir?

    Cevabı göster

    Paralelkenarda iç ters (Z) açılardan dolayı A açıortayı |DE| = |AD| = 6 cm ve B açıortayı |EC| = |BC| = 6 cm ikizkenar üçgenlerini oluşturur. Buradan |CD| = |DE| + |EC| = 6 + 6 = 12 cm olur. Çevre(ABCD) = 2 . (6 + 12) = 36 cm bulunur.

  4. Örnek 4Köşegen uzunlukları 12 cm ve 16 cm olan bir eşkenar dörtgenin alanı ve çevresi kaçtır?

    Cevabı göster

    Eşkenar dörtgenin köşegenleri dik kesiştiği için Alan = e . f2 = 12 . 162 = 96 cm2 olur. Köşegenler birbirini dik ortaladığından dik üçgenin dik kenarları 6 cm ve 8 cm olur; 6-8-10 özel dik üçgeninden bir kenar uzunluğu a = 10 cm ve Çevre = 4 . 10 = 40 cm bulunur.

  5. Örnek 5Köşegen uzunlukları |AC| = 10 cm ve |BD| = 8 cm olan bir ABCD dörtgeninde köşegenler arasındaki dar açının ölçüsü 60° olduğuna göre dörtgenin alanı kaç cm2dir?

    Cevabı göster

    Köşegenli alan formülünden Alan(ABCD) = 12 . |AC| . |BD| . sin 60° = 12 . 10 . 8 . 2 = 40 . 2 = 60 cm2 bulunur.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Konveks bir ABCD dörtgeninde m(C) = 110° ve m(D) = 70°’dir. A ve B köşelerine ait iç açıortaylar E noktasında kesiştiğine göre m(AEB) kaç derecedir?

  2. 2Alt tabanı 15 cm, üst tabanı 7 cm olan bir yamukta orta tabanın köşegenler arasında kalan parçasının uzunluğu kaç cm’dir?

  3. 3Köşegen uzunlukları toplamı 26 cm olan bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirilerek oluşturulan KLMN dörtgeninin çevresi kaç cm’dir?

  4. 4Çevresi 52 cm ve kısa köşegeninin uzunluğu 10 cm olan bir eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²dir?

  5. 5Aşağıdaki özel dörtgenlerden hangisinin köşegenleri her zaman birbirini dik keser?

  6. 6Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Her konveks dörtgenin hem iç açılarının toplamı hem de dış açılarının toplamı 360°’dir.
    • Herhangi bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları ardışık birleştirildiğinde daima bir dikdörtgen oluşur.
    • İkizkenar yamuğun köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
    • Dikdörtgenin köşegenleri aynı zamanda köşelerdeki 90°’lik açıların açıortayıdır.
    • Her kare aynı zamanda hem bir dikdörtgen hem de bir eşkenar dörtgendir.

  7. 7Aşağıdaki dörtgen özelliklerini ve formüllerini doğru karşılıklarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  8. 8Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.

    1. Yalnızca iki kenarı birbirine paralel olan dörtgene adı verilir.
    2. Paralelkenarda ardışık iki iç açının açıortayları arasındaki açı derecedir.
    3. Dört kenar uzunluğu birbirine eşit olan paralelkenara dörtgen denir.
    4. Bir dörtgenin kenarlarının orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan paralelkenarın alanı, tüm dörtgenin alanının kadardır.
    5. Bir dik yamukta köşegenler dik kesişiyorsa yüksekliğin karesi alt ve üst taban uzunluklarının eşittir.

  9. 9Bir ABCD ikizkenar yamuğunda [AB] // [DC], |AD| = |BC| = 10 cm, üst taban |DC| = 8 cm ve alt taban |AB| = 20 cm olduğuna göre yamuğun yüksekliğini ve alanını adım adım hesaplayınız.

Kısaca

  • Dörtgende Açılar: Her konveks dörtgen bir köşegenle iki üçgene ayrıldığından iç açılarının ölçüleri toplamı 2 . 180° = 360°, dış açılarının ölçüleri toplamı da 360°dir.
  • Dörtgenin Alanı ve Dik Köşegenler: Köşegen uzunlukları e ve f, aralarındaki açı α olan dörtgenin alanı Alan = 12 . e . f . sin α ile bulunur. Köşegenler dik kesişirse karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir: a2 + c2 = b2 + d2.
  • Varignon Paralelkenarı: Herhangi bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları ardışık olarak birleştirildiğinde oluşan dörtgen daima bir paralelkenardır; çevresi köşegenler toplamına, alanı tüm dörtgenin alanının yarısına eşittir.
  • Yamuk: En az iki kenarı birbirine paralel olan dörtgendir. Orta taban uzunluğu alt ve üst tabanların aritmetik ortalamasıdır (a + c2), alanı ise Alan = a + c2 . h formülüyle hesaplanır.
  • Paralelkenar: Karşılıklı kenarları paralel ve eşit, karşılıklı açıları eş, köşegenleri birbirini ortalayan dörtgendir.
  • Eşkenar Dörtgen, Dikdörtgen, Kare ve Deltoid: Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesişir ve açıortaydır; dikdörtgende köşegenler eşittir; kare her iki grubun tüm özelliklerini taşır; deltoidde ise tabanları ortak iki ikizkenar üçgen bulunur.

Bu dersin öteki kaynakları