İçeriğe geç

11. sınıf · Matematik · 11. hafta (30 Kasım-4 Aralık 2026)

Çokgenlerin Sınıflandırılması (İçbükey ve Dışbükey Çokgenler), Dışbükey Çokgenlerin İç ve Dış Açı Toplamları, Köşegen Sayısı ve Düzgün Çokgenler (MAT.11.2.3)

Geometrik Şekiller teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan n tane noktayı (n ≥ 3) ardışık olarak birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı geometrik şekillere çokgen adı verilir. Selçuklu ve Osmanlı mimarisindeki geometrik bezemelerden bal peteklerine, kristal yüzeylerden modern kubbe tasarımlarına kadar pek çok alanda dışbükey çokgenlerin ve düzgün çokgenlerin açı, köşegen ve simetri bağıntılarından yararlanılır.

Çokgenlerin Sınıflandırılması: Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler

Kenar sayısı n olan bir çokgenin n tane köşesi, n tane iç açısı ve her köşede iç açıyı 180°'ye tamamlayan (bütünleri olan) n tane dış açısı bulunur. Dolayısıyla bir çokgenin aynı köşesine ait bir iç açı ile bir dış açının ölçüleri toplamı daima 180°'dir. Ardışık olmayan (komşu olmayan) iki köşeyi birleştiren doğru parçalarına ise çokgenin köşegeni denir.

Çokgenler iç bölgelerinin ve iç açılarının durumuna göre iki gruba ayrılır: İç bölgesinden alınan herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasının tamamı çokgenin iç bölgesinde kalıyorsa bu çokgene dışbükey (konveks) çokgen adı verilir. Dışbükey çokgenlerin bütün iç açılarının ölçüsü 180°'den küçüktür ve çizilen bütün köşegenleri çokgenin iç bölgesinde yer alır.

İç bölgesinde alınan bazı iki noktayı birleştiren doğru parçasının bir kısmı çokgenin dış bölgesine taşıyorsa bu çokgene içbükey (konkav) çokgen denir. İçbükey çokgenlerde en az bir iç açının ölçüsü 180°'den büyüktür (180° ile 360° arasındadır) ve köşegenlerinden en az biri çokgenin dış bölgesinden geçer.

ÇOKGENLERİN SINIFLANDIRILMASI: DIŞBÜKEY (KONVEKS) VE İÇBÜKEY (KONKAV) 1. Dışbükey (Konveks) Çokgen K L Konveks Beşgen • Her bir iç açısı < 180°'dir. • İçteki [KL] doğru parçası tamamen iç bölgededir. • Bütün köşegenleri çokgenin iç bölgesinde kesişir. • İç açı + Dış açı = 180° 2. İçbükey (Konkav) Çokgen >180° Konkav Beşgen • En az bir iç açısı > 180°'dir. • Bazı iki noktayı birleştiren parça dış bölgeye taşar. • En az bir köşegeni (kesikli çizgi) dış bölgeden geçer. • Girintili köşesi bulunur.
🔍 Büyütmek için dokunun

Dışbükey Çokgenlerde Köşegen Sayısı ve İç-Dış Açı Toplamları

n kenarlı bir dışbükey çokgenin sabit bir köşesi seçildiğinde, bu köşeden kendisine (1 köşe) ve kendisine komşu olan sağ ve solundaki köşelere (2 köşe) köşegen çizilemez; komşu köşelerle birleşen doğru parçaları zaten çokgenin kenarlarıdır. Dolayısıyla n kenarlı bir dışbükey çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı (n - 3) tanedir. Her biri (n - 3) köşegen gönderen n tane köşe olduğundan ve her köşegen iki uç noktadan iki kez sayıldığından, çokgenin toplam köşegen sayısı n · (n - 3)2 bağıntısıyla bulunur.

Bir dışbükey çokgenin tek bir köşesinden çizilen (n - 3) tane köşegen, çokgenin iç bölgesini birbirini kesmeyen (n - 2) tane üçgensel bölgeye ayırır. Bu yönteme üçgenleme yöntemi denir. Oluşan (n - 2) tane üçgenin iç açılarının toplamı çokgenin tüm iç açılarının toplamını tam olarak kapladığından, n kenarlı dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n - 2) · 180° olur.

Çokgenin n tane köşesinin her birinde bir iç açı ile bir dış açının toplamı 180° olduğundan, tüm iç ve dış açıların genel toplamı n · 180°'dir. Bu genel toplamdan iç açılar toplamı çıkarıldığında: Dış Açılar Toplamı = n · 180° - (n - 2) · 180° = 360° elde edilir. Yani kenar sayısı n kaç olursa olsun bütün dışbükey çokgenlerin dış açılarının ölçüleri toplamı sabit olup 360°'dir.

n KENARLI DIŞBÜKEY ÇOKGENDE ÜÇGENLEME VE KÖŞEGEN BAĞINTILARI Altıgende Üçgenleme (n = 6) A 1. 2. 3. 4. A köşesinden: 6 - 3 = 3 köşegen Oluşan üçgen: 6 - 2 = 4 üçgen Dışbükey Çokgen Temel Bağıntıları Tablosu 1. Bir Köşeden Çizilen Köşegen Sayısı: n - 3 2. Bir Köşeden Köşegenlerle Oluşan Üçgen Sayısı: n - 2 3. Çokgenin Toplam Köşegen Sayısı: n · (n - 3) / 2 4. İç Açılar ve Dış Açılar Toplamı: İç: (n - 2)·180° | Dış: 360°
🔍 Büyütmek için dokunun

Düzgün Çokgenlerin Açı, Köşegen ve Simetri Özellikleri

Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit ve bütün iç açılarının (dolayısıyla bütün dış açılarının) ölçüleri birbirine eşit olan dışbükey çokgenlere düzgün çokgen adı verilir. Eşkenar üçgen (n=3), kare (n=4), düzgün beşgen (n=5), düzgün altıgen (n=6) ve düzgün sekizgen (n=8) en sık kullanılan düzgün çokgenlerdir. Kenarların eşit olması veya yalnız açıların eşit olması tek başına yeterli değildir; Örneğin eşkenar dörtgenin kenarları eşit, dikdörtgenin açıları eşittir ancak kare dışındakiler düzgün dörtgen değildir.

n kenarlı bir düzgün çokgenin n tane dış açısının tamamı birbirine eşit ve toplamları 360° olduğundan, bir dış açısının ölçüsü α = 360°n formülüyle bulunur. Bir iç açı ile bir dış açının toplamı 180° olduğundan, bir iç açısının ölçüsü (n - 2) · 180°n veya çok daha pratik olarak 180° - 360°n bağıntısıyla hesaplanır. Buna göre düzgün beşgenin bir dış açısı 72° ve iç açısı 108°; düzgün altıgenin dış açısı 60° ve iç açısı 120°; düzgün sekizgenin dış açısı 45° ve iç açısı 135°; düzgün ongenin dış açısı 36° ve iç açısı 144°'dir.

Bir düzgün çokgende eşit sayıda kenar ayırmış olan köşegenlerin uzunlukları birbirine eşittir. Düzgün beşgenin 5 köşegeninin tamamı birbirine eşittir; bir köşeden çizilen iki köşegen 108°'lik iç açıyı 36° - 36° - 36° olarak üç eş parçaya böler. Kenar uzunluğu a olan bir düzgün altıgende ise kısa köşegen (arada 1 köşe bırakan) a birim, merkezden geçen en uzun köşegen ise 2a birimdir ve altıgeni 6 tane eşkenar üçgene ayırır. Ayrıca n kenarlı her düzgün çokgenin n tane simetri ekseni vardır.

DÜZGÜN ÇOKGENLERDE AÇI, KÖŞEGEN VE SİMETRİ EKSENİ ÖZELLİKLERİ 1. Düzgün Beşgen (n = 5) • Dış Açı: 360°/5 = 72° | İç Açı: 108° • 5 köşegenin tamamı birbirine eşittir. • Köşegenler tepeyi 36°-36°-36° böler. • 5 tane simetri ekseni vardır. 2. Düzgün Altıgen (n = 6) 2a a·kök(3) • Dış Açı: 360°/6 = 60° | İç Açı: 120° • Uzun köşegen = 2a (6 eşkenar üçgen) • Kısa köşegen = a·kök(3) (30-30-120) • 6 tane simetri ekseni vardır. 3. Simetri ve Hızlı Açı Tablosu • Sekizgen (n=8): Dış 45° | İç 135° • Dokuzgen (n=9): Dış 40° | İç 140° • Ongen (n=10): Dış 36° | İç 144° • Onikigen (n=12): Dış 30° | İç 150° • n tek ise: Simetri eksenleri bir köşeden ve karşı kenar ortasından geçer. • n çift ise: Yarısı karşılıklı köşelerden, yarısı kenar ortalarından geçer.
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Bir köşesinden çizilen köşegenlerle 9 tane üçgensel bölgeye ayrılan dışbükey çokgenin kenar sayısını, toplam köşegen sayısını ve iç açılarının ölçüleri toplamını bulunuz.

    Cevabı göster

    Bir köşeden çizilen köşegenlerle oluşan üçgen sayısı n - 2 = 9 olduğundan çokgen n = 11 kenarlıdır (onbirgen). Toplam köşegen sayısı n · (n - 3)2 = 11 · 82 = 44 tanedir. İç açılarının ölçüleri toplamı ise (n - 2) · 180° = 9 · 180° = 1620° olarak bulunur.

  2. Örnek 2Bir dışbükey sekizgenin iç açılarından dördünün ölçüleri 120°, 130°, 140° ve 150°'dir. Geriye kalan dört iç açının ölçüleri birbirine eşit olduğuna göre bu eş iç açılardan birinin ölçüsü kaç derecedir?

    Cevabı göster

    Sekizgenin (n = 8) iç açılarının ölçüleri toplamı (8 - 2) · 180° = 6 · 180° = 1080°'dir. Verilen dört iç açının toplamı 120° + 130° + 140° + 150° = 540° olup geriye kalan dört eş açının toplamı 1080° - 540° = 540° olur. Buradan eş açılardan her birinin ölçüsü 540°4 = 135° bulunur.

  3. Örnek 3Bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün 3 katından 20° fazla olan düzgün çokgenin kenar sayısı ve toplam köşegen sayısı kaçtır?

    Cevabı göster

    Düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsüne x dersek, bir iç açısının ölçüsü 3x + 20° olur. Aynı köşedeki iç ve dış açının toplamı 180° olduğundan: x + (3x + 20°) = 180° ⇒ 4x = 160° ⇒ x = 40° (dış açı) bulunur. Kenar sayısı n = 360°40° = 9 (dokuzgen) olur. Toplam köşegen sayısı ise 9 · (9 - 3)2 = 9 · 62 = 27'dir.

  4. Örnek 4ABCDE düzgün beşgeninde A köşesinden [CD] kenarına indirilen dikmenin ayağı H noktasıdır. |CH| = 4 cm olduğuna göre düzgün beşgenin çevresi kaç santimetredir?

    Cevabı göster

    Kenar sayısı tek olan düzgün beşgende bir köşeden (A) karşı kenara ([CD]) indirilen [AH] dikmesi aynı zamanda beşgenin simetri eksenidir ve karşı kenarı iki eş parçaya böler (|CH| = |HD|). |CH| = 4 cm verildiğinden bir kenar uzunluğu |CD| = 4 + 4 = 8 cm olur. Düzgün beşgenin çevresi 5 · 8 = 40 cm bulunur.

  5. Örnek 5Kenar uzunluğu 4 cm olan bir ABCDEF düzgün altıgeninin en uzun köşegeni olan |AD| ile kısa köşegeni olan |AC| uzunluklarının toplamı kaç santimetredir?

    Cevabı göster

    Kenar uzunluğu a = 4 cm olan bir düzgün altıgende en uzun köşegen |AD| = 2a = 8 cm'dir. Arada bir köşe bırakan kısa köşegen |AC| ise 120°-30°-30° ikizkenar üçgen özelliğinden a ·  = 4 ·  = 12 cm olur. İstenen uzunluklar toplamı 12 + 8 cm'dir.

  6. Örnek 6Ardışık köşeleri A, B, C, D, E olan bir düzgün çokgende A, B, C noktalarından geçen doğru ile E, D, C noktalarından geçen doğrunun C köşesinin dış bölgesinde oluşturduğu dar açının ölçüsü 60° ise bu düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

    Cevabı göster

    [AB] kenarının uzantısı ile [ED] kenarının uzantısının kesiştiği noktaya P dersek, oluşan BDC üçgeninde B ve D köşelerindeki açılar düzgün çokgenin birer dış açısına (α) eşittir. BCD açısı ise çokgenin iç açısı olan (180° - α) ile ters veya bütünler ilişkiden değerlendirildiğinde; çokgende ardışık iki dış açının toplamı (B ve C dış açıları) 2α = 60° ⇒ α = 30° bulunur. Bir dış açısı 30° olan düzgün çokgenin kenar sayısı n = 360°30° = 12'dir.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1İç açılarının ölçüleri toplamı 1440° olan bir dışbükey çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

  2. 2Bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün 5 katına eşit olan düzgün çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenlerle oluşan üçgen sayısı kaçtır?

  3. 3ABCDE düzgün beşgeninin iç bölgesinde alınan bir K noktası için KCD üçgeni bir eşkenar üçgendir. Buna göre m(BKC) açısının ölçüsü kaç derecedir?

  4. 4Kenar uzunluğu 8 cm olan bir ABCDEF düzgün altıgeninde A köşesini C köşesine birleştiren [AC] köşegeni ile A köşesini D köşesine birleştiren [AD] köşegeni arasındaki m(CAD) açısının ölçüsü ve |AD| uzunluğu aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

  5. 5Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Dışbükey bir çokgenin tüm iç açılarının ölçüsü 180 dereceden küçüktür ve köşegenleri iç bölgededir.
    • Kenar sayısı n olan bir dışbükey çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı (n - 2) · 180° formülüyle bulunur.
    • Sekiz kenarlı bir dışbükey çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı 5'tir.
    • Düzgün beşgenin bir iç açısının ölçüsü 108 derece, bir dış açısının ölçüsü ise 72 derecedir.
    • Kenar uzunlukları birbirine eşit olan her dörtgen aynı zamanda bir düzgün dörtgendir.

  6. 6Aşağıdaki çokgen kavram ve özelliklerini doğru bağıntı veya açı değerleriyle eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavram veya sayılarla tamamlayınız.

    1. Kenar sayısı kaç olursa olsun bütün dışbükey çokgenlerin dış açılarının ölçüleri toplamı derecedir.
    2. Yedi kenarlı bir dışbükey çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenler çokgeni tane üçgene ayırır.
    3. Bütün köşegenlerinin uzunlukları birbirine eşit olan düzgün çokgen düzgün olarak adlandırılır.
    4. Bir dış açısının ölçüsü 36 derece olan düzgün çokgen kenarlıdır.
    5. Kenar sayısı n olan bir düzgün çokgenin düzlemde tane simetri ekseni vardır.

  8. 8Bir dışbükey çokgenin toplam köşegen sayısı, kenar sayısının 3 katına eşittir. Bu çokgenin düzgün çokgen olması durumunda bir iç açısının ve bir dış açısının ölçüsünü adım adım hesaplayınız.

Kısaca

  • Dışbükey ve İçbükey Çokgen: Tüm iç açıları 180°'den küçük olan çokgenler dışbükey (konveks), en az bir iç açısı 180°'den büyük olanlar içbükey (konkav) çokgendir.
  • Köşegen ve Üçgen Sayısı: n kenarlı dışbükey çokgende bir köşeden (n - 3) köşegen çizilir, (n - 2) üçgen oluşur ve toplam köşegen sayısı n · (n - 3)2'dir.
  • İç ve Dış Açılar Toplamı: n kenarlı dışbükey çokgenin iç açıları toplamı (n - 2) · 180°, dış açıları toplamı ise sabit olup 360°'dir.
  • Düzgün Çokgen Açıları: Kenarları ve açıları eş olan n kenarlı düzgün çokgenin bir dış açısı 360°n, bir iç açısı ise 180° - 360°n bağıntısıyla bulunur.
  • Özel Düzgün Çokgenler: Düzgün beşgenin iç açısı 108° (5 köşegeni eşit), düzgün altıgenin iç açısı 120° (uzun köşegen 2a, kısa köşegen a) ve simetri ekseni sayısı n'dir.

Bu dersin öteki kaynakları