Yönlü Açılar, Açı Ölçü Birimleri (Derece ve Radyan), Esas Ölçü ve Birim Çember

Düzlemde başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşimine açı denir. Bir açıyı oluşturan iki ışından biri başlangıç kenarı, diğeri ise bitim kenarı olarak seçildiğinde ve başlangıç kenarından bitim kenarına doğru olan dönme yönü belirtildiğinde elde edilen açıya yönlü açı adı verilir. Örneğin başlangıç noktası O, başlangıç kenarı [OA ve bitim kenarı [OB olan yönlü açı AOB açısı olarak adlandırılır. Trigonometri ve fizikte yönlü açıların dönme yönü evrensel bir kabulle ikiye ayrılır: 1) Pozitif (+) Yön: Saatin yelkovanının dönme yönünün tersi olan yöndür. 2) Negatif (-) Yön: Saatin yelkovanının dönme yönüyle aynı olan yöndür. Analitik düzlemde köşesi orijinde O(0,0) ve başlangıç kenarı yatay Ox ekseninin pozitif kısmında bulunan yönlü açılara standart konumdaki açılar denir.

Bir açının ölçüsünü ifade etmek için günlük yaşamda ve bilimde en yaygın kullanılan iki birim derece ve radyan birimleridir. 1) Derece (D): Bir çemberin çevresi 360 eş parçaya bölündüğünde, bu eş yaylardan birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece (1°) denir. Çok hassas astronomi, denizcilik ve harita ölçümlerinde derecenin alt birimleri olan dakika (') ve saniye ('') kullanılır: 1° = 60' (altmış dakika) ve 1' = 60'' (altmış saniye) olup buradan 1° = 3600'' eşitliği elde edilir. 2) Radyan (R): Bir çemberde yarıçap uzunluğuna (r) eşit uzunluktaki yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan (1 rad) denir. Bir çemberin tam çevresi C = 2 . pi . r olduğundan, tam çemberin içinde yarıçap uzunluğundan 2.pi tane vardır; dolayısıyla tam açı 360° = 2.pi radyan ve doğru açı 180° = pi radyan olur. Derece (D) ve radyan (R) arasında geçiş yapmak için D / 180 = R / pi temel dönüşüm orantısı kullanılır.

Bir dönme hareketinde çember etrafında birden fazla tam tur (360° veya 2.pi radyan) atıldığında açının bitim kenarı yine aynı konuma gelir. k bir tam sayı olmak üzere, ölçüsü beta olan bir açının beta = alfa + k . 360° (veya radyan cinsinden beta = alfa + k . 2.pi) yazılışında 0° <= alfa < 360° (veya 0 <= alfa < 2.pi) şartını sağlayan alfa açısına verilen açının esas ölçüsü denir. Esas ölçü bitim kenarının çember üzerindeki gerçek konumunu gösterir ve asla negatif olamaz! Esas ölçüyü bulmak için üç pratik kural uygulanır: 1) Pozitif Derecelerde: Verilen açı 360°'ye bölünür; bölme işlemindeki kalan doğrudan esas ölçüdür. 2) Negatif Derecelerde: Açının mutlak değeri (pozitifmiş gibi) 360°'ye bölünür; bulunan kalan 360°'den çıkarılır (veya negatif açıya pozitif olana kadar 360°'nin katları eklenir). 3) Radyan Cinsinden Kesirli Açılarda ((A . pi) / B): Paydaki sayı (A), paydanın 2 katına (2B) bölünür! Bulunan kalan (K), pi'nin yeni katsayısı olarak paya yazılır ve eski payda (B) aynen korunur: (K . pi) / B. Eğer açı negatif ise bulunan kesir 2.pi'den çıkarılır.

Analitik düzlemde merkezi başlangıç noktası olan orijinde O(0, 0) bulunan ve yarıçapı r = 1 birim olan çembere birim çember (veya trigonometrik çember) denir. Birim çember eksenleri dört ana noktada keser: A(1, 0), B(0, 1), A'(-1, 0) ve B'(0, -1). Birim çember üzerinde alınan herhangi bir P(x, y) noktasının orijine olan uzaklığı her zaman yarıçapa yani 1 birime eşittir. P noktasından x eksenine dikme indirildiğinde oluşan dik üçgende dik kenarlar |x| ve |y|, hipotenüs ise 1 birimdir. Pisagor teoremi uygulandığında birim çemberin denklemi x² + y² = 1 olarak elde edilir. Dolayısıyla bir (x, y) noktasının birim çember üzerinde bulunabilmesi için koordinatlarının kareleri toplamının mutlaka 1'e eşit olması gerekir.

Standart konumdaki pozitif yönlü bir alfa açısının bitim kenarının birim çemberi kestiği nokta P(x, y) olsun. Trigonometride bu P noktasının birinci bileşenine (apsisine) alfa açısının kosinüsü, ikinci bileşenine (ordinatına) ise alfa açısının sinüsü denir. Bu nedenle yatay Ox ekseni kosinüs ekseni, dikey Oy ekseni ise sinüs ekseni olarak adlandırılır ve bitim noktası P(cos(alfa), sin(alfa)) şeklinde gösterilir. x = cos(alfa) ve y = sin(alfa) değerlerini birim çember denklemi olan x² + y² = 1 içinde yerine yazdığımızda, trigonometrinin en temel özdeşliği olan cos²(alfa) + sin²(alfa) = 1 bağıntısına ulaşırız. Ayrıca analitik düzlemin dört bölgesindeki işaretlere göre; 1. bölgede (0° < alfa < 90°) hem cos hem sin pozitif (+, +); 2. bölgede (90° < alfa < 180°) cos negatif, sin pozitif (-, +); 3. bölgede (180° < alfa < 270°) her ikisi de negatif (-, -) ve 4. bölgede (270° < alfa < 360°) cos pozitif, sin negatif (+, -) işaretlidir.

Yönlü açılar, radyan birimi ve birim çember; robot kollarının eklem dönüş açılarının programlanmasında, uçak ve gemi navigasyon sistemlerinde, bilgisayar grafiklerinde (oyun motorlarında 2B ve 3B döndürme matrislerinde) ve alternatif akım elektrik mühendisliğinde doğrudan kullanılır. Örneğin bir rüzgâr türbininin kanat ucundaki bir noktanın yerden yüksekliği zamana bağlı olarak birim çember üzerindeki sinüs fonksiyonu ile modellenirken, yatay konumu kosinüs fonksiyonu ile takip edilir.