İçeriğe geç

11. sınıf · Matematik · 12. hafta (7-11 Aralık 2026)

Dışbükey Çokgenlerin ve Özel Dörtgenlerin (Yamuk, Paralelkenar, Eşkenar Dörtgen, Dikdörtgen, Kare, Deltoid) Kenar, Açı, Köşegen, Simetri ve Alan Özellikleri (MAT.11.2.4)

Geometrik Şekiller teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Kenar sayısı n = 4 olan dışbükey çokgenlere dışbükey dörtgen adı verilir ve iç açıları toplamı ile dış açıları toplamı 360°'dir. Dörtgenler ailesi; kenarlarının paralellik, eşitlik ve açılarının diklik durumuna göre yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoid gibi özel sınıflara ayrılır. Üçgenlerdeki eşlik, benzerlik ve alan bağıntıları tüm bu özel dörtgenlerin özelliklerini türetmenin anahtarıdır.

Genel Dörtgenler ve Yamuğun Özellikleri

Herhangi bir ABCD dışbükey dörtgeninde iç açılar toplamı (4 - 2) · 180° = 360° ve dış açılar toplamı 360°'dir. Köşegenleri [AC] ve [BD] birbirini α açısıyla kesiyorsa dörtgenin alanı Alan(ABCD) = 12 · |AC| · |BD| · sin(α) bağıntısıyla hesaplanır. Köşegenleri birbirine dik (α = 90°) olan dörtgenlerde karşılıklı kenarların kareleri toplamı birbirine eşittir (a2 + c2 = b2 + d2 ) ve alan köşegenler çarpımının yarısıdır (|AC| · |BD|2).

En az iki karşıt kenarı birbirine paralel olan dörtgene yamuk ([AB] // [DC]) denir. Paralel olmayan yan kenarlara komşu olan alt ve üst açılar bütünlerdir (m(A) + m(D) = 180° ve m(B) + m(C) = 180°). Yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban (e) denir ve uzunluğu alt taban (a) ile üst tabanın (c) aritmetik ortalamasına eşittir: e = a + c2. Yüksekliği h olan yamuğun alanı ise Alan = (a + c) · h2 = e · h formülüyle bulunur.

Paralel olmayan yan kenar uzunlukları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk (|AD| = |BC|) denir. İkizkenar yamukta taban açıları birbirine eşittir, köşegen uzunlukları birbirine eşittir (|AC| = |BD|) ve tabanların orta noktalarından geçen doğru yamuğun 1 adet simetri eksenini oluşturur. Yan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuğa ise dik yamuk adı verilir.

GENEL DÖRTGEN VE YAMUK ÖZELLİKLERİ DİK KÖŞEGENLİ DÖRTGEN (AC ⊥ BD) a b c d a² + c² = b² + d² | Alan = (|AC| · |BD|) / 2 YAMUKTA ORTA TABAN VE ALAN ([AB] // [DC]) Üst Taban (c) Orta Taban: e = (a + c) / 2 Alt Taban (a) h Alan = ((a + c) / 2) · h = e · h
🔍 Büyütmek için dokunun

Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgenin Özellikleri

Karşılıklı kenar çiftleri birbirine paralel ve eşit uzunlukta olan dörtgene paralelkenar denir. Paralelkenarda karşılıklı açılar birbirine eşit, ardışık açılar ise bütünlerdir (180°). Köşegenler birbirini ortalar (|AO| = |OC| ve |BO| = |OD|), ancak köşegen uzunlukları genel paralelkenarda eşit değildir ve açıortay olmazlar. Paralelkenarın alanı bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir (Alan = a · ha = b · hb ) ve her bir köşegen paralelkenarı iki eş üçgene, iki köşegen ise alanları birbirine eşit dört üçgene ayırır. Genel paralelkenarın doğruya göre (eksenel) simetrisi yoktur, yalnız köşegen kesim noktasına göre dönme (merkezî) simetrisi vardır.

Dört kenar uzunluğu da birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen (a = b = c = d) adı verilir. Eşkenar dörtgen paralelkenarın bütün özelliklerini taşır; buna ek olarak köşegenleri birbirini dik ortalar (AC ⊥ BD) ve köşegenler geçtikleri köşelerin iç açıortayıdır.

Eşkenar dörtgenin alanı taban çarpı yükseklik (Alan = a · h) ile bulunabildiği gibi, köşegenleri dik kesiştiği için köşegenler çarpımının yarısı (Alan = |AC| · |BD|2) bağıntısıyla da hesaplanır. Eşkenar dörtgende köşegen doğruları aynı zamanda şeklin 2 adet simetri eksenidir.

PARALELKENAR VE EŞKENAR DÖRTGEN KARŞILAŞTIRMASI PARALELKENAR ÖZELLİKLERİ S S S S • Karşılıklı kenarlar ve açılar eşittir; köşegenler ortalanır. Alan = a · h_a = b · h_b = 4S (Simetri ekseni: 0) EŞKENAR DÖRTGEN (4 KENAR EŞİT) • Köşegenler dik ortalanır ve iç açıortaydır. Alan = a · h = (|AC| · |BD|) / 2 (Simetri ekseni: 2)
🔍 Büyütmek için dokunun

Dikdörtgen, Kare ve Deltoidin Özellikleri

Bütün iç açıları 90° olan paralelkenara dikdörtgen denir. Kısa kenarı b, uzun kenarı a olan dikdörtgenin çevresi 2(a + b), alanı Alan = a · b ve Pisagor teoreminden köşegen uzunlukları |AC| = |BD| = olur. Dikdörtgende köşegen uzunlukları birbirine eşittir ve birbirini ortalar, ancak köşegenler dik kesişmez ve açıortay değildir. Karşılıklı kenarların orta dikmeleri dikdörtgenin 2 adet simetri eksenini oluşturur.

Hem dört kenar uzunluğu birbirine eşit hem de bütün iç açıları 90° olan düzgün dörtgene kare denir (kare aynı zamanda hem özel bir dikdörtgen hem de özel bir eşkenar dörtgendir). Bir kenarı a olan karenin çevresi 4a, alanı Alan = a2 = e2 2 ve köşegen uzunluğu e = a olur. Karede köşegenler eşit uzunluktadır, birbirini dik ortalar ve köşelerdeki 90°'lik açıları 45°-45° olarak ikiye böler. Karenin (2 köşegen + 2 kenar orta dikmesi olmak üzere) 4 adet simetri ekseni vardır.

Tabanları ortak iki farklı ikizkenar üçgenin tabanlarının çakıştırılmasıyla oluşan dörtgene ise deltoid denir. Deltoidde ardışık ikişer kenar birbirine eşittir (|AB| = |AD| ve |CB| = |CD|), köşegenler birbirine diktir (AC ⊥ BD), tepe noktalarını birleştiren esas köşegen hem açıortaydır, hem diğer köşegeni iki eş parçaya böler, hem de şeklin 1 adet simetri eksenini oluşturur. Alanı |AC| · |BD|2 formülüyle bulunur.

DİKDÖRTGEN, KARE VE DELTOİDİN TEMEL ÖZELLİKLERİ 1. DİKDÖRTGEN • Tüm açılar 90°, karşıt kenarlar eşit. • Köşegenler eşit ve ortalanır: |AC| = |BD| = kök(a² + b²) • Alan = a · b | Çevre = 2(a + b) • Simetri Ekseni: 2 (Kenar ortalar) 2. KARE (Düzgün Dörtgen) • 4 kenar eşit, tüm açılar 90°. • Köşegenler eşit, dik ortalanır ve 45°-45° açıortaydır: e = a·kök(2) • Alan = a² = e² / 2 | Çevre = 4a • Simetri Ekseni: 4 (2 köşegen+2 orta) 3. DELTOİD • Tabanları ortak iki ikizkenar üçgen. • Köşegenler dik kesişir (AC ⊥ BD). • Esas köşegen açıortaydır ve diğer köşegeni iki eş parçaya böler. • Alan = (|AC|·|BD|)/2 | Simetri: 1
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Köşegenleri birbirine dik kesişen bir ABCD dışbükey dörtgeninde |AB| = 5 cm, |BC| = 8 cm ve |CD| = 7 cm olduğuna göre |DA| uzunluğu kaç cm'dir? Köşegen uzunlukları |AC| = 10 cm ve |BD| = 12 cm ise bu dörtgenin alanı kaç cm2 'dir?

    Cevabı göster

    Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde karşılıklı kenarların kareleri toplamı birbirine eşittir: |AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |DA|^2 -> 5^2 + 7^2 = 8^2 + |DA|^2 -> 25 + 49 = 64 + |DA|^2 -> 74 - 64 = 10 -> |DA| = cm bulunur. Alanı ise köşegenler dik olduğu için Alan = (|AC| · |BD|) / 2 = (10 · 12) / 2 = 60 cm^2 olur.

  2. Örnek 2Alt tabanı a = 14 cm, üst tabanı c = 6 cm ve yüksekliği h = 8 cm olan bir yamuğun orta taban uzunluğunu ve alanını hesaplayınız.

    Cevabı göster

    Yamuğun orta taban uzunluğu alt ve üst tabanın aritmetik ortalamasıdır: e = (a + c) / 2 = (14 + 6) / 2 = 10 cm bulunur. Yamuğun alanı ise Alan = e · h = 10 · 8 = 80 cm^2 olarak elde edilir.

  3. Örnek 3Bir eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları 12 cm ve 16 cm'dir. Bu eşkenar dörtgenin çevresini, alanını ve bir kenarına ait yüksekliğini (h) bulunuz.

    Cevabı göster

    Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortaladığından köşegen yarıları 6 cm ve 8 cm olan dört adet dik üçgen oluşur. 6-8-10 özel dik üçgeninden bir kenar uzunluğu a = 10 cm ve çevresi 4 · 10 = 40 cm bulunur. Alanı köşegenler çarpımının yarısından Alan = (12 · 16) / 2 = 96 cm^2'dir. Aynı alan a · h = 96 bağıntısına eşit olduğundan 10 · h = 96 -> h = 9,6 cm bulunur.

  4. Örnek 4Kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan bir ABCD dikdörtgeninde köşegen uzunluğunu, çevresini ve alanını hesaplayınız.

    Cevabı göster

    Dikdörtgenin çevresi Ç = 2 · (6 + 8) = 28 cm, alanı ise Alan = 6 · 8 = 48 cm^2'dir. Köşegen uzunluğu dik üçgende Pisagor teoremiyle (6-8-10 üçgeni) |AC| = |BD| = = = 10 cm olarak bulunur.

  5. Örnek 5Köşegen uzunluğu 8 cm olan bir karenin bir kenar uzunluğunu, çevresini ve alanını hesaplayınız.

    Cevabı göster

    Bir kenarı a olan karenin köşegen uzunluğu e = a olduğundan a = 8 -> a = 8 cm bulunur. Karenin çevresi 4a = 4 · 8 = 32 cm ve alanı Alan = a^2 = 8^2 = 64 cm^2 olur.

  6. Örnek 6Özel dörtgenleri (ikizkenar yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoid) doğruya göre simetri ekseni sayılarına göre sınıflandırınız.

    Cevabı göster

    Genel paralelkenarın doğruya göre simetri ekseni yoktur (0 adet). İkizkenar yamuk ve deltoidin 1'er adet simetri ekseni vardır. Eşkenar dörtgenin (köşegenleri) ve dikdörtgenin (kenar orta dikmeleri) 2'şer adet simetri ekseni vardır. Düzgün dörtgen olan karenin ise (2 köşegen + 2 kenar orta dikmesi) 4 adet simetri ekseni bulunur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Alt taban uzunluğu 15 cm, üst taban uzunluğu 7 cm ve alanı 88 cm2 olan bir yamuğun orta taban uzunluğu (e) ve yüksekliği (h) aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  2. 2Bir eşkenar dörtgenin çevresi 52 cm ve köşegenlerinden birinin uzunluğu 10 cm olduğuna göre bu eşkenar dörtgenin alanı kaç cm2 'dir?

  3. 3Aşağıdaki özel dörtgenlerden hangisinde köşegenler hem birbirine eşit uzunluktadır hem de birbirini dik olarak ortalar?

  4. 4Bir ABCD dikdörtgeninin içinde alınan bir P noktası için |PA| = 4 cm, |PC| = 7 cm ve |PB| = 5 cm olduğuna göre |PD| uzunluğu kaç cm'dir?

  5. 5

    • Herhangi bir dışbükey dörtgenin kenar orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan dörtgen bir paralelkenardır.
    • Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortalar ve geçtikleri köşelerin iç açıortayıdır.
    • Genel bir dikdörtgende köşegenler birbirini dik keser ve iç açıları 45°-45° olarak ikiye ayırır.
    • Deltoid, tabanları ortak iki ikizkenar üçgenin birleşiminden oluşur ve köşegenleri birbirine diktir.
    • Yamuğun orta taban uzunluğu alt taban ile üst taban uzunluklarının farkının yarısına eşittir.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgenin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının eşittir.
    2. Bir yamukta paralel olmayan yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına taban denir.
    3. Paralelkenarda ardışık iki köşeye ait iç açıortaylar birbirini derece açıyla keser.
    4. Düzgün bir dörtgen olan karenin köşegenleri ve kenar orta dikmeleri olmak üzere toplam adet simetri ekseni vardır.
    5. Bir kenar uzunluğu a olan karenin köşegen uzunluğu a ile iki sayısının çarpımına eşittir.

  8. 8Paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve kare arasındaki kapsama ilişkisini 'kenar, açı, köşegen ve simetri ekseni' özellikleri açısından karşılaştırarak açıklayınız.

Kısaca

  • Dışbükey dörtgenlerde iç ve dış açılar toplamı 360°'dir; köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde a² + c² = b² + d² ve Alan = (|AC|·|BD|)/2 bağıntıları geçerlidir.
  • Yamukta orta taban e = (a + c) / 2 ve Alan = e · h formülüyle bulunur; ikizkenar yamukta köşegenler eşittir ve 1 simetri ekseni vardır.
  • Paralelkenarda karşılıklı kenar ve açılar eşittir, köşegenler birbirini ortalar ve alanı 4 eş parçaya böler.
  • Eşkenar dörtgende 4 kenar eşittir, köşegenler dik ortalanır, açıortaydır ve 2 simetri ekseni bulunur; dikdörtgende ise açılar 90°'dir ve köşegenler eşittir.
  • Kare, dikdörtgen ve eşkenar dörtgenin tüm özelliklerini taşır (4 simetri ekseni); deltoid ise tabanları ortak iki ikizkenar üçgenden oluşur ve köşegenleri diktir.

Bu dersin öteki kaynakları