İçeriğe geç

11. sınıf · Matematik · 3. hafta (28 Eylül - 2 Ekim 2026)

İki Nicel Değişkenli Veriler: Serpilme Diyagramı, Korelasyon ve Doğrusal Model

İSTATİSTİKSEL ARAŞTIRMA SÜRECİ teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Günlük çalışma süresi ile sınav puanı, bir aracın hızı ile yakıt tüketimi ya da rakım (yükselti) ile hava sıcaklığı arasında nasıl bir matematiksel ilişki vardır? İstatistiksel araştırma sürecinde aynı gözlem birimine ait iki nicel değişkeni birlikte incelediğimizde bu değişkenlerin birlikte nasıl değiştiğini keşfederiz. Bu dersimizde iki nicel değişkenli verileri serpilme diyagramı (saçılım grafiği) ile görselleştirmeyi, ilişkinin yönünü ve gücünü korelasyon katsayısı (r) ile yorumlamayı ve en uygun doğru (eğilim doğrusu) denklemiyle tahmin ve karar verme süreçlerini yürüteceğiz.

1. İki Nicel Değişkenli Veriler: Bağımsız ve Bağımlı Değişken

İstatistiksel bir araştırmada her bir gözlem biriminden (öğrenci, şehir, araç, bitki vb.) aynı anda iki farklı sayısal ölçüm alındığında elde edilen (x, y) veri çiftlerine iki nicel değişkenli veri adı verilir.

Değişkenler arasındaki ilişki incelenirken değişkenlerin rolleri ikiye ayrılır: • Bağımsız (Açıklayıcı / Yordayıcı) Değişken (x): Araştırmada değişimi gözlenen veya kontrol edilen, diğer değişkeni etkilediği düşünülen değişkendir ve koordinat düzleminde yatay eksende (x ekseni) gösterilir. • Bağımlı (Yanıt / Sonuç) Değişken (y): Bağımsız değişkene bağlı olarak değişen, tahmin edilmek istenen değişkendir ve düşey eksende (y ekseni) gösterilir.

Örneğin “Reklam harcamalarının (x) ürün satış miktarına (y) etkisi” incelenirken reklam harcaması bağımsız değişken (x), satış miktarı ise bağımlı değişken (y) olur.

İKİ NİCEL DEĞİŞKENLİ VERİLER VE SERPİLME DİYAGRAMI (SAÇILIM GRAFİĞİ)1. Pozitif Doğrusal İlişkix arttıkça y de artar (r > 0)2. Negatif Doğrusal İlişkix arttıkça y azalır (r < 0)3. Doğrusal İlişki YokNoktalar rastgele dağılır (r ≈ 0)Bağımsız (açıklayıcı) değişken yatay eksende (x), bağımlı (yanıt) değişken düşey eksende (y) gösterilir.

2. Serpilme Diyagramının Yorumlanması: Biçim, Yön ve Güç

Bir serpilme diyagramına bakılarak iki nicel değişken arasındaki ilişki üç temel özellik üzerinden analiz edilir:

1. İlişkinin Biçimi (Doğrusal / Doğrusal Olmayan): Noktalar bir doğru etrafında kümeleniyorsa ilişki doğrusaldır; parabol veya üstel bir eğri etrafında kümeleniyorsa doğrusal olmayan (eğrisel) ilişkidir.

2. İlişkinin Yönü (Pozitif / Negatif): • Pozitif (Aynı Yönlü) İlişki: x değişkeni artarken y değişkeni de genel olarak artıyorsa (nokta bulutu soldan sağa yukarı doğru yükseliyorsa) ilişki pozitiftir. (Örn: Çalışma süresi ile sınav notu). • Negatif (Ters Yönlü) İlişki: x değişkeni artarken y değişkeni genel olarak azalıyorsa (nokta bulutu soldan sağa aşağı doğru iniyorsa) ilişki negatiftir. (Örn: Deniz seviyesinden yükseklik ile sıcaklık).

3. İlişkinin Gücü (Zayıf / Orta / Güçlü): Noktalar hayali bir doğruya ne kadar yakın ve sıkı dizilmişse ilişki o kadar güçlüdür; noktalar dağınık bir bulut oluşturuyorsa ilişki zayıftır veya hiç yoktur.

PEARSON KORELASYON KATSAYISI (r) ÖLÇEĞİ VE YORUMU (-1 ≤ r ≤ +1)r = -1,0Tam Negatif-0,7Güçlü Negatif-0,3Zayıf Negatifr = 0İlişki Yok+0,3Zayıf Pozitif+0,7Güçlü Pozitifr = +1,0Tam Pozitifİlişkinin YÖNÜNÜ Belirleyen: İşaret (+ / -)• r > 0 ise: Aynı yönlü (Pozitif) ilişki• r < 0 ise: Ters yönlü (Negatif) ilişkiİlişkinin GÜCÜNÜ Belirleyen: |r| Mutlak Değeri• |r| değeri 1'e yaklaştıkça ilişki GÜÇLENİR.• Örn: r = -0,85 ilişkisi, r = +0,60'tan daha güçlüdür!

3. Korelasyon Katsayısı (r) ve Özellikleri

İki nicel değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü tek bir sayı ile ifade eden istatistiksel ölçüte Pearson Korelasyon Katsayısı denir ve r harfiyle gösterilir. Korelasyon katsayısı birimsizdir ve daima −1 ≤ r ≤ +1 kapalı aralığında değer alır.

• r = +1: Kusursuz (tam) pozitif doğrusal ilişki (tüm noktalar pozitif eğimli tek bir doğru üzerindedir). • r = −1: Kusursuz (tam) negatif doğrusal ilişki (tüm noktalar negatif eğimli tek bir doğru üzerindedir). • r = 0: İki değişken arasında doğrusal bir ilişki yoktur.

Çok Önemli Karşılaştırma Kuralı: Korelasyon katsayısının önündeki + veya − işareti yalnızca ilişkinin yönünü gösterir; ilişkinin gücünü (kuvvetini) ise |r| mutlak değeri belirler! Örneğin r₁ = −0,88 olan bir ilişki, |−0,88| > |+0,65| olduğu için r₂ = +0,65 olan ilişkiden daha güçlüdür!

|r| Mutlak Değer Aralığır > 0 İse Yorumur < 0 İse Yorumu
|r| = 1,00Tam (kusursuz) pozitif doğrusal ilişkiTam (kusursuz) negatif doğrusal ilişki
0,70 ≤ |r| < 1,00Güçlü (yüksek) pozitif doğrusal ilişkiGüçlü (yüksek) negatif doğrusal ilişki
0,30 ≤ |r| < 0,70Orta düzeyde pozitif doğrusal ilişkiOrta düzeyde negatif doğrusal ilişki
0,00 < |r| < 0,30Zayıf (düşük) pozitif doğrusal ilişkiZayıf (düşük) negatif doğrusal ilişki
r = 0,00Doğrusal ilişki yokturDoğrusal ilişki yoktur
EN UYGUN DOĞRU (REGRESYON / EĞİLİM DOĞRUSU) VE DENKLEMİEn Uygun Doğru Modeli: y = a + b·x• Serpilme diyagramındaki noktaların genel eğilimini en az hatayla temsil eden doğrudur.• Doğru mutlaka (x_ort, y_ort) ortalama noktasından (ağırlık merkezinden) geçer!• b (Eğim): x değişkeni 1 birim arttığında y değişkenindeki ortalama değişim miktarıdır.• a (Sabit Terim): x = 0 iken y eksenini kestiği değer.Tahmin Türleri ve Aykırı Değer• İç Değer Tahmini (İnterpolasyon): Gözlenen veri aralığının İÇİNDEKİ bir x değeri için tahmin yapmaktır (Güvenilirliği yüksektir).• Dış Değer Tahmini (Ekstrapolasyon): Gözlenen veri aralığının DIŞINDAKİ bir x değeri için tahmin yapmaktır (Yanıltıcı olabilir!).• Aykırı Değer: Genel eğilimden çok uzaktaki nokta.

4. En Uygun Doğru (Eğilim / Regresyon Doğrusu) ve Denklemi

Arasında orta veya güçlü doğrusal ilişki bulunan iki nicel değişkende, serpilme diyagramındaki noktalara olan dikey uzaklıkların kareleri toplamını en küçük yapan doğruya en uygun doğru (eğilim doğrusu veya doğrusal regresyon modeli) denir. Denklemi şu biçimde yazılır: y = a + b · x (veya y = m · x + n)

Modeldeki katsayıların gerçek yaşam anlamı çok önemlidir: • Eğim (b veya m): Bağımsız değişken (x) 1 birim arttığında, bağımlı değişkenin (y) ortalama olarak kaç birim artacağını (b > 0 ise) veya azalacağını (b < 0 ise) gösterir. Eğimin işareti korelasyon katsayısı r'nin işaretiyle her zaman aynıdır! • Sabit Terim / Y-kesim Noktası (a veya n): Bağımsız değişken x = 0 olduğunda bağımlı değişkenin (y) başlangıç/tahmini değeridir. • Ortalama Noktası Özelliği: En uygun doğru daima verilerin aritmetik ortalamalarının oluşturduğu (x_ort, y_ort) noktasından geçer! Yani y_ort = a + b · x_ort eşitliği her zaman sağlanır.

ALTIN KURAL: KORELASYON (İLİŞKİ) NEDENSELLİK DEMEK DEĞİLDİR!Yanıltıcı İlişki Örneği: Dondurma Satışları (x) ile Denizde Boğulma Vakaları (y)• İki değişken arasında güçlü pozitif korelasyon (r ≈ +0,85) vardır.• Ancak dondurma yemek boğulmaya NEDEN OLMAZ! İkisini de artıran gizli değişken HAVA SICAKLIĞIDIR (Yaz Mevsimi).İstatistiksel Karar Verme İlkeleri1. Korelasyon yalnızca iki değişkenin birlikte değişim eğilimini gösterir; neden-sonuç için kontrollü deney gerekir.2. Veri setindeki aykırı değerler korelasyon katsayısını (r) ve eğilim doğrusunun eğimini ciddi biçimde saptırabilir.

5. Model ile Tahmin Yapma (İç ve Dış Değer Tahmini) ve Aykırı Değerler

Elde edilen y = a + b · x doğrusal modeli kullanılarak bilinen bir x değeri için y değeri tahmin edilebilir. Tahminler x değerinin bulunduğu aralığa göre ikiye ayrılır:

• İç Değer Tahmini (İnterpolasyon): Eldeki veri setinin en küçük ve en büyük x değerleri arasında kalan bir değer için yapılan tahmindir. Model bu aralıkta kurulduğu için iç değer tahminleri güvenilirdir. • Dış Değer Tahmini (Ekstrapolasyon): Eldeki veri aralığının dışındaki çok küçük veya çok büyük bir x değeri için yapılan tahmindir. Doğrusal eğilim veri aralığının dışında bozulabileceği için dış değer tahminleri risklidir ve yanıltıcı sonuçlar verebilir (örneğin 0–15 yaş arası boy uzama doğrusuyla 50 yaşındaki birinin boyunu 3,20 metre tahmin etmek gibi!).

• Aykırı Değer (Outlier) ve Artık (Hata — Residual): Gözlenen gerçek y_gerçek değeri ile doğrunun tahmin ettiği y_tahmin değeri arasındaki farka artık (hata = y_gerçek − y_tahmin) denir. Genel veri bulutundan çok uzakta kalan noktalara ise aykırı değer denir; aykırı değer veri setinden çıkarıldığında korelasyon katsayısı |r| genellikle yükselir ve model daha güvenilir hâle gelir.

6. İlişkililiğe Dayalı Karar Verme: Korelasyon Nedensellik Değildir!

İstatistiksel okuryazarlığın en önemli kuralı şudur: İki değişken arasında güçlü bir korelasyon (ilişki) bulunması, birinin diğerinin doğrudan nedeni olduğu (nedensellik / sebep-sonuç) anlamına gelmez!

İki değişkenin birlikte artıp azalmasının arkasında her ikisini de aynı anda etkileyen üçüncü bir gizli (karıştırıcı) değişken bulunabilir: • Örnek 1: Bir sahil kasabasında dondurma satışları (x) ile güneş yanığı vakaları (y) arasında r = +0,82 gibi güçlü pozitif bir ilişki vardır. Ancak dondurma yemek güneş yanığına sebep olmaz; her ikisini de artıran gizli değişken yaz sıcaklığı ve güneşlenme süresidir. • Örnek 2: İlkokul öğrencilerinin ayakkabı numarası (x) ile okuma hızı (y) arasında pozitif korelasyon vardır; ancak bunun gerçek nedeni ayakkabı büyüklüğü değil, öğrencinin yaşı ve sınıf düzeyidir.

Örnekler

  1. Örnek 1Aşağıda verilen korelasyon katsayılarını ilişkinin gücü bakımından **en güçlüden en zayıfa** doğru sıralayınız ve yönlerini belirtiniz: r₁ = +0,62, r₂ = −0,91, r₃ = −0,15, r₄ = +0,84

    Cevabı göster

    İlişkinin gücünü |r| mutlak değeri belirler: • |r₂| = |−0,91| = 0,91 (Güçlü negatif) • |r₄| = |+0,84| = 0,84 (Güçlü pozitif) • |r₁| = |+0,62| = 0,62 (Orta pozitif) • |r₃| = |−0,15| = 0,15 (Zayıf negatif) En güçlüden en zayıfa sıralama: r₂ (−0,91) > r₄ (+0,84) > r₁ (+0,62) > r₃ (−0,15).

  2. Örnek 2Bir öğrencinin haftalık çözdüğü soru sayısı (x, yüz adet) ile deneme sınavı puanı (y) arasındaki en uygun doğru denklemi **y = 240 + 35x** olarak modellenmiştir. a) Eğim (35) ve sabit terim (240) bu bağlamda ne anlama gelir? b) Haftada 6 yüz (600) soru çözen bir öğrencinin tahmini puanı kaçtır?

    Cevabı göster

    a) Sabit terim (240): Hiç soru çözmeyen (x = 0) bir öğrencinin tahmini başlangıç puanının 240 olduğunu gösterir. Eğim (35): Haftalık çözülen her 1 yüz (100) ek soru için sınav puanının ortalama 35 puan arttığını gösterir. b) x = 6 için: y = 240 + 35 · 6 = 240 + 210 = 450 puan tahmin edilir.

  3. Örnek 3Beş farklı günde ölçülen rüzgâr hızı (x, km/sa) verilerinin aritmetik ortalaması x_ort = 12 ve aynı günlerdeki hava kirliliği indeksi (y) verilerinin aritmetik ortalaması y_ort = 46'dır. Bu iki değişken arasındaki en uygun doğrunun denklemi **y = a − 2,5x** olduğuna göre **a** sabiti kaçtır?

    Cevabı göster

    En uygun doğru mutlaka (x_ort, y_ort) = (12, 46) ortalama noktasından geçer. Noktayı denklemde yerine yazarsak: 46 = a − 2,5 · 12 ⇒ 46 = a − 30 ⇒ a = 76 bulunur.

  4. Örnek 4Bir otomobilin yaşının (x: 1 yıldan 10 yıla kadar olan araçlar incelenmiştir) ikinci el satış fiyatına (y, bin TL) etkisini gösteren model **y = 1200 − 80x** olarak bulunmuştur. Bu modelle 4 yaşındaki ve 20 yaşındaki iki aracın fiyatını tahmin ediniz ve hangi tahminin neden yanıltıcı olduğunu açıklayınız.

    Cevabı göster

    • 4 yaşındaki araç (x = 4): y = 1200 − 80(4) = 880 bin TL. (x = 4 değeri [1, 10] veri aralığının içinde olduğu için bu iç değer tahminidir ve güvenilirdir.) • 20 yaşındaki araç (x = 20): y = 1200 − 80(20) = 1200 − 1600 = −400 bin TL! Aracın fiyatı negatif olamaz; x = 20 değeri [1, 10] veri aralığının çok dışında olduğu için bu bir dış değer tahminidir (ekstrapolasyon) ve yanıltıcıdır.

  5. Örnek 5"Bir şehirdeki itfaiye aracı sayısı (x) ile yangınlarda oluşan maddi hasar miktarı (y) arasında güçlü pozitif korelasyon (r = +0,80) bulunmuştur. Öyleyse hasarı azaltmak için olay yerine daha az itfaiye aracı gönderilmelidir!" çıkarımındaki istatistiksel hatayı açıklayınız.

    Cevabı göster

    Bu çıkarımda korelasyon (birlikte değişim) ile nedensellik (sebep-sonuç) birbirine karıştırılmıştır! İtfaiye araçları hasara neden olmaz; her iki değişkeni de aynı anda artıran gizli (üçüncü) değişken yangının büyüklüğüdür. Büyük yangınlara daha çok itfaiye aracı gider ve büyük yangınlar daha çok hasar bırakır.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1İki nicel değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi ölçen Pearson korelasyon katsayısı (**r**) aşağıdaki değerlerden hangisini **kesinlikle alamaz**?

  2. 2Dört farklı veri grubuna ait korelasyon katsayıları K = +0,55, L = −0,89, M = +0,82 ve N = −0,20 olarak hesaplanmıştır. Buna göre doğrusal ilişkinin **en güçlü** olduğu veri grubu hangisidir?

  3. 3Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz.

    • İki nicel değişken arasında güçlü bir pozitif korelasyon (örneğin r = +0,90) bulunması, birinci değişkenin ikinci değişkenin doğrudan nedeni olduğunu kesin olarak kanıtlar.

  4. 4Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz.

    • Serpilme diyagramındaki verileri temsil eden en uygun doğru (regresyon doğrusu), her zaman verilerin aritmetik ortalamalarının oluşturduğu (x_ort, y_ort) noktasından geçer.

  5. 5Aşağıdaki istatistiksel kavramları açıklamalarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  6. 6Cümlelerdeki boşlukları uygun kelimelerle tamamlayınız.

    1. Deniz seviyesinden yükseklik (rakım) arttıkça hava sıcaklığının azalması, iki nicel değişken arasında yönlü doğrusal ilişki olduğuna örnektir.

  7. 7Cümlelerdeki boşlukları uygun kelimelerle tamamlayınız.

    1. Gözlenen veri aralığının dışındaki çok büyük veya çok küçük bir x değeri için en uygun doğru denklemiyle tahmin yapmaya değer tahmini (ekstrapolasyon) denir.

  8. 8Bir seradaki günlük sulama miktarı (x, litre: 2 ile 10 litre arası) ve domates fidelerinin haftalık boy uzaması (y, cm) incelenmiş; x_ort = 5 L, y_ort = 14 cm ve en uygun doğru eğimi b = 2 olarak bulunmuştur. Doğru denklemini kurunuz ve x = 7 L için yapılan tahmin ile x = 50 L için yapılan tahmini güvenilirlik açısından karşılaştırınız.

Kısaca

  • Aynı birey veya nesneden ölçülen iki sayısal (nicel) özelliğin oluşturduğu sıralı ikililere (x, y) iki nicel değişkenli veri denir; etkileyen değişkene bağımsız (açıklayıcı) değişken (x), etkilenen değişkene ise bağımlı (yanıt) değişken (y) adı verilir.
  • İki nicel değişkenli verilerin koordinat düzleminde (x, y) noktaları olarak gösterildiği grafiğe 'serpilme diyagramı (saçılım grafiği)' denir.
  • İki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü ölçen sayısal değere Pearson korelasyon katsayısı (r) denir ve her zaman −1 ≤ r ≤ +1 aralığında değer alır.
  • r > 0 ise değişkenler aynı yönde değişir (pozitif ilişki), r < 0 ise zıt yönde değişir (negatif ilişki), r ≈ 0 ise doğrusal ilişki yoktur; |r| mutlak değeri 1'e yaklaştıkça ilişki güçlenir.
  • Serpilme diyagramındaki noktaların genel eğilimini temsil eden y = a + b · x doğrusuna 'en uygun doğru (eğilim/regresyon doğrusu)' denir; bu doğru daima (x_ort, y_ort) ortalama noktasından geçer.
  • Gözlenen veri aralığı içinde yapılan tahmine 'iç değer tahmini (interpolasyon)', aralık dışında yapılan tahmine 'dış değer tahmini (ekstrapolasyon)' denir; ayrıca korelasyon (ilişki) doğrudan nedensellik anlamına gelmez.

Bu dersin öteki kaynakları