11. Sınıf Matematik 2. Hafta: İki Nicel Değişkenli Verilerin Analizi: Serpme Diyagramı ve Korelasyon Katsayısı

İki Nicel Değişkenli Verilerde Veri Analizi ve Serpme Diyagramı

İki nicel değişkenli istatistiksel araştırmalarda veri analizi, toplanıp düzenlenen ham verilerin incelenerek anlamlı sonuçlara dönüştürülmesi sürecidir. Tek nicel değişkenli verilerde kullanılan nokta grafiği, histogram veya kutu grafiği iki sayısal değişkenin birlikte nasıl değiştiğini göstermek için yeterli değildir. Bu amaçla kullanılan temel görselleştirme aracı serpme diyagramıdır (dağılım grafiği veya saçılım grafiği).

Serpme diyagramında her gözlem birimine ait iki nicel ölçüm, dik koordinat sisteminde sıralı ikili `(x, y)` olarak tek bir noktayla temsil edilir. Yatay eksene (`x`) birinci nicel değişken, dikey eksene (`y`) ikinci nicel değişken yerleştirilir. Grafikte oluşan nokta bulutunun sergilediği desen, iki değişken arasında bir ilişki bulunup bulunmadığını görsel olarak ortaya koyar.

Serpme Diyagramında İlişkinin Yönü: Pozitif, Negatif ve İlişkisiz Dağılım

Serpme diyagramındaki noktaların oluşturduğu eğilim incelendiğinde ilişkinin yönü hakkında üç temel durumla karşılaşılır: Birincisi pozitif yönlü ilişkidir; `x` ve `y` değerlerinin ikisi birlikte artıyor veya ikisi birlikte azalıyorsa noktalar sol alttan sağ üste doğru yükselen bir şerit oluşturur. Örneğin bir ülkenin yıllara göre ihracat ve ithalat miktarları veya çalışma süresi ile çözülen soru sayısı arasında pozitif yönlü ilişki görülür.

İkincisi negatif yönlü ilişkidir; değişkenlerden biri artarken diğeri azalıyorsa noktalar sol üstten sağ alta doğru alçalan bir eğilim gösterir. Örneğin istihdam oranı arttıkça işsizlik oranının azalması negatif yönlü bir ilişkidir. Üçüncüsü ise ilişki olmaması durumudur; noktalar hiçbir doğrusal eğilim veya desen oluşturmadan düzlemde rastgele ve dağınık biçimde yer alıyorsa iki nicel değişken arasında doğrusal bir ilişki yoktur denir.

Eğilim Çizgisi, İlişkinin Gücü ve Bölgelere Göre Sayım Oranı (BSO)

İki nicel değişken arasındaki ilişkinin gücü, serpme diyagramındaki noktaların varsayılan bir doğrusal eğilim çizgisine ne kadar yakın ve sıkı dizildiğiyle belirlenir. Noktalar bir doğru üzerinde veya doğruya çok yakın ve sıkı bir küme hâlinde dizilmişse ilişki güçlüdür. Noktalar eğilim çizgisinden kısmen uzaklaşmış ancak yönünü belli ediyorsa ilişki orta düzeydedir; çizgiden çok uzak ve geniş bir alana yayılmışsa ilişki zayıftır.

Serpme diyagramında ilişkinin yönünü ve gücünü değerlendirirken kullanılan pratik yöntemlerden biri de Bölgelere Göre Sayım Oranı (BSO) yaklaşımıdır. Veri noktalarının yatay ve dikey merkez (ortanca/ortalama) doğrularıyla koordinat düzlemi dört bölgeye ayrıldığında; noktaların büyük çoğunluğu I. ve III. bölgelerde toplanıyorsa pozitif ilişki, II. ve IV. bölgelerde toplanıyorsa negatif ilişki, dört bölgeye yaklaşık eşit dağılıyorsa ilişkisizlik söz konusudur.

Nokta Bulutunun Görünümü	İlişkinin Yönü	İlişkinin Gücü
Sol alttan sağ üste doğru bir doğruya çok sıkı dizilmiş noktalar	Pozitif (+)	Güçlü İlişki
Sol alttan sağ üste yükselen ancak kısmen aralıklı noktalar	Pozitif (+)	Orta İlişki
Sol üstten sağ alta doğru bir doğruya çok sıkı dizilmiş noktalar	Negatif (-)	Güçlü İlişki
Sol üstten sağ alta inen ancak oldukça geniş ve seyrek noktalar	Negatif (-)	Zayıf İlişki
Belirli bir yönelim göstermeden her yöne rastgele dağılmış noktalar	Yön Yok	İlişki Yok

Korelasyon Analizi ve Korelasyon Katsayısı (r)

Serpme diyagramı görsel bir fikir verse de ilişkinin yönünü ve gücünü kesin ve nesnel biçimde ifade etmek için korelasyon analizi yapılır ve korelasyon katsayısı (r) hesaplanır. İstatistik yazılımları veya elektronik tablolama programlarıyla hesaplanan korelasyon katsayısı bir orandır ve daima -1 ile +1 arasında (`-1 <= r <= 1`) değer alır.

Korelasyon katsayısının işareti (+ veya -) ilişkinin yönünü, mutlak değeri (`|r|`) ise ilişkinin gücünü gösterir. `r > 0` ise değişkenler arasında pozitif korelasyon, `r < 0` ise negatif korelasyon vardır. `|r|` değeri `1`'e yaklaştıkça doğrusal ilişki güçlenir; `0`'a yaklaştıkça zayıflar. Noktaların tamamı tam bir doğru üzerindeyse `r = +1` (pozitif mükemmel ilişki) veya `r = -1` (negatif mükemmel ilişki) olur; aralarında doğrusal ilişki olmayan değişkenlerde ise `r = 0`'dır.

Korelasyon Katsayısı (r) Aralıklarının Sınıflandırılması

İki nicel değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücü, korelasyon katsayısı `r`'nin bulunduğu aralığa göre standart ölçütlerle yorumlanır. Pozitif yönlü ilişkilerde `0 < r < 0,30` aralığı zayıf ilişki, `0,30 <= r < 0,70` aralığı orta ilişki, `0,70 <= r < 1` aralığı güçlü ilişki ve `r = 1` değeri pozitif mükemmel ilişki olarak adlandırılır.

Aynı sınıflandırma simetrik olarak negatif yönlü ilişkiler için de geçerlidir: `-0,30 < r < 0` aralığı negatif zayıf ilişki, `-0,70 <= r <= -0,30` aralığı negatif orta ilişki, `-1 < r <= -0,70` aralığı negatif güçlü ilişki ve `r = -1` değeri negatif mükemmel ilişki olarak yorumlanır. `r = 0` olduğunda ise iki değişken arasında doğrusal bir ilişki bulunmadığına karar verilir.

İlişkinin Gücü	Negatif Yönlü İlişki Aralığı	Pozitif Yönlü İlişki Aralığı
Mükemmel İlişki	r = -1	r = 1
Güçlü İlişki	-1 < r <= -0,70	0,70 <= r < 1
Orta İlişki	-0,70 < r <= -0,30	0,30 <= r < 0,70
Zayıf İlişki	-0,30 < r < 0	0 < r < 0,30
İlişki Yok	r = 0	r = 0

Korelasyon Nedensellik (Neden-Sonuç) Demek Değildir!

İstatistiksel araştırma sonuçlarını yorumlarken dikkat edilmesi gereken en önemli ilke şudur: Korelasyon analizi iki değişken arasında istatistiksel bir birliktelik olduğunu gösterir ancak birinin diğerinin doğrudan sebebi olduğunu (nedensellik) kanıtlamaz! İki değişken birbiriyle yüksek oranda ilişkili görünse bile bu durum her zaman doğrudan bir neden-sonuç ilişkisi taşımayabilir.

Ders kitabımızdaki örnekte olduğu gibi, bir ülkede güneşli gün sayısı arttığında mutluluk endeksi oranlarının da artması, güneşin insanları doğrudan mutlu ettiğini tek başına ispatlamaz. Bu birliktelik; ekonomik refah, dışarıda geçirilen sürenin artması veya düşük suç oranı gibi üçüncü bir gizli değişkenin (karıştırıcı faktörün) hem güneşli bölge tercihini hem de mutluluğu etkilemesinden kaynaklanabilir. Benzer şekilde ekonomik büyüme oranlarındaki değişimi yalnızca iç göç oranlarıyla açıklamak da hatalıdır; çünkü ekonomik büyümeyi etkileyen pek çok başka faktör vardır.

Örnekler

Örnek 1Bir serpme diyagramında yatay eksende öğrencilerin günlük televizyon izleme süresi (saat), dikey eksende ise okudukları sayfa sayısı gösterilmiştir. Noktalar sol üstten sağ alta doğru sıkı bir şerit hâlinde dizildiğine göre ilişkinin yönünü ve gücünü yorumlayınız.
Cevabı göster
Noktalar sol üstten sağ alta doğru alçaldığı için değişkenlerden biri artarken diğeri azalmaktadır; yani negatif yönlü bir ilişki vardır. Noktalar eğilim çizgisine yakın ve sıkı bir şerit oluşturduğu için bu ilişki negatif yönlü güçlü bir ilişkidir.
Örnek 2Üç farklı araştırmada hesaplanan korelasyon katsayıları sırasıyla r_1 = -0,82, r_2 = 0,65 ve r_3 = -0,24 olarak bulunmuştur. Bu üç ilişkiyi yön ve güç bakımından tanımlayarak en güçlüden en zayıfa doğru sıralayınız.
Cevabı göster
• `r_1 = -0,82`: `-1 < r <= -0,70` aralığında olduğundan negatif güçlü ilişki • `r_2 = 0,65`: `0,30 <= r < 0,70` aralığında olduğundan pozitif orta ilişki • `r_3 = -0,24`: `-0,30 < r < 0` aralığında olduğundan negatif zayıf ilişki İlişkinin gücü `|r|` mutlak değerine göre sıralandığından en güçlüden en zayıfa sıralama: `|r_1| (0,82) > |r_2| (0,65) > |r_3| (0,24)` şeklindedir.
Örnek 3Bir ülkenin 2015-2025 yılları arasındaki iç göç oranları (%) ile ekonomik büyüme oranları (%) serpme diyagramına aktarıldığında noktaların belirli bir doğru etrafında toplanmayıp dağınık durduğu ve r değerinin 0'a çok yakın olduğu görülmüştür. Bu durum nasıl yorumlanır?
Cevabı göster
Noktaların belirli bir eğilim oluşturmadan dağınık durması ve korelasyon katsayısının `0`'a çok yakın olması, incelenen dönemde o ülkenin iç göç oranları ile ekonomik büyüme oranları arasında doğrusal bir ilişki olmadığını (veya çok zayıf/önemsiz olduğunu) gösterir.
Örnek 4Rize'deki tarım arazilerinde topraktaki tuzluluk oranı (%) ile yetiştirilen ürün çeşidi miktarı arasındaki korelasyon katsayısı r = -0,78 olarak hesaplanmıştır. Bu sonucu bağlama uygun olarak yorumlayınız.
Cevabı göster
`r = -0,78` değeri `-1 < r <= -0,70` aralığında yer aldığı için iki değişken arasında negatif yönlü ve güçlü bir doğrusal ilişki vardır. Buna göre topraktaki tuzluluk oranı arttıkça arazide yetiştirilebilen ürün çeşidi miktarının güçlü bir eğilimle azaldığı söylenebilir.
Örnek 5Bir öğrenci yaptığı hesaplama sonucunda iki nicel değişken arasındaki korelasyon katsayısını r = -1,15 bulduğunu söylüyor. Öğrencinin bulduğu sonuç doğru olabilir mi? Neden?
Cevabı göster
Hayır, doğru olamaz. Çünkü korelasyon katsayısı `r` tanımı gereği yalnızca `-1` ile `+1` kapalı aralığında (`-1 <= r <= 1`) değer alabilir. `-1`'den küçük veya `+1`'den büyük bir değer işlem hatası yapıldığını gösterir.
Örnek 6Bir sahil kentinde yaz aylarında dondurma satış miktarı ile denizde boğulma vakaları sayısı arasında r = 0,84 gibi güçlü pozitif bir korelasyon bulunmuştur. "Dondurma yemek boğulmaya neden olur." çıkarımı neden yanlıştır?
Cevabı göster
Korelasyon nedensellik (neden-sonuç) anlamına gelmez. Burada hem dondurma satışlarını hem de denize giren insan sayısını (dolayısıyla boğulma vakalarını) aynı anda artıran hava sıcaklığı / yaz mevsimi adlı bir gizli değişken vardır. İki değişken arasındaki yüksek korelasyon bu gizli değişkenden kaynaklanmaktadır.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

1İki nicel değişkenli bir veri kümesinde değişkenler arasındaki ilişkiyi görsel olarak incelemek için kullanılan en uygun grafik türü aşağıdakilerden hangisidir?
2İki nicel değişken arasındaki korelasyon katsayısı r = -0,76 olarak hesaplanmıştır. Bu iki değişken arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilir?
3Aşağıdaki sayılardan hangisi iki nicel değişken arasındaki korelasyon katsayısı (r) OLAMAZ?
4Beş farklı veri grubuna ait korelasyon katsayıları aşağıda verilmiştir. Hangi veri grubundaki iki nicel değişken arasındaki doğrusal ilişki EN GÜÇLÜDÜR?
5Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.
- Serpme diyagramında değişkenlerden biri artarken diğeri de artıyorsa değişkenler arasında pozitif yönlü ilişki vardır.
- Korelasyon katsayısı r = 0,55 olan iki değişken arasındaki ilişki orta düzeyde ve pozitif yönlüdür.
- Korelasyon katsayısı r = -0,80 olan bir ilişki, r = +0,50 olan bir ilişkiden daha zayıftır.
- İki nicel değişken arasında güçlü bir korelasyon bulunması, birinci değişkenin ikinci değişkenin kesin nedeni olduğunu kanıtlar.
- Serpme diyagramındaki tüm noktalar sağa doğru alçalan tek bir doğru üzerinde bulunuyorsa korelasyon katsayısı r = -1'dir.
6Aşağıdaki korelasyon katsayısı değerlerini ve kavramları açıklamalarıyla eşleştiriniz.
Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.
7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.
1. İki nicel değişkene ait sıralı ikililerin koordinat düzleminde noktalarla gösterildiği grafiğe diyagramı denir.
2. Nicel değişkenlerden biri artarken diğerinin azaldığı ilişki türüne korelasyon adı verilir.
3. Korelasyon katsayısı r = 0,18 olan iki değişken arasında pozitif yönlü bir ilişki vardır.
4. Korelasyon katsayısı r = 0,70 ile 1 arasında olduğunda iki değişken arasındaki ilişki olarak nitelendirilir.
5. Korelasyon analizi iki değişken arasındaki istatistiksel birlikteliği ölçer ancak doğrudan bir ilişkisi olduğunu kanıtlamaz.
Önce bütün boşlukları doldurun.
8"Türkiye'de istihdam oranı (%) ile işsizlik oranı (%) arasında bir ilişki var mıdır?" araştırma sorusunu serpme diyagramı, korelasyon katsayısı ve nedensellik kavramları çerçevesinde nasıl analiz edip yorumlayacağınızı açıklayınız.

Kısaca

Serpme Diyagramı (Saçılım Grafiği): İki nicel değişkene ait eşleşmiş `(x, y)` veri çiftlerinin dik koordinat düzleminde noktalar hâlinde gösterilmesiyle oluşan grafiktir.
İlişkinin Yönü: Değişkenlerden biri artarken diğeri de artıyorsa (veya ikisi birlikte azalıyorsa) pozitif yönlü ilişki; biri artarken diğeri azalıyorsa negatif yönlü ilişki vardır. Noktalar rastgele dağılmışsa ilişki yoktur.
İlişkinin Gücü: Serpme diyagramındaki noktalar doğrusal bir eğilim çizgisine ne kadar yakın ve sıkı dizilmişse ilişki o kadar güçlüdür; çizgiden uzaklaşıp dağıldıkça ilişki orta veya zayıf düzeye iner.
Korelasyon Katsayısı (r): İki nicel değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü gösteren, -1 ile +1 arasında (`-1 <= r <= 1`) değer alan bir orandır.
Korelasyon Katsayısının Yorumu: `r = 1` pozitif mükemmel, `0,70 <= r < 1` pozitif güçlü, `0,30 <= r < 0,70` pozitif orta, `0 < r < 0,30` pozitif zayıf ilişkiyi; negatif karşılıkları ise negatif yönlü aynı güçteki ilişkileri gösterir (`r = 0` doğrusal ilişki yok).
Korelasyon ve Nedensellik: İki değişken arasında güçlü bir korelasyon bulunması, birinin diğerinin doğrudan sebebi olduğunu (neden-sonuç ilişkisi) kanıtlamaz; üçüncü bir gizli değişken her iki değişkeni aynı anda etkiliyor olabilir.

Bu dersin öteki kaynakları

11. Sınıf Matematik Yıllık Planı (2026-2027) Yıllık plan
Matematik Dersi Öğretim Programı (ortaöğretim) Öğretim programı
11. Sınıf Matematik Ortak Yazılı Senaryoları (1. dönem, 2026-2027) Yazılı senaryosu
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı Ders kitabı
Temel Matematik 11.Sınıf Ders Kitabı Ders kitabı
11. Sınıf Matematik Günlük Planları (2026-2027) Ders planı