Trigonometri: Farklı Argümanlı Denklemler, Katsayı-Kök İlişkisi, Aralıkta Kök Sayısı ve Uygulamalar

Şimdiye kadar çözdüğümüz lineer denklemlerde sinüs ve kosinüs aynı argümanı taşıyordu: a·sin x + b·cos x = c. Planımızdaki genel biçim ise a·sin f(x) + b·cos g(x) = c olup f(x) ile g(x) farklı olabilir; örneğin sin 3x = cos x ya da sin 2x + cos 5x = 0. Bu durumda yardımcı açı yöntemi doğrudan işlemez, çünkü iki fonksiyonu tek bir sin(x + α) ifadesinde birleştiremeyiz. Çıkış yolu tümler açı dönüşümüdür: Her θ için cos θ = sin(π2 − θ) ve sin θ = cos(π2 − θ) eşitlikleri geçerlidir. Böylece denklemin bir tarafındaki fonksiyonu diğer taraftakinin türüne çevirip temel denkleme ulaşırız.

sin f(x) = cos g(x) denkleminde cos g(x) yerine sin(π2 − g(x)) yazılırsa sin f(x) = sin(π2 − g(x)) temel sinüs denklemi elde edilir. Temel sinüs denkleminin iki kolu uygulanır: 1. kol: f(x) = π2 − g(x) + 2kπ, 2. kol: f(x) = π − (π2 − g(x)) + 2kπ = π2 + g(x) + 2kπ. Örneğin sin 3x = cos x için 1. koldan 4x = π2 + 2kπ, yani x = π8 + kπ2; 2. koldan 2x = π2 + 2kπ, yani x = π4 + kπ bulunur. Kontrol: x = π4 için sin(3π4) = 22 ve cos(π4) = 22 olup eşitlik sağlanır.

Bu yöntem a·sin f(x) + b·cos g(x) = 0 denkleminde a ve b mutlak değerce eşit olduğunda doğrudan uygulanır; katsayılarla çözüm arasındaki ilk ilişki budur. a = −b ise denklem sin f(x) = cos g(x) olur; a = b ise sin f(x) = −cos g(x) olur ve −cos g(x) = sin(g(x) − π2) yazılarak yine temel denkleme geçilir. Aynı fikir diğer fonksiyonlara da taşınır: tan f(x) = cot g(x) denkleminde cot g(x) = tan(π2 − g(x)) yazılır ve f(x) = π2 − g(x) + kπ bulunur; burada tanjant ve kotanjantı tanımsız yapan değerler mutlaka elenir. Ayrıca −sin g(x) = sin(−g(x)) ve −cos g(x) = cos(π − g(x)) dönüşümleri, işaret farkı olan denklemleri temel biçime getirir.

a·sin f(x) + b·cos g(x) = c denkleminde katsayılardan biri sıfır olduğunda denklem tek fonksiyonlu temel denkleme dönüşür. a = 0 ise b·cos g(x) = c, yani cos g(x) = cb olur ve kök olması için |c| ≤ |b| gerekir. b = 0 ise sin f(x) = ca olur ve kök şartı |c| ≤ |a| biçimindedir. Örneğin 2·cos 2x = 3 denkleminde cos 2x = 32 çıkar; kosinüs 1'den büyük değer alamayacağı için çözüm kümesi boştur. c = 0 ve f = g ise geçen haftaki homojen denklemi elde ederiz; bu denklemin a ve b sıfırdan farklıyken her zaman kökü vardır, çünkü tan x her gerçek değeri alır.

Argümanların aynı ve a, b'nin sıfırdan farklı olduğu durumda R = a² + b² sayısı karar vericidir; çünkü a·sin x + b·cos x ifadesi R·sin(x + α) biçiminde yazılabilir ve [−R, R] aralığındaki her değeri tam bir periyotta alır. Buna göre üç durum oluşur: c² < a² + b² ise y = c doğrusu sinüs eğrisini her periyotta iki noktada keser; c² = a² + b² ise doğru eğriye tepe ya da çukur noktasında teğettir ve her periyotta tek kök vardır; c² > a² + b² ise doğru eğriyi hiç kesmez ve çözüm kümesi boştur. Görüldüğü gibi c'nin büyüklüğü yalnızca kökün var olup olmadığını değil, kaç tane olduğunu da belirler.

Eşitlik durumunda yardımcı açıya gerek kalmadan kısa bir yol vardır. a·sin x + b·cos x ifadesi en büyük değeri R'ye, (sin x, cos x) ikilisi (a, b) katsayı ikilisiyle aynı yönü gösterdiğinde ulaşır; yani sin x = aR ve cos x = bR olur. Örneğin 3·sin x + 4·cos x = 5 denkleminde R = 9 + 16 = 5 = c olduğundan sin x = 35 ve cos x = 45 bulunur; kontrol: 3·35 + 4·45 = 9 + 165 = 5. Bu x açısı birinci bölgededir ve her 2π periyodunda yalnızca bir kez tekrar eder. c = −R olduğunda ise işaretler tersine döner: sin x = −aR, cos x = −bR.

Argümanlar farklıyken (f ≠ g) a·sin f(x) + b·cos g(x) ifadesini tek bir fonksiyona dönüştüremeyiz; ancak bu ifadenin hangi aralıkta değer alabileceğini biliriz. Sinüs ve kosinüs [−1, 1] aralığında değer aldığından −|a| ≤ a·sin f(x) ≤ |a| ve −|b| ≤ b·cos g(x) ≤ |b| olur. Bu iki eşitsizlik taraf tarafa toplanırsa |a·sin f(x) + b·cos g(x)| ≤ |a| + |b| sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla |c| > |a| + |b| ise denklemin hiçbir gerçek kökü yoktur. Bu sınır, aynı argümanlı durumdaki R = a² + b² sınırından büyüktür; çünkü farklı argümanlar iki terimin aynı anda uç değere ulaşmasını mümkün kılabilir.

Asıl güçlü durum |c| = |a| + |b| eşitliğidir. Toplam ancak her iki terim de kendi uç değerine ulaştığında bu sınıra varabilir. Örneğin a, b > 0 ve c = a + b ise sin f(x) = 1 ve cos g(x) = 1 eşitlikleri aynı x için sağlanmalıdır. Çözüm iki adımda yapılır: önce birinci eşitliğin genel çözümü bulunur, sonra bu x değerleri ikinci eşitlikte denenir. Ortak x varsa çözüm kümesi bu ortak değerlerdir; yoksa, katsayı şartı sağlansa bile, çözüm kümesi boştur. Yani |c| ≤ |a| + |b| şartı kök için gerekli ama yeterli değildir.

Üç örnekle karşılaştıralım. sin x + cos 2x = 2: sin x = 1 için x = π2 + 2kπ olur; fakat bu x'lerde 2x = π + 4kπ ve cos 2x = −1 çıkar; ortak nokta yok, ÇK = ∅. sin x + cos 4x = 2: x = π2 + 2kπ için 4x = 2π + 8kπ ve cos 4x = 1 olur; çözüm kümesi x = π2 + 2kπ değerleridir. 2·sin x − 3·cos 2x = 5: Burada |2| + |−3| = 5 = c olduğundan sin x = 1 ve −3·cos 2x = 3, yani cos 2x = −1 gerekir; x = π2 + 2kπ için cos 2x = cos π = −1 sağlanır. Sınırın altında kalan durumlarda (|c| < |a| + |b|) ise sınırlılık tek başına yetmez; örneğin sin x + cos 2x = 1 denkleminde cos 2x = 1 − 2·sin²x yazılarak sin x·(1 − 2·sin x) = 0 elde edilir ve sin x = 0 veya sin x = 12 çözülür.

Bir trigonometrik denklemin kökleri, iki grafiğin kesişim noktalarının apsisleridir. a·sin(kx) + b·cos(kx) = c denklemi için sol taraf yardımcı açıyla y = R·sin(kx + α) eğrisine dönüşür, sağ taraf ise yatay y = c doğrusudur. Argümandaki k katsayısı (k pozitif tam sayı) eğrinin periyodunu 2πk değerine indirir; böylece [0, 2π) aralığına k tam periyot sığar. Her periyotta |c| < R iken 2, |c| = R iken 1 kesişim olduğundan [0, 2π) aralığında sırasıyla 2k ve k kök bulunur. Bu sayım, köklerin tek tek hesaplanmasından önce sonucun kontrolü için mükemmel bir araçtır.

Örneğin sin 2x + cos 2x = 1 denkleminde R = 2 ve c = 1 < 2 olduğundan, k = 2 için [0, 2π) aralığında 4 kök beklenir. Yardımcı açıyla 2·sin(2x + π4) = 1, yani sin(2x + π4) = 22 olur. 1. kol: 2x + π4 = π4 + 2kπ → x = kπ; 2. kol: 2x + π4 = 3π4 + 2kπ → x = π4 + kπ. Aralıktaki kökler 0, π4, π ve 5π4 olup beklenen dört kök doğrulanır. Aralık [0, 2π] biçiminde kapalı verilseydi x = 2π de denklemi sağlayacağından kök sayısı 5 olurdu. Bu yüzden aralığın uç noktaları her zaman ayrıca denenmelidir.

Kök sayısı fikri parametreli denklemleri çözmeyi de kolaylaştırır. m·sin x + 3·cos x = 5 denkleminin kökü olması için m² + 9 ≥ 25, yani |m| ≥ 4 olmalıdır; |m| = 4 iken her periyotta tek kök, |m| > 4 iken iki kök vardır. Benzer biçimde 'denklemin [0, 2π) aralığında tam bir kökü olması için' sorusu doğrudan c² = a² + b² eşitliğine, 'iki farklı kökü olması için' sorusu ise c² < a² + b² kesin eşitsizliğine dönüşür. Argümanların farklı olduğu denklemlerde ise önce sınırlılık ya da tümler açı yöntemiyle kök listesi çıkarılır, ardından aralığa düşen değerler sayılır.

Bir şehirde yaz mevsiminde günlük hava sıcaklığı yaklaşık olarak T(t) = 18 − 6·cos(π(t − 4)12) fonksiyonuyla modellenmiş olsun; t, gece yarısından itibaren geçen saattir. Model periyodu 2ππ/12 = 24 saattir; en düşük sıcaklık 18 − 6 = 12 °C ile t = 4'te (sabah 04.00), en yüksek sıcaklık 18 + 6 = 24 °C ile t = 16'da (16.00) gerçekleşir. 'Sıcaklık ne zaman 21 °C olur?' sorusu T(t) = 21 denklemine dönüşür: −6·cos(π(t − 4)12) = 3, yani cos(π(t − 4)12) = −12. 0 ≤ t ≤ 24 için açı [−π3, 5π3] aralığındadır ve bu aralıkta kosinüsün −12 olduğu açılar 2π3 ile 4π3'tür. Buradan t − 4 = 8 ve t − 4 = 16, yani t = 12 ve t = 20 bulunur; sıcaklık 12.00 ile 20.00 arasında, toplam 8 saat boyunca 21 °C'nin üzerindedir.

Gün ışığı süresi de yıl boyunca periyodik değişir. İlkbahar ekinoksundan itibaren geçen ay sayısı t olmak üzere bir şehirde gün uzunluğu (saat) L(t) = 12 + 3·sin(πt6) ile modellensin. Ekinoksta (t = 0) gün 12 saattir, yaklaşık 3 ay sonra en uzun gün olan 15 saate ulaşılır. Gün uzunluğunun 13,5 saati aştığı dönemi bulmak için L(t) = 13,5 denklemi kurulur: sin(πt6) = 12. [0, 12] aralığında πt6 = π6 ve πt6 = 5π6 kollarından t = 1 ve t = 5 elde edilir. Bu iki an arasında sinüs 12'den büyük kaldığı için günler yaklaşık 4 ay boyunca 13,5 saatten uzundur. Gerçek ölçümler enleme göre değişse de model mevsim döngüsünü iyi yansıtır.

Fizikte aynı frekanslı iki dalga üst üste bindiğinde ortaya çıkan hareket a·sin(ωt) + b·cos(ωt) biçimindedir; işte yardımcı açı yöntemi burada gerçek bir anlam kazanır. Örneğin y(t) = sin(πt) + 3·cos(πt) toplam dalgası, 3 = tan(π3) yazılarak y(t) = 2·sin(πt + π3) biçimine getirilir: Bileşke dalganın genliği R = 1 + 3 = 2, periyodu 2ππ = 2 saniyedir. Dalganın ilk kez y = 1 değerine ulaştığı anı bulmak için sin(πt + π3) = 12 çözülür: πt + π3 = π6 + 2kπ kolundan t = −16 + 2k, πt + π3 = 5π6 + 2kπ kolundan t = 12 + 2k gelir. Pozitif en küçük değer t = 12 saniye olur. Katsayılar burada doğrudan fiziksel büyüklüğe dönüşür: bileşke genlik a² + b² kadardır ve hareket hiçbir zaman bu değeri aşamaz.

Harranlı astronom ve matematikçi El-Battani (yaklaşık 858-929), Rakka'daki gözlemlerinde Güneş'in gökyüzündeki yüksekliğini belirlemek için yere dik dikilmiş bir çubuğun (gnomon) gölgesinden yararlanmıştır. Yatay zemine düşen gölgenin çubuk boyuna oranı düz gölge olarak anılır ve bugünkü kotanjant fonksiyonuna karşılık gelir; duvara yatay çakılmış bir çubuğun duvara düşen gölgesi ise ters gölge olup bugünkü tanjanta karşılık gelir. El-Battani bu oranları açılara göre derece derece tablolaştırarak gölge ölçümünden açıya, açıdan gölgeye geçişi hesaplanabilir hale getirmiştir. Böylece gölge problemleri, bizim bugün çözdüğümüz tan θ = m ve cot θ = m türü temel trigonometrik denklemlere dönüşmüştür.

Modern gösterimle boyu h olan bir çubuğun gölge uzunluğu s ise ve Güneş ışınları yerle θ açısı yapıyorsa s = h·cot θ, yani cot θ = sh olur. Bu eşitliği sinüs-kosinüs cinsinden yazarsak cos θsin θ = sh, oradan h·cos θ − s·sin θ = 0 elde ederiz: Bu, a = −s ve b = h katsayılı homojen bir lineer trigonometrik denklemdir. Örneğin 3 metrelik bir direğin gölgesi 3 metre ise cot θ = 33 = 3 olur ve 0° < θ < 90° aralığında θ = 30° bulunur. Gölge boyu direk boyuna eşitse cot θ = 1 ve θ = 45°'dir. Gölgenin iki katına çıktığı anı aramak da 2·sin θ = cos θ gibi bir homojen denklem çözmek demektir; tan θ = 12 değerini veren açıyı bulmak için ise tam da El-Battani'nin hazırladığı türden bir tablo gerekir.

El-Battani'nin başlıca eseri Ez-Zîcü's-Sâbî, 12. yüzyılda Latinceye çevrilmiş (De motu stellarum) ve Avrupa'da yüzyıllar boyunca başvurulan bir astronomi kaynağı olmuştur. Eserin Güneş yılı için verdiği 365 gün 5 saat 46 dakika 24 saniye değeri, dönemi için dikkat çekici bir hassasiyete sahiptir. Onun asıl kalıcı katkısı ise geometrik kiriş hesaplarını yarım kirişe, yani sinüse dayalı oran hesaplarına dönüştürmesi ve gölge oranlarını bu sisteme bağlamasıdır. Bu hafta çözdüğümüz her tan θ = hs denklemi, Harran ovasında bir çubuğun gölgesini ölçen bir bilginin yöntemini sürdürür.