İçeriğe geç

12. sınıf · Matematik · 3. hafta (28 Eylül - 2 Ekim 2026)

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri, Taban Değiştirme Kuralı ve Uygulamaları

SAYILAR VE CEBİR teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Geçen hafta üstel fonksiyonun tersi olarak logaritma fonksiyonunu, en geniş tanım kümesini, grafiğini, 10 tabanında (adi) logaritma ile e tabanında (doğal) logaritmayı öğrenmiştik. Bu hafta ise 17. yüzyılda John Napier ve Henry Briggs'in astronomi ve denizcilikteki çok basamaklı çarpma-bölme işlemlerini toplama-çıkarmaya indirgeyerek bilim dünyasında devrim yaratan logaritma fonksiyonunun özelliklerini, taban değiştirme kuralını, zincirleme çarpımları ve çok büyük üslü sayıların basamak sayısını bulma yöntemlerini inceleyeceğiz.

1. Temel Logaritma Özdeşlikleri ve Çarpım / Bölüm Kuralları

a ∈ ℝ⁺ − (1) ve x, y ∈ ℝ⁺ olmak üzere üstel fonksiyonun özelliklerinden doğrudan elde edilen temel logaritma kuralları şunlardır: • 1. Özdeşlik: a0 = 1 olduğundan her tabanda 1 sayısının logaritması sıfırdır: logₐ 1 = 0 (Özel olarak: log 1 = 0 ve ln 1 = 0). • 2. Özdeşlik: a1 = a olduğundan her tabanın kendisine göre logaritması 1'dir: logₐ a = 1 (Özel olarak: log 10 = 1 ve ln e = 1).

• 3. Çarpımın Logaritması Kuralı: İki pozitif gerçek sayının çarpımının logaritması, bu sayıların ayrı ayrı logaritmalarının toplamına eşittir: logₐ(x · y) = logₐ x + logₐ y Örnek: log₆ 12 + log₆ 3 = log₆(12 · 3) = log₆ 36 = log₆(62) = 2. • 4. Bölümün Logaritması Kuralı: İki pozitif gerçek sayının bölümünün logaritması, payın logaritması ile paydanın logaritmasının farkına eşittir: logₐ(xy) = logₐ x - logₐ y Örnek: log₅ 100 - log₅ 4 = log₅(1004) = log₅ 25 = 2.

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TEMEL ÖZELLİKLERİ (a > 0, a ≠ 1)TEMEL VE ÇARPIM / BÖLÜM KURALLARI1) log_a(1) = 0 ve log_a(a) = 1 ln(1) = 0, ln(e) = 1 | log(1) = 0, log(10) = 12) Çarpımın Logaritması (Toplama dönüşür): log_a(x · y) = log_a(x) + log_a(y)3) Bölümün Logaritması (Farka dönüşür): log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)KUVVET VE ÜS ÖZELLİKLERİ4) Üssün Başa Çarpan İnişi: log_a(x^n) = n · log_a(x)5) Hem Tabanın Hem İçerinin Üssü: log_(a^m)(x^n) = (n / m) · log_a(x)6) Üstteki Logaritmada Yer Değiştirme: a^(log_b(c)) = c^(log_b(a)) ve a^(log_a(x)) = x

2. Kuvvet (Üs) Kuralları ve Köklü İfadelerin Logaritması

Logaritması alınan ifadenin veya tabanın kuvveti varsa, bu üsler logaritmanın önüne katsayı olarak indirilir: • 1. İçerideki Sayının Üssü: logₐ(xn) = n · logₐ x Örnek: ln(e5) = 5 · ln e = 5 · 1 = 5. • 2. Hem Tabanın Hem İçerideki Sayının Üssü: İçerideki sayının üssü (n) paya, tabanın üssü (m) ise paydaya gelir: log_am(xn) = nm · logₐ x Örnek: log₈ 16 = log_23(24) = 43 · log₂ 2 = 43.

Köklü İfadelerde Uygulama: Köklü ifadeler rasyonel üslü sayıya (xn/m = xn/m) çevrilerek logaritması kolayca hesaplanır. Örnek: log_(9 · ) ifadesinde taban = 31/2, iç kısım ise 32 · 31/3 = 37/3 olduğundan: log_31/2(37/3) = 7/31/2 · log₃ 3 = 73 · 21 = 143 bulunur.

TABAN DEĞİŞTİRME KURALI VE ÖNEMLİ SONUÇLARITABAN DEĞİŞTİRME FORMÜLÜ• a tabanındaki log_a(b) ifadesini c tabanına çevirme: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)• 10 tabanında: log_a(b) = log(b) / log(a)• Doğal tabanda (e): log_a(b) = ln(b) / ln(a)• Ters Çevirme Sonucu: log_a(b) = 1 / log_b(a)ZİNCİRLEME ÇARPIM VE GENİŞLETME1) Çarpımsal Terslik: log_a(b) · log_b(a) = 12) Zincirleme Sadeleşme Kuralı: log_a(b) · log_b(c) · log_c(d) = log_a(d)3) Aynı Kuvvetle Genişletme / Sadeleştirme: log_a(b) = log_(a^k)(b^k)

3. Taban Değiştirme Kuralı ve Zincirleme Çarpım Özdeşlikleri

Farklı tabanlarda verilen logaritmik ifadelerle işlem yapabilmek için tüm ifadeleri ortak bir tabanda buluşturan Taban Değiştirme Kuralı kullanılır. a, c ∈ ℝ⁺ − (1) ve b ∈ ℝ⁺ olmak üzere a tabanındaki logₐ b ifadesi, c tabanında şöyle yazılır: logₐ b = log_c blog_c a = log blog a = ln bln a

Taban değiştirme kuralından türeyen ve soru çözümlerini saniyelere indiren dört önemli sonuç şunlardır: • Sonuç 1 (Taban ile İçi Yer Değiştirme): c = b seçilirse: logₐ b = 1log_b a veya logₐ b · log_b a = 1 (Örn: log₂ 5 · log₅ 2 = 1). • Sonuç 2 (Zincirleme Çarpım / Sadeleşme): Çarpım durumundaki logaritmalarda çapraz taban ve içler birbirini götürür: logₐ b · log_b c · log_c d = logₐ d Örnek: log₂ 5 · log₅ 7 · log₇ 8 = log₂ 8 = log₂(23) = 3. • Sonuç 3 (Aynı Kuvveti Alma): Tabanın ve içerideki sayının aynı kuvveti (veya kökü) alınırsa logaritmanın değeri değişmez: logₐ b = log_an(bn) (Örn: log_() = log₂ 5). • Sonuç 4 (Paydadaki Logaritmayı Paya Çıkarma): 1logₐ x + 1log_b x = log_x a + log_x b = log_x(a · b).

DİKKAT: LOGARİTMADA EN SIK YAPILAN KAVRAM YANILGILARI!YANLIŞ KULLANIMLAR (ASLA YAPMAYIN!)• YANLIŞ: log_a(x + y) ≠ log_a(x) + log_a(y)• YANLIŞ: log_a(x - y) ≠ log_a(x) - log_a(y) (Toplamın veya farkın logaritması parçalanamaz!)• YANLIŞ: (log_a(x)) / (log_a(y)) ≠ log_a(x - y)• YANLIŞ: (log_a(x))^n ≠ n · log_a(x)DOĞRU KARŞILIKLARI• DOĞRU: log_a(x · y) = log_a(x) + log_a(y)• DOĞRU: log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)• DOĞRU: (log_a(x)) / (log_a(y)) = log_y(x) (Bölüm şeklindeki iki logaritma taban değiştirmedir!)• DOĞRU: log_a(x^n) = n · log_a(x)

4. Üslü İfadenin Kuvvetinde Logaritma Bulunması Kuralları

Bir üslü ifadenin üssünde logaritma yer alıyorsa şu iki altın kural uygulanır: • Kural 1 (Bileşke Özdeşliği): Üslü ifadenin tabanı ile üssündeki logaritmanın tabanı aynı ise birbirini götürür ve geriye yalnız logaritmanın içindeki sayı kalır: alogₐ x = x ve eln x = x ve 10log x = x Örnek: 5log₅ 12 = 12 | eln 7 = 7 | 102 + log 3 = 102 · 10log 3 = 100 · 3 = 300.

• Kural 2 (Taban ve İç Değiştirme Kuralı): Üslü ifadenin tabanı (a) ile üssündeki logaritmanın içi (c) yer değiştirdiğinde ifadenin değeri değişmez: alog_b c = clog_b a Örnek: 27log₃ 5 = 5log₃ 27 = 53 = 125!

10 TABANINDA LOGARİTMA İLE BASAMAK SAYISI BULMATAM KISIM (KARAKTERİSTİK) VE BASAMAK SAYISI• A > 1 bir doğal sayı olmak üzere: log(A) = n,xyz... ise A sayısı (n + 1) BASAMAKLIDIR!• Formül: Basamak Sayısı = Tam Değer[log(A)] + 1• Örnek: log(2) ≈ 0,301 ise 2^100 sayısının basamak sayısı: log(2^100) = 100 · 0,301 = 30,1 -> 30 + 1 = 31 basamaklı!LOGARİTMALI İFADELERDE ARALIK BULMA• x = log_a(b) sayısının hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmak için b sayısı a'nın ardışık iki tam sayı kuvveti arasına sıkıştırılır:• Örnek: x = log_3(50) için 3^3 = 27 < 50 < 81 = 3^4 olduğundan 3 < log_3(50) < 4 bulunur.

5. Verilen Bir Logaritma Değerinden Başka Bir Logaritmayı Cinsinden Yazma

Sınavlarda çok sık sorulan 'log₂ 3 = a ve log₃ 5 = b olduğuna göre log₁₂ 30 ifadesinin a ve b türünden eşiti nedir?' tarzı sorularda şu 3 adımlı standart yöntem izlenir: 1. Ortak Sayıyı Yeni Taban Seç: Verilen bilgilerde en çok tekrar eden asal sayıyı (bu örnekte her ikisinde de ortak olan 3 sayısını) ortak taban seç! 2. İstenen İfadeyi Seçtiğin Tabana Çevir: log₁₂ 30 = log₃ 30log₃ 12. 3. Sayıları Asal Çarpanlarına Ayırıp Parçala: • Pay: log₃ 30 = log₃(2 · 3 · 5) = log₃ 2 + log₃ 3 + log₃ 5 = 1a + 1 + b • Payda: log₃ 12 = log₃(22 · 3) = 2 · log₃ 2 + log₃ 3 = 2a + 1 Pay ve payda a ile genişletildiğinde sonuç 1 + a + a·b2 + a olarak kolayca bulunur!

6. 10 Tabanında Logaritma İle Çok Büyük Sayıların Basamak Sayısını Bulma

10 tabanındaki logaritma (log x), bir sayının 10'un kaçıncı kuvvetleri arasında yer aldığını, dolayısıyla kaç basamaklı bir sayı olduğunu doğrudan söyler: • 10¹ = 10 (2 basamaklı) → log 10 = 1 • 10² = 100 (3 basamaklı) → log 100 = 2 • 10³ = 1000 (4 basamaklı) → log 1000 = 3 Buradan görüldüğü üzere 1'den büyük herhangi bir A doğal sayısı için log A = n,xyz... (tam kısmı n) ise, A sayısı (n + 1) basamaklıdır!

Örnek Uygulama: log 2 ≈ 0,30103 olduğuna göre A = 250 sayısı kaç basamaklıdır? • log A = log(250) = 50 · log 2 = 50 · 0,30103 = 15,0515 • Bulunan değerin tam kısmı 15 olduğu için 250 sayısı 15 + 1 = 16 basamaklıdır!

Örnekler

  1. Örnek 1log₃ 54 + log₃ 2 - log₃ 4 işleminin sonucu kaçtır?

    Cevabı göster

    Tabanlar aynı (3 tabanı) olduğu için toplamada içler çarpılır, çıkarmada bölünür: log₃ 54 + log₃ 2 - log₃ 4 = log₃(54 · 24) = log₃(1084) = log₃ 27 27 = 33 olduğundan: log₃(33) = 3 · log₃ 3 = 3 · 1 = 3 bulunur.

  2. Örnek 2log₄ 9 · log₂₇ 32 · log₂ 3 işleminin sonucunu bulunuz.

    Cevabı göster

    Önce sayıları asal tabanların kuvvetleri biçiminde yazıp üsleri başa katsayı olarak çıkaralım: • log₄ 9 = log_22(32) = 22 · log₂ 3 = log₂ 3 • log₂₇ 32 = log_33(25) = 53 · log₃ 2 Şimdi çarpımı yazalım: (log₂ 3) · (53 · log₃ 2) · (log₂ 3) log₂ 3 · log₃ 2 = 1 olduğundan soru 53 · log₂ 3 (veya son çarpan log₃ 8 = 3·log₃ 2 ise tam sayı) şeklinde sadeleşir.

  3. Örnek 31log₂ 60 + 1log₃ 60 + 1log₁₀ 60 işleminin sonucu kaçtır?

    Cevabı göster

    Taban değiştirme kuralının tersinden 1logₐ b = log_b a özelliğini kullanalım: • 1log₂ 60 = log₆₀ 2 • 1log₃ 60 = log₆₀ 3 • 1log₁₀ 60 = log₆₀ 10 Üç ifadeyi topladığımızda tabanlar eşit (60 tabanı) olduğundan içler çarpılır: log₆₀ 2 + log₆₀ 3 + log₆₀ 10 = log₆₀(2 · 3 · 10) = log₆₀ 60 = 1 bulunur.

  4. Örnek 4log 2 = x olduğuna göre log 250 ifadesinin x türünden eşitini bulunuz.

    Cevabı göster

    10 tabanında 250 sayısını 10 ve 2 cinsinden yazalım (250 = 10004 = 10322): log 250 = log(10322) = log(103) - log(22) = 3 · log 10 - 2 · log 2 log 10 = 1 ve log 2 = x olduğundan sonuç 3 - 2x bulunur. (İkinci yol: log 250 = log(25 · 10) = 2·log 5 + 1 = 2(1 - x) + 1 = 3 - 2x).

  5. Örnek 5log 3 ≈ 0,4771 olduğuna göre 9²⁰ sayısı kaç basamaklı bir doğal sayıdır?

    Cevabı göster

    Sayımıza A = 920 = (32)20 = 340 diyelim ve 10 tabanında logaritmasını alalım: log A = log(340) = 40 · log 3 = 40 · 0,4771 = 19,084 Bulunan 19,084 sayısının tam kısmı 19 olduğu için basamak sayısı 19 + 1 = 20 basamaklıdır.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1log₂ 24 - log₂ 3 + log₃ 9 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

  2. 24log₂ 5 + eln 6 işleminin sonucu kaçtır?

  3. 3Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz.

    • Pozitif gerçek sayılarda log_a(x + y) = log_a(x) + log_a(y) eşitliği her zaman doğrudur.

  4. 4Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz.

    • 10 tabanında log 2 + log 5 işleminin sonucu 1'e eşittir.

  5. 5Aşağıdaki logaritmik ifadeleri eşit oldukları değerlerle eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  6. 6Cümlelerdeki boşlukları uygun kelimelerle tamamlayınız.

    1. Tanımlı olduğu her tabanda 1 sayısının logaritması (log_a 1) daima sayısına eşittir.
    2. Taban değiştirme kuralına göre log_a(b) ile log_b(a) ifadelerinin çarpımı daima sayısına eşittir.

  7. 7Cümlelerdeki boşlukları uygun kelimelerle tamamlayınız.

    1. 1'den büyük bir A doğal sayısının 10 tabanındaki logaritması log A = 24,63 ise A sayısı basamaklıdır.
    2. Doğal logaritma tabanı olan e sayısının eleni (ln e) sayısına eşittir.

  8. 8Karmaşık bir logaritma işlemini çözerken izlenecek 3 adımı değerlendiriniz.

Kısaca

  • Tanımlı olduğu aralıkta (a ∈ ℝ⁺ − (1)) her tabanda 1'in logaritması sıfır (logₐ 1 = 0), tabanın kendisine göre logaritması ise 1'dir (logₐ a = 1; özel olarak log 10 = 1 ve ln e = 1).
  • Çarpımın logaritması, çarpanların logaritmaları toplamına eşittir (logₐ(x · y) = logₐ x + logₐ y); bölümün logaritması ise payın logaritmasından paydanın logaritmasının çıkarılmasına eşittir (logₐ(xy) = logₐ x - logₐ y).
  • Logaritması alınan pozitif sayının üssü başa çarpan olarak, tabanın üssü ise başa bölen (paydaya) olarak iner: logₐ(xn) = n · logₐ x ve log_am(xn) = nm · logₐ x.
  • Taban değiştirme kuralına göre a tabanındaki bir logaritma herhangi bir c tabanında logₐ b = log_c blog_c a = log blog a = ln bln a şeklinde yazılır; buradan logₐ b = 1log_b a ve logₐ b · log_b c · log_c d = logₐ d sonuçları elde edilir.
  • Üstünde logaritma bulunan üslü ifadelerde taban ile logaritmanın içi yer değiştirebilir: alog_b c = clog_b a ve özel olarak alogₐ x = x eşitliği sağlanır.
  • 1'den büyük bir A doğal sayısının kaç basamaklı olduğunu bulmak için 10 tabanında logaritması alınır; log A'nın tam kısmına (karakteristiğine) 1 eklenerek sayının basamak sayısı bulunur.

Bu dersin öteki kaynakları