12. Sınıf Matematik 2. Hafta: Logaritma Fonksiyonu, En Geniş Tanım Kümesi, Grafiği, 10 Tabanında ve Doğal Logaritma

Üstel Fonksiyonun Tersi Olarak Logaritma Fonksiyonu

Richter ölçeğine göre deprem enerjisinin (E = 10^{11,8 + 1,5M}) veya bir çözeltinin hidrojen iyonu derişiminden pH değerinin (pH = −log[H⁺]) hesaplanmasında olduğu gibi, a^y = x üstel denkleminde bilinmeyen üs y'yi yalnız bırakabilmek için üstel fonksiyonun tersine ihtiyaç duyulur. Bir f: A → B fonksiyonunun tersinin (f⁻¹: B → A) fonksiyon olabilmesi için f'nin bire bir ve örten olması gerekir.

a ∈ ℝ⁺ − {1} olmak üzere f: ℝ → ℝ⁺, f(x) = a^x üstel fonksiyonu bire bir ve örten olduğundan tersi de bir fonksiyondur. Üstel fonksiyonun tersi olan bu fonksiyona tabanı a olan logaritma fonksiyonu denir ve f⁻¹: ℝ⁺ → ℝ, f⁻¹(x) = logₐ x biçiminde gösterilir ('logaritma a tabanında x' diye okunur). Logaritmanın tanımı gereğince a > 0, a ≠ 1 ve x > 0 için şu temel denklik geçerlidir: y = logₐ x ⇔ x = a^y.

Üstel Biçim (x = a^y)	Logaritmik Biçim (y = logₐ x)	Taban (a)	Üs / Sonuç (y)
10⁴ = 10 000	log₁₀ 10 000 = 4	10	4
2⁵ = 32	log₂ 32 = 5	2	5
5⁻² = 125 = 0,04	log₅(0,04) = −2	5	−2
(23)⁻⁴ = 8116	log₂/₃(8116) = −4	23	−4
a¹ = a ve a⁰ = 1	logₐ a = 1 ve logₐ 1 = 0	a	1 ve 0

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Tersini Bulma

Bire bir ve örten bir y = f(x) fonksiyonunun tersi olan f⁻¹(x) kuralını bulmak için iki adım izlenir: 1. Adım: y = f(x) eşitliğinde üstel veya logaritmik dönüşüm kullanılarak x değişkeni y cinsinden yalnız bırakılır (x = f⁻¹(y)). 2. Adım: Eşitlikte x yerine f⁻¹(x), y yerine x yazılarak kural elde edilir.

Örneğin f: ℝ → (−1, ∞), f(x) = 2 · 5^x−3 − 1 üstel fonksiyonunun tersini bulalım: y = 2 · 5^x−3 − 1 eşitliğinde önce −1'i karşıya atıp 2'ye böleriz: 5^x−3 = y+12. Ardından logaritma tanımını uygularız: x − 3 = log₅(y+12) ⇒ x = log₅(y+12) + 3. Son adımda x ile y'yi yer değiştirdiğimizde f⁻¹(x) = log₅(x+12) + 3 bulunur. Benzer şekilde g: (3, ∞) → ℝ, g(x) = log₄(x − 3) + 1 logaritmik fonksiyonu için y − 1 = log₄(x − 3) ⇒ x − 3 = 4^y−1 ⇒ g⁻¹(x) = 4^x−1 + 3 elde edilir.

Logaritma Fonksiyonunun En Geniş Tanım Kümesi

f: ℝ⁺ → ℝ, f(x) = logₐ x fonksiyonunda logaritmanın tanım kümesi pozitif gerçek sayılar (ℝ⁺) olduğundan sıfırın ve negatif sayıların logaritması gerçek sayılarda tanımsızdır. Genel olarak f(x) = log_g(x) h(x) biçiminde verilen bir fonksiyonun gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için şu üç koşul aynı anda sağlanmalıdır: I. h(x) > 0 (logaritması alınan iç ifade pozitif olmalı), II. g(x) > 0 (taban pozitif olmalı) ve III. g(x) ≠ 1 (taban 1'den farklı olmalı).

Örneğin f(x) = log_(x−1)(9 − x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi için: 9 − x > 0 ⇒ x < 9, taban için x − 1 > 0 ⇒ x > 1 ve x − 1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2 olmalıdır. Bu üç koşulun kesişimi alındığında en geniş tanım kümesi (1, 9) − {2} bulunur. Eğer f(x) = logₐ(x² + bx + c) biçimindeki bir fonksiyonun her x ∈ ℝ gerçek sayısı için tanımlı olduğu söylenirse, ikinci dereceden x² + bx + c > 0 eşitsizliğinin daima pozitif olması, yani diskriminantının negatif (Δ = b² − 4ac < 0) olması gerekir.

Logaritma Fonksiyonunun Grafiği ve Artanlık-Azalanlık Durumu

Bir fonksiyonun grafiği ile ters fonksiyonunun grafiği analitik düzlemde y = x (birinci açıortay) doğrusuna göre simetriktir. Dolayısıyla f(x) = a^x üstel fonksiyonunun grafiği üzerindeki (0, 1) ve (1, a) noktalarının y = x doğrusuna göre simetriği alındığında, ters fonksiyon olan f⁻¹(x) = logₐ x logaritma fonksiyonunun grafiğinin daima (1, 0) ve (a, 1) noktalarından geçtiği görülür. Tanım kümesi ℝ⁺ olduğu için y = logₐ x grafiği y ekseninin soluna geçmez ve y eksenini (x = 0) kesmez.

Üstel fonksiyonda olduğu gibi logaritma fonksiyonunun artan veya azalan olmasını da taban (a) belirler: 1. Taban 1'den büyükse (a > 1): f(x) = logₐ x fonksiyonu artan bir fonksiyondur (x değerleri büyüdükçe logₐ x değerleri de büyür; örneğin y = log₂ x). 2. Taban 0 ile 1 arasındaysa (0 < a < 1): f(x) = logₐ x fonksiyonu azalan bir fonksiyondur (x değerleri büyüdükçe logₐ x değerleri küçülür; örneğin y = log₁/₂ x).

Özellik	Artan Logaritma (a > 1)	Azalan Logaritma (0 < a < 1)
Tanım ve Görüntü Kümesi	f: ℝ⁺ → ℝ (Bire bir ve örten)	f: ℝ⁺ → ℝ (Bire bir ve örten)
Eksenleri Kestiği Nokta	x eksenini (1, 0) noktasında keser; y eksenini kesmez.	x eksenini (1, 0) noktasında keser; y eksenini kesmez.
Karakteristik Noktaları	(1a, −1), (1, 0) ve (a, 1) noktalarından geçer.	(1a, −1), (1, 0) ve (a, 1) noktalarından geçer.
Değişim Yönü	x₁ < x₂ ⇒ logₐ x₁ < logₐ x₂ (Artan)	x₁ < x₂ ⇒ logₐ x₁ > logₐ x₂ (Azalan)
Üstel Tersi İle Simetri	y = a^x artan grafiği ile y = x'e göre simetriktir.	y = a^x azalan grafiği ile y = x'e göre simetriktir.

10 Tabanında Logaritma (Adi Logaritma) ve Logaritmanın Tarihçesi

Onluk sayı sistemini kullandığımız için günlük hayatta, fizikte, kimyada ve mühendislikte en çok tabanı 10 olan logaritma fonksiyonu kullanılır. Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna 10 tabanında logaritma (adi logaritma veya bayağı logaritma) denir ve tabanındaki 10 sayısı yazılmadan f: ℝ⁺ → ℝ, f(x) = log₁₀ x = log x biçiminde gösterilir. Buradan log x = y ⇔ x = 10^y olur. Örneğin log 10 = 1, log 1000 = log(10³) = 3, log(0,0001) = log(10⁻⁴) = −4 ve log() = log(10^2/3) = 23 olarak hesaplanır.

'Sayıları hesaplama / oranların sayısı' anlamına gelen logaritma kavramı, astronomi ve denizcilikteki büyük sayıların çarpma ve bölme işlemlerini toplama ve çıkarmaya dönüştürerek kolaylaştırmak amacıyla İskoç matematikçi John Napier (1550-1617) tarafından icat edilmiştir ('Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio'). Osmanlı Devleti'nde ise 'Ayaklı Kütüphane' Müftüzade Mehmed Efendi'nin öğrencisi olan müderris Gelenbevî İsmail Efendi (1726-1790), logaritma üzerine müstakil eser yazmış ve Kâğıthane'de Padişah III. Selim huzurunda humbaracıların başarısız top atışlarındaki açı hatalarını riyazi hesaplarla düzelterek tam isabet sağlamıştır.

Euler Sayısı (e) ve Doğal Logaritma Fonksiyonu (ln x)

Matematikte π sayısı gibi çok önemli bir diğer irrasyonel sabit Euler sayısı (e)dir. Pozitif tam sayı n sınırsız büyüdükçe (1 + 1n)ⁿ ifadesinin yaklaştığı değer veya e = 10! + 11! + 12! + 13! + … ≈ 2,7182818… sonsuz toplamı e sayısını verir. Bu sabiti ilk kez İsviçreli matematikçi Jakob Bernoulli bileşik faiz problemlerini incelerken keşfetmiş; Leonhard Euler ise sayıya e harfini vermiş ve irrasyonel olduğunu kanıtlamıştır. 2 < e < 3 olduğu için y = e^x üstel fonksiyonunun grafiği analitik düzlemde y = 2^x ile y = 3^x grafikleri arasında yer alır.

Tabanı e (Euler sayısı) olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir ve f: ℝ⁺ → ℝ, f(x) = logₑ x = ln x biçiminde gösterilir. Temel denklik ln x = y ⇔ x = e^y şeklindedir. Tabanı e ≈ 2,718 > 1 olduğundan f(x) = ln x artan bir fonksiyondur ve grafiği g(x) = e^x grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir. Tanım gereği ln 1 = 0, ln e = 1, ln(e⁻²) = −2 ve ln() = ln(e^3/5) = 35 olur.

Örnekler

Örnek 1log₂(3 + log₃(x − 1)) = 2 denkleminde x gerçek sayısının değerini bulunuz.
Cevabı göster
Dıştaki 2 tabanlı logaritmadan başlayarak üstel dönüşüm (y = logₐ u ⇔ u = a^y) uygularız: 3 + log₃(x − 1) = 2² = 4 olur. Buradan log₃(x − 1) = 4 − 3 = 1 elde edilir. Tekrar üstel dönüşüm yapıldığında x − 1 = 3¹ = 3 ⇒ x = 4 bulunur.
Örnek 2f: ℝ → (5, ∞), f(x) = 3^x+1 + 5 üstel fonksiyonunun tersi olan f⁻¹(x) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Cevabı göster
y = 3^x+1 + 5 yazıp x'i yalnız bırakalım: y − 5 = 3^x+1 olur. Logaritma tanımından x + 1 = log₃(y − 5) ⇒ x = log₃(y − 5) − 1 elde edilir. x ile y yer değiştirildiğinde ters fonksiyon f⁻¹(x) = log₃(x − 5) − 1 olarak bulunur.
Örnek 3f(x) = log_(x−2)(−x² + 5x) fonksiyonunun gerçek sayılardaki en geniş tanım kümesini bulunuz.
Cevabı göster
Tanımlı olma şartlarını yazalım: 1. İç kısım pozitif olmalı: −x² + 5x > 0 ⇒ x(5 − x) > 0, kökler 0 ve 5 olup işaret tablosundan 0 < x < 5 bulunur. 2. Taban pozitif olmalı: x − 2 > 0 ⇒ x > 2. 3. Taban 1 olmamalı: x − 2 ≠ 1 ⇒ x ≠ 3. Üç koşulun ortak kesişimi alındığında en geniş tanım kümesi (2, 5) − {3} olur.
Örnek 4f(x) = log₅(x² − (k − 3)x + 4) fonksiyonu her x gerçek sayısı için tanımlı olduğuna göre k'nin değer aralığını bulunuz.
Cevabı göster
Fonksiyonun her x ∈ ℝ için tanımlı olması için x² − (k − 3)x + 4 > 0 eşitsizliği daima sağlanmalı, yani ikinci dereceden ifadenin gerçek kökü olmamalıdır (Δ < 0). Buradan Δ = [−(k−3)]² − 4 · 1 · 4 < 0 ⇒ k² − 6k + 9 − 16 < 0 ⇒ k² − 6k − 7 < 0 olur. Çarpanlarına ayırdığımızda (k − 7)(k + 1) < 0 eşitsizliğinin çözüm aralığı (−1, 7) olarak bulunur.
Örnek 5log 1000 + log(0,01) + ln(e⁴) − ln(1e²) işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı göster
10 tabanında (adi) ve e tabanında (doğal) logaritma değerlerini ayrı ayrı bulalım: log 1000 = log(10³) = 3, log(0,01) = log(10⁻²) = −2, ln(e⁴) = 4 ve ln(1e²) = ln(e⁻²) = −2'dir. Yerine yazdığımızda 3 + (−2) + 4 − (−2) = 1 + 4 + 2 = 7 bulunur.
Örnek 6Bir limon suyunun hidrojen iyonu derişimi [H⁺] = 10^−2,4 mol/L ve bir sabunun hidrojen iyonu derişimi [H⁺] = 10^−9,4 mol/L olduğuna göre bu iki maddenin pH değerlerini ve limon suyundaki [H⁺] yoğunluğunun sabundakinin kaç katı olduğunu bulunuz.
Cevabı göster
pH = −log[H⁺] bağıntısından limon suyunun pH değeri −log(10^−2,4) = 2,4 (asidik), sabunun pH değeri ise −log(10^−9,4) = 9,4 (bazik) olur. İyon yoğunlukları oranı ise 10⁻²'⁴10⁻⁹'⁴ = 10^{−2,4 − (−9,4)} = 10⁷ (10 milyon) kattır.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

1log₁/₃ x = −4 eşitliğini sağlayan x gerçek sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
2f(x) = log_(x−3)(15 − 3x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan tam sayıların toplamı kaçtır?
3f: (2, ∞) → ℝ, f(x) = log₃(x − 2) + 4 fonksiyonunun tersi olan f⁻¹(x) aşağıdakilerden hangisidir?
4log(0,001) + ln(e⁵) + log₇ 1 işleminin sonucu kaçtır?
5Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.
- f(x) = a^x üstel fonksiyonu ile tersi olan f⁻¹(x) = logₐ x fonksiyonunun grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
- f(x) = log₂/₅ x fonksiyonunun tabanı pozitif olduğu için bu fonksiyon artan bir fonksiyondur.
- Euler sayısı (e ≈ 2,718), 2 ile 3 arasında irrasyonel bir sayı olduğundan y = e^x grafiği y = 2^x ile y = 3^x grafikleri arasında yer alır.
- y = logₐ x fonksiyonunun grafiği y eksenini daima (0, 1) noktasında keser.
- Logaritma kavramı büyük sayılarla yapılan hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla İskoç matematikçi John Napier tarafından icat edilmiştir.
6Aşağıdaki matematiksel kavram ve ifadeleri karşılıklarıyla eşleştiriniz.
Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.
7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.
1. Bire bir ve örten f: ℝ → ℝ⁺, f(x) = a^x üstel fonksiyonunun tersine fonksiyonu denir.
2. Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi gerçek sayılar kümesidir (ℝ⁺).
3. Tabanı 10 olan log x fonksiyonuna logaritma fonksiyonu adı verilir.
4. Bileşik faiz problemlerini incelerken e ≈ 2,718 sabitini keşfeden matematikçi Jakob olup sayıya e adını veren Leonhard Euler'dir.
5. Tabanı e olan ln x fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.
Önce bütün boşlukları doldurun.
8f(x) = 2^x üstel fonksiyonu ile g(x) = log₂ x logaritma fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini, eksenleri kestikleri noktaları, artanlık-azalanlık durumlarını ve grafiklerinin simetri eksenini karşılaştırarak açıklayınız.

Kısaca

a ∈ ℝ⁺ − {1} olmak üzere bire bir ve örten f: ℝ → ℝ⁺, f(x) = a^x üstel fonksiyonunun tersine a tabanında logaritma fonksiyonu denir ve f⁻¹: ℝ⁺ → ℝ, f⁻¹(x) = logₐ x şeklinde gösterilir.
Üstel ve logaritmik ifadeler arasında y = logₐ x ⇔ x = a^y temel denkliği vardır; dönüşüm yapılırken taban daima tabanda kalır.
f(x) = log_g(x) h(x) fonksiyonunun gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için 1. h(x) > 0, 2. g(x) > 0 ve 3. g(x) ≠ 1 koşulları birlikte sağlanmalıdır.
f(x) = a^x ile f⁻¹(x) = logₐ x fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir; y = logₐ x grafiği (1, 0) noktasından geçer, a > 1 için artan, 0 < a < 1 için azalandır.
Tabanı 10 olan logaritmaya 10 tabanında (adi/bayağı) logaritma denir ve taban yazılmadan log₁₀ x = log x biçiminde gösterilir; logaritmayı İskoç matematikçi John Napier icat etmiş, Osmanlı'da ise Gelenbevî İsmail Efendi tanıtmıştır.
Yaklaşık değeri 2,71828… olan irrasyonel Euler sayısı (e) tabanındaki logaritmaya doğal logaritma denir ve logₑ x = ln x ile gösterilir (ln e = 1, ln 1 = 0, ln(e^k) = k).

Bu dersin öteki kaynakları

12. Sınıf Matematik Yıllık Planı (2026-2027) Yıllık plan
Matematik Dersi Öğretim Programı (ortaöğretim) Öğretim programı
12. Sınıf Matematik Ortak Yazılı Senaryoları (1. dönem, 2026-2027) Yazılı senaryosu
12. Sınıf Matematik Günlük Planları (2026-2027) Ders planı