İçeriğe geç

12. sınıf · Matematik · 5. hafta (12-16 Ekim 2026)

Gerçek Sayı Dizileri, Sonlu Dizi, Sabit Dizi, İndirgemeli Diziler ve Özel Sayı Dizileri (Fibonacci, Üçgensel, Karesel)

SAYILAR VE CEBİR: DİZİLER teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Doğadaki ayçiçeği tohumlarının sarmal diziliminden banka taksit planlarına, bakteri popülasyonlarının artışından bilgisayar algoritmalarına kadar belirli bir kurala göre sıralanan sayı örüntüleri matematikte gerçek sayı dizileri olarak modellenir. Bu hafta tanım kümesi pozitif tam sayılar olan bu özel fonksiyonların temel özelliklerini, sabit ve sonlu dizileri, bir terimi önceki terimleriyle tanımlayan indirgemeli dizileri ve doğanın matematiğini yansıtan Fibonacci ile üçgensel-karesel dizileri öğreneceğiz.

1. Gerçek Sayı Dizisi Kavramı ve Genel Terim

Pozitif tam sayılar kümesi Z+ = (1, 2, 3, ..., n, ...) tanım kümesinden gerçek sayılar kümesi R'ye tanımlanan her f: Z+ -> R fonksiyonuna gerçek sayı dizisi (veya kısaca dizi) adı verilir. Dizilerde fonksiyonun n pozitif tam sayısındaki görüntüsü f(n) = an şeklinde gösterilir ve buna dizinin n. terimi (genel terimi) denir. Bir dizi (an) = (a1, a2, a3, ..., an, ...) biçiminde parantez içinde yazılır.

Bir cebirsel ifadenin sonsuz gerçek sayı dizisinin genel terimi olabilmesi için her n pozitif tam sayısı için tanımlı ve gerçek sayı olması şarttır. Örneğin an = (3n + 2) / (n - 5) ifadesi n = 5 için paydayı sıfır yaptığından (17/0 tanımsız) bir gerçek sayı dizisi belirtmez. Aynı şekilde indis olan n yerine yalnız 1, 2, 3, ... pozitif tam sayıları yazılabilir; bir dizinin kaç teriminin negatif veya tam sayı olduğu sorulduğunda yalnızca n eleman Z+ değerleri dikkate alınır.

GERÇEK SAYI DİZİLERİ: TANIM KÜMESİ VE GENEL TERİM (a_n)DİZİ TANIMI (f: Z+ -> R)• Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi Z+ = {1, 2, 3, ..., n, ...} olan her fonksiyona 'Gerçek Sayı Dizisi' denir.• f(n) = a_n dizinin 'n. terimi' veya 'genel terimi'dir.• (a_n) = (a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ...) şeklinde yazılır.• DİKKAT: n yerine yalnızca 1, 2, 3, ... pozitif tam sayıları yazılabilir (0, negatif veya kesir yazılamaz!).HANGİ İFADELER DİZİ BELİRTMEZ?• Paydayı pozitif bir tam sayıda sıfır yapan ifadeler: Örn: a_n = (2n + 1) / (n - 4) -> n = 4 için tanımsız!• Çift dereceli kök içini pozitif tam sayıda negatif yapan ifadeler: Örn: b_n = Kök(5 - n) -> n = 6 için gerçek sayı değil (ancak 5 elemanlı sonlu dizi olabilir).• Logaritma içini n eleman Z+ için 0 veya negatif yapan ifadeler sonsuz gerçek sayı dizisi belirtmez.

2. Sonlu Dizi, Sabit Dizi ve Eşit Diziler

Bütün pozitif tam sayılarda değil de yalnızca Ak = (1, 2, 3, ..., k) kümesinde tanımlanan f: Ak -> R fonksiyonuna k terimli sonlu dizi denir. Örneğin çift dereceli kök içeren ifadelerde kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olduğu 1, 2, ..., k tam sayıları sonlu bir dizi oluşturur.

Bütün terimleri birbirine eşit olan, yani her n eleman Z+ için an = c (c eleman R) biçimindeki dizilere sabit dizi denir: (an) = (c, c, c, ...). Rasyonel biçimde verilen an = (p.n + r) / (s.n + t) dizisinin sabit dizi olması için n'li terimlerin katsayıları oranı ile sabit terimlerin oranı birbirine eşit olmalıdır: p / s = r / t. Karşılıklı bütün terimleri birbirine eşit olan (her n eleman Z+ için an = bn şartını sağlayan) iki diziye ise eşit diziler denir ve (an) = (bn) ile gösterilir.

SONLU DİZİ, SABİT DİZİ VE EŞİT DİZİLER1. SONLU DİZİ• Tanım kümesi A_k = {1, 2, ..., k} olan k elemanlı dizidir.• f: A_k -> R• Örn: a_n = Kök(6 - n) ifadesi en çok 6 elemanlı (A_6) bir sonlu dizi belirtebilir (n = 1, 2, 3, 4, 5, 6).2. SABİT DİZİ• Bütün terimleri birbirine eşit olan dizidir: a_n = c.• Kesirli rasyonel dizide: a_n = (p.n + r) / (s.n + t) sabit dizi ise katsayılar oranı birbirine eşittir: p / s = r / t = a_n.3. EŞİT DİZİLER• Her n eleman Z+ için a_n = b_n oluyorsa (a_n) = (b_n) denir.• Örn: a_n = (-1)^(2n) = 1 ve b_n = cos(2.n.pi) = 1 dizileri birbirine eşittir.• Sıralı her terim aynıdır.

3. İndirgemeli Diziler ve İlk n Terim Toplamı (Sn)

Genel terimi doğrudan n'ye bağlı bir formülle verilmek yerine, herhangi bir terimi kendisinden önceki bir veya birkaç terim cinsinden tanımlanan dizilere indirgemeli (özyinelemeli) dizi ve bu kurala indirgeme bağıntısı denir. Örneğin a1 = 2 ve a(n+1) = an + 3n şeklinde verilen bir dizide a10 terimini bulmak için n = 1, 2, ..., 9 değerleri alt alta yazılıp taraf tarafa toplanarak ara terimler sadeleştirilir. Eğer bağıntı a(n+1) = f(n) . an şeklinde çarpım durumundaysa eşitlikler alt alta yazılıp taraf tarafa çarpılır.

Bir (an) dizisinin ilk n teriminin toplamı Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ile gösterilir. İlk n terim toplamından ilk (n - 1) terim toplamı çıkarıldığında yalnız son terim olan an kalır: an = Sn - S(n-1) (n >= 2 için) ve a1 = S1.

İNDİRGEMELİ DİZİLER VE İLK n TERİM TOPLAMI (S_n) İLİŞKİSİİNDİRGEMELİ (ÖZYİNELEMELİ) DİZİLER• Herhangi bir terimi kendisinden önceki bir veya birkaç terim cinsinden tanımlanan dizilerdir.• Örn: a_1 = 3 ve a_(n+1) = a_n + 4 bağlantısında n = 1, 2, ..., (k-1) yazılıp taraf tarafa toplanarak teleskopik sadeleştirme ile k. terim bulunur.• Çarpım biçimindeyse: a_(n+1) = n . a_n ifadesinde taraf tarafa ÇARPILARAK genel terime ulaşılır.İLK n TERİM TOPLAMI (S_n) VE a_n BAĞINTISI• S_n = a_1 + a_2 + ... + a_(n-1) + a_n• S_(n-1) = a_1 + a_2 + ... + a_(n-1)• Taraf tarafa çıkarılırsa ALTIN FORMÜL elde edilir: a_n = S_n - S_(n-1) (n >= 2 için) a_1 = S_1• Örn: S_n = n^2 + 2n ise a_5 = S_5 - S_4 a_5 = (25 + 10) - (16 + 8) = 35 - 24 = 11.

4. Parçalı Tanımlı Diziler ve Terimlerin İşaret İncelemesi

Terimleri indis olan n sayısının tek veya çift olmasına, belirli bir sayıdan küçük veya büyük olmasına ya da bir sayıya bölümünden kalana (moduna) göre farklı kurallarla tanımlanan dizilere parçalı diziler denir. Örneğin n tek ise an = 2n + 1, n çift ise an = n / 2 şeklinde tanımlanan bir dizide a5 = 2(5) + 1 = 11 ve a6 = 6 / 2 = 3 olarak hesaplanır.

Bir dizinin kaç teriminin negatif (an < 0) veya kaç teriminin tam sayı olduğu sorulduğunda, eşitsizlik tablosu veya polinom bölmesi yapıldıktan sonra çözüm kümesinin Z+ = (1, 2, 3, ...) ile kesişimi alınır.

5. Özel Sayı Dizileri: Üçgensel, Karesel ve Fibonacci Dizisi

Matematik tarihinde ve doğada özel öneme sahip üç temel sayı dizisi vardır: 1) Üçgensel Sayı Dizisi: Noktalarla eşkenar üçgenler oluşturacak biçimde dizilen ve 1'den n'ye kadar olan ardışık doğal sayıların toplamıyla elde edilen dizidir. Genel terimi an = n.(n + 1) / 2 olup terimleri (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...) şeklindedir. 2) Karesel Sayı Dizisi: Noktalarla kareler oluşturan ve genel terimi an = n² olan dizidir: (1, 4, 9, 16, 25, 36, ...). Ardışık iki üçgensel sayının toplamı daima bir karesel sayı verir: Tn + T(n+1) = (n + 1)².

3) Fibonacci Sayı Dizisi: İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci tarafından tanımlanan, ilk iki terimi F1 = 1, F2 = 1 olan ve sonraki her terimi kendisinden önceki iki terimin toplamına eşit olan (F(n+2) = F(n+1) + Fn) indirgemeli dizidir: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...). Fibonacci dizisinde ardışık terimlerin oranı terimler büyüdükçe altın orana (yaklaşık 1,618) yaklaşır.

ÖZEL SAYI DİZİLERİ: ÜÇGENSEL, KARESEL VE FİBONACCİ DİZİSİÜÇGENSEL SAYI DİZİSİGenel terimi a_n = n.(n + 1) / 2 olan dizidir: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...). 1'den n'ye kadar ardışık toplam.KARESEL SAYI DİZİSİGenel terimi a_n = n^2 olan dizidir: (1, 4, 9, 16, 25, 36, ...). Ardışık iki üçgensel sayının toplamı karesel sayıdır!FİBONACCİ SAYI DİZİSİF_1 = 1, F_2 = 1 ve F_(n+2) = F_(n+1) + F_n kuralıyla oluşan dizidir: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...).PARÇALI DİZİLERn'nin tek veya çift olmasına (ya da mod değerine) göre farklı kurallarla tanımlanan dizilerdir.

6. İkinci Dereceden Dizilerde En Büyük ve En Küçük Terim

Genel terimi an = a.n² + b.n + c biçiminde ikinci dereceden bir fonksiyon (parabol) olan dizilerin en küçük veya en büyük terimini bulmak için parabolün tepe noktasının apsisi olan r = -b / (2a) değeri hesaplanır.

Eğer r bir pozitif tam sayı ise dizinin en küçük (veya en büyük) terimi doğrudan ar terimidir. Eğer r tam sayı değilse (veya pozitif değilse), r'ye en yakın olan pozitif tam sayı indisindeki terim dizinin ekstremum (en küçük/en büyük) terimini verir.

Örnekler

  1. Örnek 1Genel terimi an = (4n - 9) / (2n + k) olan (an) dizisi sabit bir dizi olduğuna göre k gerçek sayısı kaçtır ve dizinin 25. terimi (a25) kaçtır?

    Cevabı göster

    Rasyonel bir dizinin sabit dizi olması için n'lerin katsayıları oranı sabit terimlerin oranına eşit olmalıdır: 4 / 2 = -9 / k -> 2 = -9 / k -> k = -9/2 bulunur. Sabit dizide tüm terimler birbirine ve katsayılar oranına eşit olduğundan a25 = 4 / 2 = 2 olur.

  2. Örnek 2Genel terimi an = (n² - 5n - 14) / (n + 3) olan dizinin kaç terimi negatiftir?

    Cevabı göster

    Pay çarpanlarına ayrılırsa n² - 5n - 14 = (n - 7)(n + 2) olur. Dizinin tanım kümesi pozitif tam sayılar (n >= 1) olduğu için n + 2 > 0 ve n + 3 > 0 ifadeleri daima pozitiftir. İfadenin negatif olması için yalnız n - 7 < 0 -> n < 7 olmalıdır. Pozitif tam sayılarda n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 olmak üzere dizinin 6 terimi negatiftir.

  3. Örnek 3Bir (an) dizisinde a1 = 4 ve her n >= 1 için a(n+1) = an + 2n + 1 indirgeme bağıntısı verildiğine göre bu dizinin 10. terimi (a10) kaçtır?

    Cevabı göster

    n = 1, 2, ..., 9 için eşitlikler yazılıp taraf tarafa toplanırsa sol ve sağdaki ara terimler birbirini götürür ve a10 - a1 = (2.1 + 1) + (2.2 + 1) + ... + (2.9 + 1) elde edilir. Sağ taraf 3'ten 19'a kadar tek sayıların toplamıdır (1 eksik olduğundan 10² - 1 = 99). Buradan a10 = a1 + 99 = 4 + 99 = 103 bulunur.

  4. Örnek 4İlk n teriminin toplamı Sn = 2n² + 3n olan bir (an) dizisinin 1. terimi ile 8. teriminin toplamı (a1 + a8) kaçtır?

    Cevabı göster

    İlk terim a1 = S1 = 2(1)² + 3(1) = 5 olur. 8. terim ise a8 = S8 - S7 formülüyle bulunur: S8 = 2(64) + 24 = 152 ve S7 = 2(49) + 21 = 119 olduğundan a8 = 152 - 119 = 33 elde edilir. İstenen toplam a1 + a8 = 5 + 33 = 38 olur.

  5. Örnek 5Üçgensel sayı dizisinin 8. terimi ile karesel sayı dizisinin 6. teriminin toplamı kaçtır?

    Cevabı göster

    Üçgensel sayı dizisinin genel terimi Tn = n.(n + 1) / 2 olduğundan 8. terimi T8 = 8 . 9 / 2 = 36 olur. Karesel sayı dizisinin genel terimi Kn = n² olduğundan 6. terimi K6 = 6² = 36 olur. İkisinin toplamı 36 + 36 = 72 bulunur.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Aşağıda verilen ifadelerden hangisi bir gerçek sayı dizisinin genel terimi olamaz?

  2. 2Genel terimi an = (6n + m) / (2n - 4) olan (an) dizisi sabit bir dizi olduğuna göre m + a10 toplamı kaçtır?

  3. 3Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz.

    • Gerçek sayı dizilerinin tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi (Z+) olup n yerine 0 veya negatif tam sayı yazılamaz.
    • Ardışık iki üçgensel sayının toplamı her zaman bir karesel sayıya eşittir.
    • İlk n terim toplamı Sn olan bir dizide n >= 2 için genel terim an = Sn + S(n-1) formülüyle bulunur.

  4. 4Aşağıdaki dizi kavramlarını ve özel dizileri genel terimleri veya kurallarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  5. 5Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kelimelerle tamamlayınız.

    1. Tanım kümesi A_k = {1, 2, 3, ..., k} biçiminde sınırlı olan dizilere dizi adı verilir.
    2. Her terimi kendisinden önceki terimler cinsinden tanımlanan dizilere dizi denir.
    3. Fibonacci sayı dizisinde ardışık terimlerin oranı terimler büyüdükçe orana yaklaşır.

  6. 6Genel terimi an = n² - 8n + 19 olan bir (an) dizisinin en küçük terimi kaçıncı terimdir ve değeri kaçtır? Adım adım açıklayınız.

Kısaca

  • Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi (Z+ = 1, 2, 3, ...) ve değer kümesi gerçek sayılar kümesi (R) olan her fonksiyona gerçek sayı dizisi denir; f(n) = an ifadesine dizinin genel terimi adı verilir.
  • Tanım kümesi Ak = (1, 2, 3, ..., k) biçiminde sonlu bir küme olan dizilere sonlu dizi; tüm terimleri birbirine eşit olan dizilere ise sabit dizi denir.
  • an = (p.n + r) / (s.n + t) biçimindeki rasyonel bir dizinin sabit dizi olması için p / s = r / t orantısı sağlanmalıdır.
  • Bir dizinin ilk n terim toplamı Sn ile gösterildiğinde, a1 = S1 ve n >= 2 için an = Sn - S(n-1) eşitliği her zaman geçerlidir.
  • Her terimi kendisinden önceki terimlere bağlı olarak tanımlanan dizilere indirgemeli dizi denir; özel sayı dizilerinin en bilinenleri üçgensel sayılar (n.(n+1)/2), karesel sayılar (n²) ve Fibonacci dizisidir.

Bu dersin öteki kaynakları