İçeriğe geç

12. sınıf · Matematik · 8. hafta (2-6 Kasım 2026)

Genel Terimi veya İndirgeme Bağıntısı Verilen Sayı Dizileri, Aritmetik Dizi ve Özellikleri (12.2.1.2 & 12.2.1.3)

SAYILAR VE CEBİR: DİZİLER teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Doğadaki büyüme örüntülerinden finansal ödeme planlarına, stadyum koltuk düzenlerinden mühendislik hesaplamalarına kadar pek çok sayısal düzen, terimleri belirli bir kurala göre ilerleyen sayı dizileriyle modellenir. İndirgeme bağıntılarıyla terimler arasındaki zincirleme ilişkiyi kurmak ve ardışık terimleri arasındaki farkı sabit olan aritmetik dizilerin özelliklerini kavramak, cebirsel muhakeme gücünü üst düzeye taşır.

Genel Terimi veya İndirgeme Bağıntısı Verilen Sayı Dizileri

Genel terimi a_n olan bir dizide terimlerin pozitif, negatif veya tam sayı olma durumları incelenirken n ∈ ℤ⁺ (n = 1, 2, 3, ...) koşulu daima göz önünde bulundurulur. Örneğin a_n = 3n + 12n biçimindeki rasyonel bir dizinin tam sayı olan terimlerini bulmak için kesir a_n = 3 + 12n şeklinde ayrılır ve 12 sayısının pozitif tam bölenleri (n ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 12}) seçilir. Genel terimi ikinci dereceden a_n = p·n2 + q·n + c olan kuadratik bir dizinin en küçük veya en büyük terimi bulunurken ise parabolün tepe noktası apsisine (r = -q2p) en yakın pozitif tam sayı n değeri yerine yazılır.

Herhangi bir terimi kendisinden önceki bir veya birkaç terim cinsinden tanımlanan dizilere indirgemeli dizi, bu kuralı veren eşitliğe de indirgeme bağıntısı denir. Örneğin a₁ = 2 ve a_(n+1) = a_n + 3 bağıntısında her terim bir önceki terime 3 eklenerek bulunur.

İndirgeme bağıntısı verilen bir dizide uzak bir terim (örneğin a₂₀ veya a₅₀) istendiğinde, terimler alt alta yazılarak a_(n+1) - a_n = f(n) biçiminde ise taraf tarafa toplama, a_(n+1)a_n = g(n) biçiminde ise taraf tarafa çarpma yöntemi uygulanır ve aradaki terimler sadeleştirilerek sonuca ulaşılır.

GENEL TERİM UYGULAMALARI VE İNDİRGEMELİ DİZİLER GENEL TERİM (a_n) İNCELEMELERİ 1. Tam Sayı Terimler: a_n = (2n + 18)/n = 2 + 18/n ise n ∈ ℤ⁺ sayısı 18'in pozitif bölenleri (1, 2, 3, 6, 9, 18) olur. 2. İşaret İncelemesi (a_n < 0): Eşitsizlik tablosu kurulur, yalnız n ∈ ℤ⁺ alınır. 3. En Küçük / En Büyük Terim: a_n = a·n² + b·n + c için r = -b/(2a) değerine en yakın pozitif tam sayı n yerine yazılır. İNDİRGEME BAĞINTISI ÇÖZÜMÜ Örnek: a₁ = 4 ve a_(n+1) - a_n = 5 a₁₀ terimini taraf tarafa toplayarak bulalım: n = 1 için: a₂ - a₁ = 5 n = 2 için: a₃ - a₂ = 5 ⋮ ⋮ n = 9 için: + a₁₀ - a₉ = 5 (9 tane 5 toplanır) a₁₀ - a₁ = 9 · 5 = 45 ⇒ a₁₀ = 4 + 45 = 49
🔍 Büyütmek için dokunun

Aritmetik Dizi Tanımı, Ortak Fark ve Genel Terim

Ardışık herhangi iki terimi arasındaki farkı sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. Bir (a_n) aritmetik dizisinde her n ∈ ℤ⁺ için a_(n+1) - a_n = d eşitliğini sağlayan sabit d gerçek sayısına aritmetik dizinin ortak farkı adı verilir.

İlk terimi a₁ ve ortak farkı d olan bir aritmetik dizinin terimleri a₂ = a₁ + d, a₃ = a₁ + 2d, a₄ = a₁ + 3d biçiminde ilerler. Buradan aritmetik dizinin genel terimi (n. terimi) a_n = a₁ + (n - 1)·d formülüyle elde edilir. Bu ifade açıldığında aritmetik dizinin genel teriminin a_n = d·n + (a₁ - d) biçiminde n değişkenine bağlı birinci dereceden (doğrusal) bir ifade olduğu ve n'nin katsayısının doğrudan ortak farkı (d) verdiği görülür.

Aritmetik dizinin genel terimi ilk terim yerine herhangi bir p. terim (a_p) cinsinden de yazılabilir: a_n = a_p + (n - p)·d. Bu bağıntıdan ortak fark doğrudan d = a_n - a_pn - p formülüyle hesaplanır. Ayrıca sonlu iki terim olan x ile y arasına aritmetik dizi oluşturacak şekilde k tane terim yerleştirildiğinde toplam terim sayısı k + 2 olur ve ortak fark d = y - xk + 1 bağıntısıyla bulunur.

ARİTMETİK DİZİ: ORTAK FARK (d) VE GENEL TERİM (a_n) a₁ +d → a₂ = a₁ + d +d → a₃ = a₁ + 2d ... → a_n = a₁ + (n - 1)d TEMEL BAĞINTILAR • Ortak Fark: d = a_(n+1) - a_n • Genel Terim: a_n = a₁ + (n - 1)·d • İki Terim İlişkisi: a_n = a_p + (n - p)·d • Ortak Fark Oranı: d = (a_n - a_p) / (n - p) TERİM YERLEŞTİRME VE DOĞRUSALLIK • x ile y arasına k tane terim yerleştirilirse: Terim sayısı = k + 2 ve d = (y - x) / (k + 1) • a_n = A·n + B doğrusal dizisinde n'nin katsayısı olan A sayısı doğrudan ortak farktır (d = A).
🔍 Büyütmek için dokunun

Aritmetik Dizinin Özellikleri ve İlk n Terim Toplamı (S_n)

Bir aritmetik dizide her terim, kendisinden eşit uzaklıkta bulunan iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir: a_n = a_(n-k) + a_(n+k)2 (örneğin a₅ = a₂ + a₈2 veya a₂ + a₈ = 2·a₅). Daha genel olarak bir aritmetik dizide indisleri toplamı birbirine eşit olan terimlerin toplamları da birbirine eşittir: k + m = p + r ise a_k + a_m = a_p + a_r (örneğin a₃ + a₁₂ = a₅ + a₁₀ = a₁ + a₁₄). Sonlu bir aritmetik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı daima ilk ve son terimin toplamına (a₁ + a_n) eşittir.

Bir (a_n) aritmetik dizisinin ilk n teriminin toplamı S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n ile gösterilir ve S_n = n2·(a₁ + a_n) formülüyle hesaplanır. Bu formülde a_n = a₁ + (n - 1)·d yerine yazıldığında ilk n terim toplamının ortak farka bağlı denklemi S_n = n2·[2a₁ + (n - 1)·d] olarak elde edilir.

Herhangi bir dizide ilk n terim toplamı S_n biliniyorsa, dizinin n. terimi (a_n) ilk n terim toplamından ilk (n - 1) terim toplamı çıkarılarak bulunur: a_n = S_n - S_(n-1) (burada a₁ = S₁ alınır). Ayrıca ardışık terimlerin toplamı toplam sembolü (∑) kullanılarak kısaca ifade edilir.

ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ VE İLK n TERİM TOPLAMI (S_n) ORTA TERİM VE İNDİS ÖZELLİĞİ a_n = (a_(n-k) + a_(n+k)) / 2 Örnek: a₇ = (a₄ + a₁₀) / 2 ⇒ a₄ + a₁₀ = 2·a₇ k + m = p + r ⇒ a_k + a_m = a_p + a_r Örnek: a₂ + a₁₅ = a₆ + a₁₁ = a₁ + a₁₆ Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı birbirine eşittir. İLK n TERİM TOPLAMI (S_n) S_n = (n / 2) · (a₁ + a_n) S_n = (n / 2) · [2a₁ + (n - 1)·d] Toplamdan Terim Bulma: a_n = S_n - S_(n-1) (ve a₁ = S₁)
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Genel terimi a_n = 4n + 30n olan bir dizinin kaç terimi tam sayıdır?

    Cevabı göster

    Genel terim a_n = 4 + 30n şeklinde ayrılır. Dizinin terimlerinin tam sayı olması için n ∈ ℤ⁺ sayısının 30'u tam bölmesi gerekir. 30'un pozitif tam bölenleri 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 ve 30 olduğundan dizinin toplam 8 terimi tam sayıdır.

  2. Örnek 2Genel terimi a_n = n2 - 9n + 14 olan dizinin en küçük terimi kaçtır?

    Cevabı göster

    Kuadratik dizinin tepe noktası apsisi r = --92·1 = 4,5 bulunur. n ∈ ℤ⁺ olması gerektiğinden 4,5'e en yakın pozitif tam sayılar olan n = 4 veya n = 5 yerine yazılır: a₄ = 16 - 36 + 14 = -6 ve a₅ = 25 - 45 + 14 = -6 olur. Dolayısıyla dizinin en küçük terimi -6'dır.

  3. Örnek 3Bir (a_n) dizisinde a₁ = 3 ve her n ∈ ℤ⁺ için a_(n+1) = a_n + 4 bağıntısı verildiğine göre bu dizinin 15. terimi (a₁₅) kaçtır?

    Cevabı göster

    Verilen a_(n+1) - a_n = 4 bağıntısı dizinin ortak farkı d = 4 olan bir aritmetik dizi olduğunu gösterir. Aritmetik dizinin genel terim formülünden a₁₅ = a₁ + 14·d = 3 + 14·4 = 3 + 56 = 59 bulunur.

  4. Örnek 4Bir (a_n) aritmetik dizisinde a₄ = 11 ve a₁₀ = 29 olduğuna göre dizinin ortak farkı (d) ve ilk terimi (a₁) kaçtır?

    Cevabı göster

    İki terim arasındaki bağıntıdan a₁₀ = a₄ + (10 - 4)·d → 29 = 11 + 6d → 6d = 18 → d = 3 bulunur. İlk terim için a₄ = a₁ + 3d → 11 = a₁ + 3·3 → a₁ = 2 elde edilir.

  5. Örnek 5Bir (a_n) aritmetik dizisinde a₃ + a₁₁ = 36 olduğuna göre a₇ terimi kaçtır?

    Cevabı göster

    Aritmetik dizide a₇ terimi, a₃ ve a₁₁ terimlerine eşit uzaklıkta (orta terim) olduğundan a₃ + a₁₁ = 2·a₇ eşitliği geçerlidir. Buradan 2·a₇ = 36 → a₇ = 18 bulunur.

  6. Örnek 6İlk n terim toplamı S_n = 2·n2 + 3n olan bir aritmetik dizinin 6. terimi (a₆) kaçtır?

    Cevabı göster

    İlk n terim toplamı bilinen dizide a₆ = S₆ - S₅ bağıntısı kullanılır. S₆ = 2·62 + 3·6 = 72 + 18 = 90 ve S₅ = 2·52 + 3·5 = 50 + 15 = 65 olduğundan a₆ = 90 - 65 = 25 bulunur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Genel terimi a_n = n - 7n + 2 olan dizinin kaç terimi negatiftir?

  2. 2Bir (a_n) aritmetik dizisinde a₅ = 14 ve a₁₂ = 35 olduğuna göre bu dizinin 20. terimi (a₂₀) kaçtır?

  3. 3Bir (a_n) aritmetik dizisinde a₂ + a₆ + a₁₀ + a₁₄ = 48 olduğuna göre bu dizinin 8. terimi (a₈) kaçtır?

  4. 4İlk terimi 4 ve ortak farkı 3 olan bir aritmetik dizinin ilk 10 teriminin toplamı (S₁₀) kaçtır?

  5. 5

    • Ardışık terimleri arasındaki farkı sabit olan sayı dizilerine aritmetik dizi, bu sabit sayıya ise ortak fark denir.
    • Genel terimi a_n = 5n - 2 olan bir aritmetik dizinin ortak farkı -2'dir.
    • Bir aritmetik dizide a₄ ile a₁₂ terimlerinin aritmetik ortalaması a₈ terimine eşittir.
    • Herhangi bir dizide ilk 7 terim toplamı S₇ ve ilk 6 terim toplamı S₆ biliniyorsa 7. terim a₇ = S₇ + S₆ bağıntısıyla bulunur.
    • Sayılar olan 5 ile 29 arasına aritmetik dizi oluşturacak şekilde 5 terim yerleştirilirse oluşan dizinin ortak farkı 4 olur.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Herhangi bir terimi kendisinden önceki terimlere bağlı olarak yazılabilen dizilere dizi denir.
    2. Bir aritmetik dizide her terim, kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin ortalamasına eşittir.
    3. Genel terimi a_n = 6n + 1 olan aritmetik dizinin farkı 6'ya eşittir.
    4. Ortak farkı sıfır (d = 0) olan bir aritmetik dizinin tüm terimleri birbirine eşit olduğundan bu dizi dizidir.
    5. Bir aritmetik dizinin ardışık terimlerinin toplamını kısa biçimde göstermek için sembolü (∑) kullanılır.

  8. 8Bir konferans salonunda ilk sırada 12 koltuk bulunmakta ve her bir sıradaki koltuk sayısı bir önceki sıradan 4 fazla olacak şekilde toplam 15 sıra yer almaktadır. Bu salondaki koltuk düzenini aritmetik diziyle modelleyerek üç adımda çözünüz.

Kısaca

  • Genel terimi verilen dizilerde tam sayı, pozitif veya negatif terimler aranırken n değişkeninin pozitif tam sayı (n ∈ ℤ⁺) olduğu dikkate alınır.
  • Bir terimi kendisinden önceki terimler cinsinden tanımlanan dizilere indirgemeli dizi denir ve terimleri taraf tarafa toplama veya çarpma yoluyla bulunur.
  • Ardışık iki terimi arasındaki farkı sabit (a_(n+1) - a_n = d) olan dizilere aritmetik dizi denir ve genel terimi a_n = a₁ + (n - 1)·d = a_p + (n - p)·d bağıntısıyla hesaplanır.
  • Aritmetik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları eşittir (k + m = p + r ⇒ a_k + a_m = a_p + a_r) ve her terim kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır.
  • Aritmetik dizinin ilk n terim toplamı S_n = (n/2)·(a₁ + a_n) = (n/2)·[2a₁ + (n - 1)·d] formülüyle, n. terimi ise a_n = S_n - S_(n-1) farkıyla bulunur.

Bu dersin öteki kaynakları