İçeriğe geç

12. sınıf · Matematik · 11. hafta (30 Kasım-4 Aralık 2026)

İki Kat Açı (Yarım Açı) Formülleri: sin(2x), cos(2x), tan(2x) ve cot(2x) Özdeşlikleri ve Geometrik Uygulamaları (12.3.1.2)

GEOMETRİ: TRİGONOMETRİ teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Trigonometride iki açının toplamı formüllerinde açılar birbirine eşit seçildiğinde (a = b = x), bir açının trigonometrik oranlarından iki katı olan açının (2x) veya yarısı olan açının (x/2) trigonometrik oranlarına geçiş yapmayı sağlayan iki kat açı (yarım açı) özdeşlikleri elde edilir. Bu özdeşlikler hem trigonometrik denklemlerin sadeleştirilmesinde hem de analitik ve sentetik geometri problemlerinde büyük işlem kolaylığı sağlar.

Sinüs ve Kosinüs İki Kat Açı (Yarım Açı) Formülleri

Sinüs toplam formülü olan sin(a + b) = sin(a)·cos(b) + cos(a)·sin(b) eşitliğinde a = b = x yazılırsa sinüs fonksiyonunun iki kat açı formülü elde edilir: sin(2x) = 2 · sin(x) · cos(x). Aynı kural x açısı ile yarısı olan x2 açısı arasında sin(x) = 2 · sin(x2) · cos(x2) biçiminde de uygulanır.

Kosinüs toplam formülü olan cos(a + b) = cos(a)·cos(b) - sin(a)·sin(b) eşitliğinde a = b = x yazılırsa kosinüsün birinci iki kat açı formülü elde edilir: cos(2x) = cos²(x) - sin²(x). Temel özdeşlik olan sin²(x) + cos²(x) = 1 bağıntısı kullanılarak bu formül cos(2x) = 2·cos²(x) - 1 veya cos(2x) = 1 - 2·sin²(x) olmak üzere üç farklı biçimde yazılabilir.

Sadeleştirme sorularında kosinüsün yanındaki +1 veya -1 terimini yok etmek için 1 + cos(2x) = 2·cos²(x) ve 1 - cos(2x) = 2·sin²(x) özdeşlikleri kullanılır. Ayrıca (sin(x) + cos(x))² = 1 + sin(2x) ve (sin(x) - cos(x))² = 1 - sin(2x) tam kare açılımları soru çözümlerinde çok sık karşımıza çıkar.

İKİ KAT AÇI (YARIM AÇI) FORMÜLLERİ: SİNÜS VE KOSİNÜS Sinüs İki Kat Açı Özdeşliği sin(2x) = 2 · sin(x) · cos(x) • Yarım Açı Biçimi: sin(x) = 2 · sin(x/2) · cos(x/2) • Tam Kare Özdeşliği: (sin(x) ± cos(x))² = 1 ± sin(2x) • Örnek: 2·sin(15°)·cos(15°) = sin(30°) = 1/2 Kosinüs İki Kat Açı Özdeşlikleri (3 Biçim) 1) cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) 2) cos(2x) = 2·cos²(x) - 1 3) cos(2x) = 1 - 2·sin²(x) 1 + cos(2x) = 2·cos²(x) · 1 - cos(2x) = 2·sin²(x)
🔍 Büyütmek için dokunun

Tanjant ve Kotanjant İki Kat Açı Formülleri

Tanjant toplam formülü olan tan(a + b) = tan(a) + tan(b)1 - tan(a)·tan(b) eşitliğinde a = b = x alındığında tanjant fonksiyonunun iki kat açı formülü elde edilir: tan(2x) = 2 · tan(x)1 - tan²(x) (burada tan(x) ≠ ±1 olmalıdır).

Kotanjant toplam formülünde a = b = x yazıldığında veya cot(2x) = 1tan(2x) bağıntısı kullanıldığında kotanjant iki kat açı formülü bulunur: cot(2x) = cot²(x) - 12 · cot(x).

Dar bir 2x açısının herhangi bir trigonometrik oranı (örneğin cos(2x) veya tan(2x)) biliniyorken x açısının trigonometrik oranları sorulduğunda cebirsel formül yerine yarım açı dik üçgeni yöntemi kullanılabilir: 2x açılı dik üçgen çizilir, komşu dik kenar hipotenüs uzunluğu kadar dışarıya uzatılarak tepe açısı 2x olan dış açıya komşu (x, x) taban açılı ikizkenar üçgen oluşturulur.

TANJANT VE KOTANJANT İKİ KAT AÇI ÖZDEŞLİKLERİ Tanjant İki Kat Açı Bağıntısı tan(2x) = (2 · tan(x)) / (1 - tan²(x)) • sin(x+x) ve cos(x+x) toplam formüllerinde a = b = x yazılarak elde edilir. • Örnek: tan(x) = 1/2 ise tan(2x) = (2·(1/2)) / (1 - 1/4) = 1 / (3/4) = 4/3 Kotanjant İki Kat Açı Bağıntısı cot(2x) = (cot²(x) - 1) / (2 · cot(x)) • Pratik Yol: cot(2x) = 1 / tan(2x) olduğundan önce tan(2x) bulunup çarpmaya göre tersi alınır. • Yarım Açı Üçgeni: 2x açılı dik üçgende hipotenüs kadar uzatılarak (x, x) ikizkenarı kurulur.
🔍 Büyütmek için dokunun

İki Kat Açı Formüllerinin Geometrik Uygulamaları

İkizkenar üçgen sorularında tepe açısı 2x olarak verildiğinde, tepeden tabana indirilen dikme hem kenarortay hem de açıortay olduğundan tepe açısını x ve x şeklinde iki eş parçaya böler. Böylece oluşan dik üçgenden sin(x) ve cos(x) değerleri okunarak sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x) veya cos(2x) = 1 - 2·sin²(x) yardımıyla tepe açısının trigonometrik oranları bulunur.

Çemberde aynı yayı gören merkez açının ölçüsü (2x), çevre açının ölçüsünün (x) iki katıdır. Çapı gören çevre açı 90° olduğu için çevre açının bulunduğu dik üçgenden x açısının oranları yazılıp iki kat açı formülleriyle merkez açının (2x) oranlarına geçilir.

Katlama (origami) ve açıortay içeren dikdörtgen/kare sorularında ise eş açılar x ile isimlendirildiğinde oluşan 2x açısının tanjantı tan(2x) = 2·tan(x)1 - tan²(x) bağıntısıyla hesaplanarak bilinmeyen kenar uzunlukları kolayca bulunur.

2x AÇISINDAN x AÇISINA GEÇİŞ (İKİZKENAR ÜÇGEN YÖNTEMİ) ABC Dik Üçgenine ACD İkizkenar Üçgeni Ekleme B A C D 2x x x 3 4 5 5 Adım Adım Geometrik Çözüm 1. tan(2x) = 3/4 ise ABC dik üçgeni (3-4-5) çizilir. 2. [BC] kenarı hipotenüs (|AC| = 5) kadar uzatılarak |CD| = 5 alınır. 3. İki iç açının toplamı komşu olmayan dış açıya (2x) eşit olduğundan D = x olur. ABD üçgeninde: tan(x) = 3 / (4+5) = 1/3
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Dar bir x açısı için sin(x) = 35 olduğuna göre sin(2x) ve cos(2x) değerlerini hesaplayınız.

    Cevabı göster

    x dar açı ve sin(x) = 35 olduğundan 3-4-5 dik üçgeninden cos(x) = 45 bulunur. İki kat açı formüllerinden: sin(2x) = 2 · sin(x) · cos(x) = 2 · 35 · 45 = 2425 ve cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 1625 - 925 = 725 elde edilir.

  2. Örnek 2sin(x) - cos(x) = 13 olduğuna göre sin(2x) ifadesinin değeri kaçtır?

    Cevabı göster

    Verilen eşitliğin her iki tarafının karesi alınır: (sin(x) - cos(x))² = (13)² → sin²(x) - 2·sin(x)·cos(x) + cos²(x) = 19. Burada sin²(x) + cos²(x) = 1 ve 2·sin(x)·cos(x) = sin(2x) yazıldığında: 1 - sin(2x) = 19 → sin(2x) = 1 - 19 = 89 bulunur.

  3. Örnek 3cos(20°) · cos(40°) · cos(80°) çarpımının sonucu kaçtır?

    Cevabı göster

    İfadeye A diyelim ve her iki tarafı 2·sin(20°) ile çarpalım: 2·sin(20°)·A = [2·sin(20°)·cos(20°)] · cos(40°) · cos(80°) = sin(40°) · cos(40°) · cos(80°). Tekrar 2 ile çarpıp bölersek: 12 · [2·sin(40°)·cos(40°)] · cos(80°) = 12 · sin(80°) · cos(80°) = 14 · sin(160°). Birbirini 180°'ye tamamlayan açılarda sin(160°) = sin(20°) olduğundan: 2·sin(20°)·A = 14·sin(20°) → A = 18 bulunur.

  4. Örnek 4tan(x) = 13 olduğuna göre tan(2x) ve cot(2x) değerlerini bulunuz.

    Cevabı göster

    Tanjant iki kat açı formülünden: tan(2x) = 2 · tan(x)1 - tan²(x) = 2 · (1/3)1 - (1/9) = 2/38/9 = 23 · 98 = 34 bulunur. Buradan cot(2x) = 1tan(2x) = 43 elde edilir.

  5. Örnek 51 - cos(2x)sin(2x) ifadesinin en sade biçimini bulunuz.

    Cevabı göster

    Pay kısmındaki 1'i yok etmek için cos(2x) = 1 - 2·sin²(x) yazılırsa pay: 1 - (1 - 2·sin²(x)) = 2·sin²(x) olur. Payda ise sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x) şeklindedir. Oranlandığında: 2·sin²(x)2·sin(x)·cos(x) = sin(x)cos(x) = tan(x) bulunur.

  6. Örnek 6Dar bir 2x açısı için tan(2x) = 512 olduğuna göre tan(x) değeri kaçtır?

    Cevabı göster

    Dar açılı ABC dik üçgeninde 2x açısının karşısı 5, komşusu 12 ise hipotenüs 13 birimdir (5-12-13 üçgeni). Komşu kenar (12 birim) hipotenüs kadar (13 birim) uzatılarak (x, x) taban açılı ikizkenar üçgen oluşturulduğunda büyük dik üçgende x açısının karşısı 5, komşusu 12 + 13 = 25 birim olur. Buradan tan(x) = 525 = 15 bulunur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1İfadesi 4 · sin(15°) · cos(15°) · cos(30°) olan çarpımın değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  2. 2cos(x) = 23 olduğuna göre cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?

  3. 3Dar bir x açısı için cot(x) = 2 olduğuna göre tan(2x) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  4. 41 + cos(40°)sin(40°) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  5. 5

    • Her x gerçel sayısı için sin(2x) = 2 · sin(x) · cos(x) özdeşliği geçerlidir.
    • cos²(15°) - sin²(15°) ifadesinin değeri cos(30°) değerine yani /2 sayısına eşittir.
    • sin(2x) ifadesi her dar açı için 2 · sin(x) çarpımına birebir eşittir.
    • (sin(x) + cos(x))² tam kare ifadesinin açılımı 1 + sin(2x) toplamına eşittir.
    • Trigonometrik 1 - 2·sin²(25°) ifadesinin değeri sin(50°) değerine eşittir.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Trigonometrik 2 · sin(22,5°) · cos(22,5°) çarpımı sin(45°) değerine yani / sayısına eşittir.
    2. Cebirsel 2 · cos²(x) - 1 ifadesi kosinüs iki kat açı formüllerinden fonksiyonuna eşittir.
    3. tan(x) = 3 olduğuna göre tan(2x) = (2·3) / (1 - 9) işleminden sonuç -3/ bulunur.
    4. (sin(15°) + cos(15°))² ifadesi 1 + sin(30°) = 1 + 1/2 işleminden /2 değerine eşittir.
    5. Bir çemberde aynı yayı gören merkez açının ölçüsü 2x iken çevre açının ölçüsü kadardır.

  8. 8ABC bir ikizkenar üçgen olup |AB| = |AC| = 10 cm ve |BC| = 12 cm'dir. Tepe açısı m(BAC) = 2x olduğuna göre sin(2x), cos(2x) ve tan(2x) değerlerini iki kat açı formüllerini kullanarak adım adım bulunuz.

Kısaca

  • Sinüs iki kat açı formülü sin(2x) = 2 · sin(x) · cos(x) olup tam kare özdeşliğinde (sin(x) ± cos(x))² = 1 ± sin(2x) eşitliğini sağlar.
  • Kosinüs iki kat açı formülü cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 2·cos²(x) - 1 = 1 - 2·sin²(x) olmak üzere üç eşdeğer biçimde yazılır.
  • Sadeleştirmelerde 1 + cos(2x) = 2·cos²(x) ve 1 - cos(2x) = 2·sin²(x) yarım açı dönüşümleri sabit 1 terimini yok etmek için kullanılır.
  • Tanjant ve kotanjant iki kat açı formülleri tan(2x) = 2·tan(x)1 - tan²(x) ve cot(2x) = cot²(x) - 12·cot(x) bağıntılarıyla hesaplanır.
  • Dar 2x açısından x açısına geçerken 2x açılı dik üçgenin komşu kenarı hipotenüs kadar uzatılarak (x, x) ikizkenar üçgeni oluşturulur.

Bu dersin öteki kaynakları