İçeriğe geç

12. sınıf · Matematik · 7. hafta (2026-10-26)

Gerçek Sayı Dizileri (12.2.1.1 & 12.2.1.2)

Diziler teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Doğadaki pek çok örüntü ve matematiksel sıralama, pozitif tam sayılar kümesinden gerçek sayılar kümesine tanımlanan özel fonksiyonlarla modellenir. Ayçiçeğinin tohum diziliminden salyangoz kabuğundaki sarmallara, çokgensel sayı dizilerinden finansal hesaplamalara kadar uzanan bu yapıya 'gerçek sayı dizisi' adı verilir. Bu bölümde dizi kavramını, dizilerin genel terimini, sonlu, sabit ve eşit dizileri; ayrıca indirgemeli diziler ile Fibonacci, üçgensel ve karesel sayı dizilerini inceleyeceğiz.

Dizi Kavramı ve Genel Terim

Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi <b>Z⁺ = {1, 2, 3, ..., n, ...}</b> olan her fonksiyona dizi denir. Görüntü kümesi gerçek sayılar kümesinin (R) alt kümesi olan dizilere ise gerçek sayı dizisi adı verilir.

Gösterim ve Terimler: f : Z⁺ → R fonksiyonunda her n ∈ Z⁺ için f(n) = aₙ gösterimi kullanılır. Burada n sayısına dizinin indisi, aₙ ifadesine ise dizinin n. terimi ya da genel terimi denir. Dizi, terimleri parantez içinde küçük harflerle (aₙ) = (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...) biçiminde yazılır.

Her Fonksiyon Dizi Belirtmez: Bir kuralın gerçek sayı dizisi belirtmesi için her n ∈ Z⁺ değerine karşılık mutlaka bir gerçek sayı üretmesi gerekir. Örneğin (n + 1) / (n - 3) ifadesi n = 3 için tanımsız olduğundan gerçek sayı dizisi belirtmez. Benzer şekilde <b></b> ifadesi <b>n ∈ {1, 2, 3}</b> değerleri için gerçek sayı olmadığından gerçek sayı dizisi oluşturmaz.

Genel Terimin Önemi: Sadece ilk birkaç terimi verilen bir sayı grubunun (örneğin 2, 4, 6, ...) genel terimi verilmedikçe devam eden terimleri kesin olarak bilinemez; bu nedenle bir diziyi tek ve kesin biçimde belirleyen kural onun genel terimidir (aₙ).

GERÇEK SAYI DİZİSİ: f : Z⁺ → R, f(n) = aₙ Tanım Kümesi (Z⁺) (Pozitif Tam Sayılar / İndis) 1 2 3 n Görüntü Kümesi (⊂ R) (Dizinin Terimleri) f(1) = a₁ f(2) = a₂ f(3) = a₃ f(n) = aₙ Genel Terim DİZİ OLMA ŞARTI • (n+1)/(n-3) ifadesi: n = 3 ∈ Z⁺ için tanımsız → Dizi belirtmez! • Kök içinde (n-4) ifadesi: n ∈ {1,2,3} için ∉ R → Gerçek dizi belirtmez! Her n ∈ Z⁺ için aₙ ∈ R olmalı!

Sonlu Dizi, Sabit Dizi ve Eşit Diziler

Diziler tanım kümelerinin eleman sayısına veya terimlerinin aldığı değerlere göre özel isimler alır:

Sonlu Dizi: k ∈ Z⁺ olmak üzere <b>Aₖ = {1, 2, 3, ..., k}</b> sonlu kümesinden gerçek sayılar kümesi R'ye tanımlanan her fonksiyona k terimli sonlu dizi denir ve (a₁, a₂, a₃, ..., aₖ) şeklinde gösterilir. Tanım kümesi tüm Z⁺ olan dizilere ise sonsuz dizi denir.

Sabit Dizi: Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi adı verilir. Her n ∈ Z⁺ ve c ∈ R için aₙ = c olduğundan sabit dizi (c, c, c, ..., c, ...) biçimindedir. Rasyonel biçimdeki aₙ = (p·n + r) / (s·n + t) dizisinin sabit dizi olması için n'li terimlerin katsayıları oranı ile sabit terimlerin oranı birbirine eşit olmalıdır: p / s = r / t.

Eşit Diziler: Karşılıklı bütün terimleri birbirine eşit olan, yani her n ∈ Z⁺ için aₙ = bₙ koşulunu sağlayan (aₙ) ve (bₙ) dizilerine eşit diziler denir ve (aₙ) = (bₙ) olarak yazılır. Örneğin genel terimleri aₙ = (-1)ⁿ ve bₙ = cos(n·π) olan iki dizinin tüm terimleri (-1, 1, -1, 1, ...) olduğundan bu iki dizi birbirine eşittir.

SONLU DİZİ, SABİT DİZİ VE EŞİT DİZİLER 1. SONLU DİZİ k ∈ Z⁺ olmak üzere; Aₖ = {1, 2, 3, ..., k} kümesinden R'ye tanımlı f : Aₖ → R fonksiyonuna k terimli sonlu dizi denir. (a₁, a₂, a₃, ..., aₖ) 2. SABİT DİZİ Her n ∈ Z⁺ için c ∈ R: aₙ = c = (c, c, c, ...) aₙ = (p·n + r) / (s·n + t) ifadesi sabit dizi ise: p / s = r / t = c 3. EŞİT DİZİLER Her n ∈ Z⁺ için: aₙ = bₙ ⇔ (aₙ) = (bₙ) Örnek: aₙ = (-1)ⁿ bₙ = cos(n·π) (-1, 1, -1, 1, ...) → aₙ = bₙ

İndirgemeli Diziler, Fibonacci, Üçgensel ve Karesel Sayı Dizileri

Bazı dizilerde genel terim doğrudan n cinsinden verilmek yerine, her terim kendinden önceki terimlerle ilişkilendirilerek tanımlanır:

İndirgemeli Dizi: Her terimi kendinden önceki bir veya birkaç terim cinsinden tanımlanan dizilere indirgemeli dizi, bu kuralı veren eşitliğe ise indirgeme bağıntısı denir. Başlangıç terimi (örneğin a₁) verildiğinde, indirgeme bağıntısı (örneğin aₙ₊₁ - aₙ = f(n) veya aₙ₊₁ / aₙ = g(n)) alt alta yazılıp taraf tarafa toplama ya da taraf tarafa çarpma yapılarak istenen terim veya genel terim bulunur.

Fibonacci Sayı Dizisi: İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci'nin ünlü tavşan problemiyle ortaya koyduğu, doğada ayçiçeği çekirdeklerinde, çam kozalağında ve salyangoz kabuğunda gözlenen özel bir indirgemeli dizidir. İlk iki terimi F₁ = 1, F₂ = 1 olan ve n ≥ 3 için Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ indirgeme bağıntısıyla tanımlanan (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...) dizisidir.

Üçgensel Sayı Dizisi: Eşkenar üçgen oluşturacak biçimde dizilen nokta sayılarını gösteren, 1'den n'ye kadar olan ardışık doğal sayıların toplamıyla elde edilen dizidir: aₙ = 1 + 2 + 3 + ... + n = n·(n + 1) / 2. İlk terimleri (1, 3, 6, 10, 15, 21, ...) şeklindedir ve aₙ = aₙ₋₁ + n indirgeme bağıntısını sağlar.

Karesel Sayı Dizisi: Kare oluşturacak biçimde dizilen nokta sayılarını gösteren, 1'den başlayan ardışık n tane tek doğal sayının toplamıyla elde edilen dizidir: bₙ = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n². İlk terimleri (1, 4, 9, 16, 25, ...) olup bₙ = bₙ₋₁ + 2n - 1 bağıntısını sağlar. Ayrıca ardışık iki üçgensel sayının toplamı daima bir karesel sayı verir: aₙ₋₁ + aₙ = n² = bₙ.

FİBONACCİ, ÜÇGENSEL VE KARESEL SAYI DİZİLERİ FİBONACCİ DİZİSİ F₁ = 1, F₂ = 1 Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ (n ≥ 3) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... • İndirgemeli dizi örneğidir. • Ayçiçeği, çam kozalağı, salyangoz kabuğunda görülür. Her terim önceki 2 terimin toplamı ÜÇGENSEL SAYILAR aₙ = n·(n + 1) / 2 a₁=1 a₂=3 a₃=6 (1, 3, 6, 10, 15, 21, ...) 1'den n'ye ardışık doğal sayıların toplamıdır. KARESEL SAYILAR bₙ = 1+3+...+(2n-1) = n² b₁=1 b₂=4 b₃=9 (1, 4, 9, 16, 25, 36, ...) Bağıntı: aₙ₋₁ + aₙ = n² = bₙ (Ardışık 2 üçgensel toplamı = karesel)

Örnekler

  1. Örnek 1Genel terimi aₙ = (3n - 11) / (n + 1) olan gerçek sayı dizisinin kaçıncı terimi 1'dir ve bu dizinin kaç terimi negatiftir?

    Cevabı göster

    1) aₙ = 1 olması için (3n - 11) / (n + 1) = 1 denklemi çözülür: 3n - 11 = n + 1 ⇒ 2n = 12 ⇒ n = 6 bulunur. Yani dizinin 6. terimi (a₆) 1'dir. 2) Terimlerin negatif olması için (3n - 11) / (n + 1) < 0 olmalıdır. n ∈ Z⁺ olduğundan payda (n + 1) daima pozitiftir. O hâlde pay negatif olmalıdır: 3n - 11 < 0 ⇒ n < 11/3 ≈ 3,66. Pozitif tam sayı olan n değerleri 1, 2 ve 3'tür; dolayısıyla dizinin 3 terimi (a₁, a₂, a₃) negatiftir.

  2. Örnek 2A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi üzerinde tanımlı aₙ = n² - 4n sonlu dizisinin terimlerinin toplamı kaçtır?

    Cevabı göster

    5 terimli sonlu dizinin terimleri n = 1, 2, 3, 4, 5 yazılarak sırasıyla bulunur: a₁ = 1² - 4(1) = -3, a₂ = 2² - 4(2) = -4, a₃ = 3² - 4(3) = -3, a₄ = 4² - 4(4) = 0 ve a₅ = 5² - 4(5) = 5. Sonlu dizi (-3, -4, -3, 0, 5) olup terimlerinin toplamı: (-3) + (-4) + (-3) + 0 + 5 = -5 bulunur.

  3. Örnek 3Genel terimi aₙ = (6n + k - 2) / (2n + 4) olan (aₙ) dizisi sabit dizi olduğuna göre k + a₂₀ toplamı kaçtır?

    Cevabı göster

    Rasyonel biçimdeki dizinin sabit dizi olması için n'li terimlerin katsayıları oranı ile sabit terimlerin oranı eşit olmalıdır: 6 / 2 = (k - 2) / 4 ⇒ 3 = (k - 2) / 4 ⇒ k - 2 = 12 ⇒ k = 14 bulunur. Sabit dizinin tüm terimleri katsayılar oranına (6 / 2 = 3) eşit olduğundan a₂₀ = 3'tür. Buradan k + a₂₀ = 14 + 3 = 17 elde edilir.

  4. Örnek 4İlk terimi a₁ = 4 olan bir (aₙ) dizisinde her n ∈ Z⁺ için aₙ₊₁ - aₙ = 2n + 1 indirgeme bağıntısı verildiğine göre a₁₀ terimi kaçtır?

    Cevabı göster

    İndirgeme bağıntısında n yerine 1'den 9'a kadar değerler yazılıp taraf tarafa toplanır: n=1 için a₂ - a₁ = 3, n=2 için a₃ - a₂ = 5, ..., n=9 için a₁₀ - a₉ = 19. Eşitlikler taraf tarafa toplandığında ardışık terimler birbirini götürür ve a₁₀ - a₁ = 3 + 5 + 7 + ... + 19 elde edilir. Sağ taraf 1 eksik tek sayılar toplamıdır: 1 + 3 + 5 + ... + 19 = 10² = 100 olduğundan 3 + 5 + ... + 19 = 99 olur. a₁ = 4 yerine yazılırsa a₁₀ - 4 = 99 ⇒ a₁₀ = 103 bulunur.

  5. Örnek 5(Fₙ) Fibonacci sayı dizisinde F₉ = 34 ve F₁₁ = 89 olduğuna göre F₈ terimi kaçtır?

    Cevabı göster

    Fibonacci sayı dizisinde her terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir (Fₙ₊₂ = Fₙ₊₁ + Fₙ). Buna göre F₁₁ = F₁₀ + F₉ bağıntısından 89 = F₁₀ + 34 ⇒ F₁₀ = 55 bulunur. Ardından F₁₀ = F₉ + F₈ bağıntısında değerler yerine yazılırsa 55 = 34 + F₈ ⇒ F₈ = 21 elde edilir.

  6. Örnek 6Üçgensel sayı dizisinin 8. terimi ile 9. teriminin toplamı, karesel sayı dizisinin kaçıncı terimine eşittir ve değeri kaçtır?

    Cevabı göster

    Üçgensel sayı dizisinin genel terimi aₙ = n(n + 1) / 2'dir. 8. terim a₈ = 8·9 / 2 = 36 ve 9. terim a₉ = 9·10 / 2 = 45'tir. İkisinin toplamı a₈ + a₉ = 36 + 45 = 81 = 9² olup karesel sayı dizisinin (bₙ = n²) 9. terimine (b₉ = 81) eşittir.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Aşağıda kuralı verilen ifadelerden hangisi bir gerçek sayı dizisinin genel terimi olabilir?

  2. 2Genel terimi aₙ = (4n - 12) / (n + 2) olan bir gerçek sayı dizisinin kaç terimi negatiftir?

  3. 3Genel terimi aₙ = (3n + m) / (n + 5) olan (aₙ) dizisi sabit dizi olduğuna göre m + a₁₀ toplamı kaçtır?

  4. 4Üçgensel sayı dizisinin 10. terimi (a₁₀) ile karesel sayı dizisinin 6. teriminin (b₆) toplamı kaçtır?

  5. 5Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Her gerçek sayı dizisinin tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi (Z⁺) veya onun Aₖ = {1, 2, ..., k} biçimindeki bir alt kümesidir.
    • Genel terimi aₙ = (-1)ⁿ olan dizi bir sabit dizidir.
    • aₙ = (-1)ⁿ dizisi ile bₙ = cos(n·π) dizisi birbirine eşit dizilerdir.
    • Fibonacci sayı dizisinde 7. terim (F₇) 13'tür.
    • Ardışık iki karesel sayının toplamı daima bir üçgensel sayı verir.

  6. 6Aşağıdaki dizi türlerini karşılık gelen genel terim veya tanımlarla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.

    1. Bir dizide f(n) = aₙ ifadesine dizinin n. terimi veya denir.
    2. Her n ∈ Z⁺ için aₙ = bₙ koşulunu sağlayan iki diziye adı verilir.
    3. Her terimi kendinden önceki bir veya birkaç terim cinsinden yazılan dizilere denir.
    4. İlk iki terimi 1 olan ve Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ bağıntısıyla tanımlanan dizi sayı dizisidir.
    5. Verilen 1'den n'ye kadar olan ardışık doğal sayıların toplamıyla elde edilen diziye sayı dizisi denir.

  8. 8İlk terimi a₁ = 2 olan bir (aₙ) dizisinde her n ∈ Z⁺ için aₙ₊₁ = (n + 1) / n · aₙ indirgeme bağıntısı veriliyor. Buna göre dizinin 15. terimini (a₁₅) adım adım bulunuz.

Kısaca

  • Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi Z⁺ = {1, 2, 3, ...} ve görüntü kümesi gerçek sayılar kümesinin alt kümesi olan fonksiyonlara gerçek sayı dizisi denir; f(n) = aₙ dizinin genel terimidir.
  • Bir ifadenin gerçek sayı dizisi belirtmesi için her n ∈ Z⁺ değerine karşılık tanımsız olmayan bir gerçek sayı üretmesi şarttır.
  • Aₖ = {1, 2, ..., k} kümesinde tanımlı dizilere sonlu dizi; tüm terimleri aynı olan diziye (aₙ = c) sabit dizi; her n ∈ Z⁺ için aₙ = bₙ olan dizilere eşit diziler denir.
  • Her terimi kendinden önceki terimlere bağlı tanımlanan dizilere indirgemeli dizi denir; F₁ = 1, F₂ = 1 ve Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ kuralıyla oluşan (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) dizisi Fibonacci dizisidir.
  • Genel terimi aₙ = n(n+1)/2 olan (1, 3, 6, 10, ...) dizisi üçgensel sayı dizisi; genel terimi bₙ = n² olan (1, 4, 9, 16, ...) dizisi karesel sayı dizisidir ve ardışık iki üçgensel sayının toplamı bir karesel sayı verir.

Bu dersin öteki kaynakları