İçeriğe geç

12. sınıf · Matematik · 9. hafta (9-13 Kasım 2026)

Geometrik Dizi, Özellikleri, İlk n Terim Toplamı, Aritmetik-Geometrik Dizi İlişkisi ve Fibonacci Dizisi (12.2.1.3 & 12.2.1.4)

SAYILAR VE CEBİR: DİZİLER teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu aritmetik dizilerin ardından, ardışık terimleri arasındaki oranın sabit kaldığı geometrik diziler; nüfus artışından bakteri çoğalmasına, radyoaktif yarılanmadan finansal büyüme modellerine kadar pek çok üstel değişimi açıklar. Ayrıca doğadaki ayçiçeği sarmallarında ve çam kozalaklarında karşımıza çıkan Fibonacci dizisi, matematiğin doğa ve estetikle olan kusursuz uyumunu gözler önüne serer.

Geometrik Dizi Tanımı, Ortak Çarpan ve Genel Terim

Ardışık her iki terimi arasındaki oranı sabit olan dizilere geometrik dizi, bu sabit orana ise geometrik dizinin ortak çarpanı (r) adı verilir. Her n ∈ Z⁺ için a_(n+1)a_n = r veya a_(n+1) = a_n · r eşitliği sağlanır.

İlk terimi a_1 ve ortak çarpanı r (r ≠ 0) olan bir (a_n) geometrik dizisinin genel terimi a_n = a_1 · rn-1 bağıntısıyla bulunur. Herhangi iki terim arasındaki geçiş bağıntısı ise a_n = a_p · rn-p (dolayısıyla rn-p = a_na_p) şeklindedir.

Pozitif terimli bir geometrik dizide ilk terim dışındaki her terim, kendisine eşit uzaklıkta bulunan iki terimin geometrik ortalamasına eşittir: a_n = veya a_n2 = a_(n-k) · a_(n+k). Daha genel olarak indisler toplamı birbirine eşit olan terimlerin çarpımları da birbirine eşittir: m + n = p + k ise a_m · a_n = a_p · a_k.

GEOMETRİK DİZİ: ORTAK ÇARPAN, GENEL TERİM VE ÖZELLİKLER Temel Bağıntılar • Ortak Çarpan (r): r = a_(n+1) / a_n a_n = a₁ · r^(n-1) • İki Terim İlişkisi: a_n = a_p · r^(n-p) • Örnek: 3, 6, 12, 24, ... dizisinde a₁ = 3, r = 2 ve a_n = 3 · 2^(n-1) Geometrik Ortalama Özelliği • Eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı: (a_n)² = a_(n-k) · a_(n+k) | a_n = kök(a_(n-k)·a_(n+k)) • İndisler toplamı eşitliği (m + n = p + k): a_m · a_n = a_p · a_k • Örnek: a₂ · a₈ = a₄ · a₆ = (a₅)²
🔍 Büyütmek için dokunun

Geometrik Dizinin İlk n Terim Toplamı (S_n) ve Ortak Özellikler

İlk terimi a_1 ve ortak çarpanı r ≠ 1 olan bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı (S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n), S_n = a_1 · 1 - rn1 - r veya S_n = a_1 · rn - 1r - 1 bağıntısıyla hesaplanır. Eğer ortak çarpan r = 1 ise dizi sabit dizidir ve S_n = n · a_1 olur.

İlk n terim toplamı S_n bilinen bir dizide n. terimi bulmak için aritmetik dizide olduğu gibi a_n = S_n - S_(n-1) (n ≥ 2 için ve a_1 = S_1) genel kuralı geçerlidir. Ayrıca iki toplam oranı sorulduğunda (örneğin S_6S_3), r6 - 1 ifadesi iki kare farkıyla (r3 - 1) · (r3 + 1) şeklinde çarpanlarına ayrılarak S_6S_3 = r3 + 1 sadeleştirmesi yapılır.

Bir dizinin hem aritmetik hem de geometrik dizi olabilmesi için sıfırdan farklı bir sabit dizi olması şarttır: a_1 = a_2 = a_3 = ... = a_n (bu durumda ortak fark d = 0 ve ortak çarpan r = 1 olur).

İLK n TERİM TOPLAMI (S_n) VE HEM ARİTMETİK HEM GEOMETRİK DİZİ İlk n Terim Toplamı (S_n) S_n = a₁ · (r^n - 1) / (r - 1) (r ≠ 1) • Pratik Oran Özelliği: S_(2n) / S_n = (r^(2n) - 1) / (r^n - 1) = r^n + 1 • Örnek: S₆ / S₃ = r³ + 1 | S₈ / S₄ = r⁴ + 1 • r = 1 ise (Sabit dizi): S_n = n · a₁ Hem Aritmetik Hem Geometrik Dizi • Bir dizi aynı anda hem aritmetik hem de geometrik dizi ise SABİT DİZİDİR. a₁ = a₂ = a₃ = ... = k (k ≠ 0) • Ortak Fark: d = 0 • Ortak Çarpan: r = 1
🔍 Büyütmek için dokunun

Gerçek Hayat Problemleri ve Fibonacci Dizisi

İlk iki terimi 1 olan ve üçüncü terimden itibaren her terimi kendisinden önceki iki terimin toplamına eşit olan özel indirgemeli diziye Fibonacci dizisi denir: F_1 = 1, F_2 = 1 ve n ≥ 3 için F_n = F_(n-1) + F_(n-2). Dizinin terimleri 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... şeklinde ilerler.

Fibonacci dizisinde terimler büyüdükçe ardışık iki terimin birbirine oranı (F_(n+1)F_n), doğada ve sanatta estetik uyum ölçütü kabul edilen altın orana (φ = 1 + 2 ≈ 1,618) yaklaşır. Ayçiçeğinin çekirdek dizilimi, çam kozalağının pulları, deniz kabuğu (nautilus) sarmalı ve ağaç dallarının çatallanması Fibonacci sayılarını takip eder.

Gerçek hayat problemlerinde; sabit miktarda artan veya azalan durumlar (kumbaraya her gün eşit para atılması, tiyatro salonu koltuk sayıları) aritmetik dizi ile modellenirken; sabit bir kat veya yüzde oranında artan/azalan durumlar (bakteri bölünmesi, radyoaktif bozunma, bileşik getiri, topun her zıplayışta belirli oranda yükselmesi) geometrik dizi ile modellenir.

FİBONACCİ DİZİSİ, ALTIN ORAN VE GERÇEK HAYAT MODELLERİ Fibonacci Dizisi (F_n) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... • İndirgeme Bağıntısı: F_n = F_(n-1) + F_(n-2) • Altın Oran: φ = (1 + kök(5)) / 2 ≈ 1,618 • Özel Özdeşlik: (F_n)² - F_(n-1)·F_(n+1) = (-1)^(n-1) Doğa: Ayçiçeği, çam kozalağı, papatya yaprakları Gerçek Hayat Problem Modelleri • Sabit Farklı Değişim (Aritmetik): Her hafta sabit 50 soru artırma, doğrusal amortisman, konferans salonu sıra düzeni • Sabit Oranlı Değişim (Geometrik): Her saat 2 katına çıkan bakteri kültürü, radyoaktif yarılanma, fraktal (Sierpinski) alanı Katlanarak büyüme/küçülme → Geometrik Dizi
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Pozitif terimli bir (a_n) geometrik dizisinde a_3 = 6 ve a_6 = 162 olduğuna göre bu dizinin ortak çarpanını (r) ve ilk terimini (a_1) bulunuz.

    Cevabı göster

    Geometrik dizide a_6 = a_3 · r6-3 → 162 = 6 · r3 → r3 = 27 → r = 3 bulunur. İlk terim için a_3 = a_1 · r2 bağıntısında değerler yerine yazılırsa: 6 = a_1 · 32 → 6 = 9 · a_1 → a_1 = 6/9 = 2/3 olarak bulunur.

  2. Örnek 2İlk terimi a_1 = 4 ve ortak çarpanı r = 2 olan bir geometrik dizinin ilk 6 teriminin toplamı (S_6) kaçtır?

    Cevabı göster

    İlk n terim toplamı formülü S_n = a_1 · (rn - 1) / (r - 1) kullanılır. n = 6, a_1 = 4 ve r = 2 için: S_6 = 4 · (26 - 1) / (2 - 1) = 4 · (64 - 1) / 1 = 4 · 63 = 252 olarak bulunur.

  3. Örnek 3Bir (a_n) geometrik dizisinde ilk 6 terim toplamının ilk 3 terim toplamına oranı S_6 / S_3 = 28 olduğuna göre dizinin ortak çarpanı r kaçtır?

    Cevabı göster

    Geometrik dizide S_6 / S_3 = (r6 - 1) / (r3 - 1) = r3 + 1'dir. Buna göre r3 + 1 = 28 → r3 = 27 → r = 3 olarak bulunur.

  4. Örnek 4Birbirinden veya sıfırdan farklı (2x - 4, x + 2, 3y - 1) terimleri hem aritmetik hem de geometrik bir dizinin ardışık üç terimi olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?

    Cevabı göster

    Hem aritmetik hem geometrik olan bir dizinin tüm terimleri birbirine eşittir (sabit dizidir). Buna göre 2x - 4 = x + 2 → x = 6 bulunur. Terim değeri 6 + 2 = 8'dir. İkinci eşitlikten 3y - 1 = 8 → 3y = 9 → y = 3 bulunur. Buradan x + y = 6 + 3 = 9 elde edilir.

  5. Örnek 5(F_n) Fibonacci dizisinde F_9 = 34 ve F_11 = 89 olduğuna göre F_10 ve F_8 terimlerinin değerlerini bulunuz.

    Cevabı göster

    Fibonacci dizisinde her terim kendisinden önceki iki terimin toplamıdır: F_11 = F_10 + F_9 → 89 = F_10 + 34 → F_10 = 55 bulunur. Aynı kuraldan F_10 = F_9 + F_8 → 55 = 34 + F_8 → F_8 = 21 olarak hesaplanır.

  6. Örnek 6Laboratuvarda incelenen bir bakteri kültüründeki bakteri sayısı her 20 dakikada bir 2 katına çıkmaktadır. Başlangıçta ortamda 500 bakteri bulunduğuna göre 2 saatin sonunda ortamda kaç bakteri bulunur?

    Cevabı göster

    2 saat = 120 dakikadır ve 120 / 20 = 6 kez bölünme (katlanma) gerçekleşir. Başlangıç sayısı a_1 = 500 ve ortak çarpan r = 2 olduğundan 6. bölünme sonundaki bakteri sayısı a_7 = a_1 · r6 = 500 · 26 = 500 · 64 = 32000 bakteri olur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Pozitif terimli bir (a_n) geometrik dizisinde a_2 = 3 ve a_5 = 81 olduğuna göre bu dizinin 4. terimi (a_4) kaçtır?

  2. 2Bir (a_n) geometrik dizisinde a_4 · a_10 = 64 ve dizinin tüm terimleri pozitif gerçek sayılar olduğuna göre a_7 teriminin değeri kaçtır?

  3. 3İlk terimi 3 ve ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin ilk 5 teriminin toplamı (S_5) kaçtır?

  4. 4Sıfırdan farklı gerçek sayılardan oluşan (a - 3, 2a - 7, 3b + 1) sonlu dizisi hem aritmetik hem de geometrik dizi belirttiğine göre a + b toplamı kaçtır?

  5. 5

    • İlk terimi a_1 ve ortak çarpanı r olan bir geometrik dizinin genel terimi a_n = a_1 · r^(n-1) bağıntısıyla bulunur.
    • Pozitif terimli bir geometrik dizide her terim, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir.
    • Sıfırdan farklı bir sabit dizi aynı zamanda ortak farkı 0 olan bir aritmetik ve ortak çarpanı 1 olan bir geometrik dizidir.
    • Fibonacci dizisinde üçüncü terimden itibaren her terim kendisinden önceki iki terimin çarpımına eşittir.
    • Fibonacci dizisinde terimler büyüdükçe ardışık iki terimin oranı altın orana (yaklaşık 1,618) yaklaşır.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Pozitif terimli bir geometrik dizide a_3 = 4 ve a_5 = 36 ise dördüncü terim olan a_4 değeri sayısına eşittir.
    2. Bir dizinin hem aritmetik hem de geometrik dizi olması için ortak çarpanının olması gerekir.
    3. Fibonacci dizisinin ilk yedi terimi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 olduğuna göre sekizinci terimi sayısıdır.
    4. Geometrik dizide ilk 6 terim toplamının ilk 3 terim toplamına oranı S_6 / S_3 = + 1 bağıntısına eşittir.
    5. Her saat sonunda sayısını 3 katına çıkaran bir hücre kültürünün büyümesi dizi modeliyle açıklanır.

  8. 8Belirli bir yükseklikten bırakılan esnek bir top, yere her çarptığında bir önceki yüksekliğinin 1/2'si kadar yükselmektedir. Top ilk bırakıldığında 64 metre yükseklikte olduğuna göre, 5. kez yere çarpana kadar düşeyde aldığı toplam yolu ve 5. çarpmadan sonra çıkabileceği maksimum yüksekliği adım adım hesaplayınız.

Kısaca

  • Ardışık terimleri arasındaki oranı sabit (a_(n+1) / a_n = r) olan dizilere geometrik dizi denir; genel terimi a_n = a_1 · r^(n-1) bağıntısıyla bulunur.
  • Pozitif terimli geometrik dizide her terim kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasıdır: a_n = .
  • Geometrik dizinin ilk n terim toplamı (r ≠ 1 için) S_n = a_1 · (r^n - 1) / (r - 1) formülüyle hesaplanır ve S_(2n) / S_n = r^n + 1 özdeşliği geçerlidir.
  • Sıfırdan farklı bir sabit dizi (a_n = k), hem aritmetik dizi (d = 0) hem de geometrik dizi (r = 1) belirtir.
  • Fibonacci dizisi F_1 = 1, F_2 = 1 ve F_n = F_(n-1) + F_(n-2) bağıntısıyla tanımlanır; ardışık terimlerinin oranı altın orana (yaklaşık 1,618) yaklaşır.

Bu dersin öteki kaynakları