İçeriğe geç

12. sınıf · Matematik · 13. hafta (14-18 Aralık 2026)

Trigonometrik Denklemlerin Çözüm Kümeleri: sin f(x) = sin a, cos f(x) = cos a, tan f(x) = tan a, cot f(x) = cot a ve a·sin x + b·cos x = c Biçimindeki Denklemler (12.3.2.1)

GEOMETRİ: TRİGONOMETRİ teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Ses dalgalarından alternatif akım devrelerine, gezegenlerin yörünge hareketlerinden sarkaç salınımlarına kadar periyodik olayların tamamı trigonometrik fonksiyonlarla modellenir. Dokuzuncu yüzyılda Harran ve Rakka'da yaptığı astronomik gözlemlerle sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant bağıntılarını sistemleştiren büyük İslam matematikçisi El-Battânî'nin öncülük ettiği trigonometrik denklemler, bir periyodik sistemin hangi açı veya zaman değerlerinde istenen konuma ulaştığını tam olarak belirlememizi sağlar.

Sinüs ve Kosinüs Denklemlerinin Çözüm Kümeleri

İçerisinde trigonometrik ifadeler bulunan ve bilinmeyeni açı olan denklemlere trigonometrik denklem denir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonları [-1, 1] kapalı aralığında değer aldığı için sin f(x) = a ve cos f(x) = a denklemlerinin gerçek sayılarda çözüm kümesinin boş küme olmaması için -1 ≤ a ≤ 1 olması şarttır; |a| > 1 ise çözüm kümesi boş kümedir (ÇK = ∅).

Bir α açısı için sin α = a olmak üzere sin f(x) = sin α denkleminin çözümünde, birim çemberin birinci ve ikinci bölgelerinde sinüs değerlerinin birbirine eşit olduğu (sin(π - α) = sin α) özelliğinden yararlanılır. Sinüsün esas periyodu 2π (360°) olduğundan genel çözüm kümesi (k ∈ Z tam sayı olmak üzere) iki daldan oluşur: f(x) = α + 2kπ veya f(x) = (π - α) + 2kπ (derece cinsinden f(x) = α + 360°·k veya f(x) = (180° - α) + 360°·k).

Bir α açısı için cos α = a olmak üzere cos f(x) = cos α denkleminin çözümünde ise birim çemberin birinci ve dördüncü bölgelerinde kosinüs değerlerinin eşit olduğu (cos(-α) = cos α) kullanılır. Kosinüs denkleminin genel çözüm kümesi (k ∈ Z için) f(x) = α + 2kπ veya f(x) = -α + 2kπ (dereceyle f(x) = ±α + 360°·k) şeklindedir. Eğer denklem sin f(x) = cos g(x) biçiminde verilmişse tümler açı özdeşliği kullanılarak cos g(x) = sin(π2 - g(x)) veya sin f(x) = cos(π2 - f(x)) dönüşümü yapılır.

SİNÜS VE KOSİNÜS DENKLEMLERİNİN GENEL ÇÖZÜM KÜMELERİ (12.3.2.1) 1. sin f(x) = sin α Denklemi (-1 ≤ a ≤ 1) • Birim çemberde I. ve II. bölgede sinüs aynı işaretlidir: f(x) = α + 2kπ (veya α + 360°·k) f(x) = (π - α) + 2kπ (veya 180° - α + 360°·k) • Özel Durumlar (k ∈ Z): • sin x = 0 ⇒ x = kπ | sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2kπ • sin x = -1 ⇒ x = 3π/2 + 2kπ (veya -π/2 + 2kπ) 2. cos f(x) = cos α Denklemi (-1 ≤ a ≤ 1) • Birim çemberde I. ve IV. bölgede kosinüs aynı işaretlidir: f(x) = α + 2kπ (veya α + 360°·k) f(x) = -α + 2kπ (veya -α + 360°·k) • Özel Durumlar ve Dönüşüm (k ∈ Z): • cos x = 0 ⇒ x = π/2 + kπ | cos x = 1 ⇒ x = 2kπ • sin A = cos B ise cos B = sin(π/2 - B) yazılır!
🔍 Büyütmek için dokunun

Tanjant, Kotanjant ve Homojen Trigonometrik Denklemler

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının görüntü kümesi tüm gerçek sayılar (R) olduğu için her a ∈ R gerçek sayısı için tan f(x) = a ve cot f(x) = a denklemlerinin çözümü vardır. Birim çemberde I. ve III. bölgelerde (aralarında π = 180° fark olan noktalarda) tanjant ve kotanjant aynı değeri aldığından esas periyotları π (180°) değeridir. Bu nedenle tan f(x) = tan α ve cot f(x) = cot α denklemlerinin genel çözüm kümesi tek bir dal ile ifade edilir: f(x) = α + kπ (veya f(x) = α + 180°·k, k ∈ Z).

Rasyonel veya tanjant/kotanjant içeren trigonometrik denklemlerde kökler bulunduktan sonra tanımsızlık kontrolü yapılması zorunludur. Çünkü tan x = sin xcos x ifadesi cos x = 0 (x = π2 + kπ) değerlerinde; cot x = cos xsin x ifadesi ise sin x = 0 (x = kπ) değerlerinde tanımsızdır. Bulunan köklerden denklemin herhangi bir terimini veya paydasını tanımsız yapan değerler çözüm kümesinden çıkarılır.

Sağ tarafı sıfır olan a·sin x + b·cos x = 0 şeklindeki birinci dereceden homojen denklemlerde her iki taraf cos x ile bölünerek a·tan x + b = 0 ⇒ tan x = -ba denklemine ulaşılır. Benzer biçimde a·sin2 x + b·sin x·cos x + c·cos2 x = 0 şeklindeki ikinci dereceden homojen denklemlerde her iki taraf cos2 x ile bölünerek a·tan2 x + b·tan x + c = 0 ikinci dereceden denklemine dönüştürülür ve çarpanlarına ayrılarak çözülür. Bu özdeşliklerin temelleri İslam astronomu El-Battânî (858–929) tarafından ortaya konulmuştur.

TANJANT, KOTANJANT VE HOMOJEN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ tan f(x) = tan α ve cot f(x) = cot α • Tanjant ve kotanjantın esas periyodu π (180°) olduğu için tek bir çözüm dalı yeterlidir (a ∈ R): f(x) = α + kπ (veya α + 180°·k, k ∈ Z) • Önemli Uyarı (Tanımsızlık Kontrolü): Paydayı sıfır yapan (tan için π/2 + kπ, cot için kπ) değerler çözüm kümesinden mutlaka çıkarılır! Homojen ve Çarpanlara Ayrılan Denklemler • 1. Dereceden Homojen (a·sin x + b·cos x = 0): Her iki taraf cos x'e bölünür: tan x = -b / a • 2. Dereceden Homojen: a·sin²x + b·sin x·cos x + c·cos²x = 0 denkleminde cos²x'e bölünerek a·tan²x + b·tan x + c = 0 çözülür. • El-Battânî (858–929): Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant özdeşliklerini astronomik denklemlerde ilk kullanan İslam âlimidir.
🔍 Büyütmek için dokunun

Lineer Trigonometrik Denklemler: a·sin x + b·cos x = c

Katsayıları sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere a·sin x + b·cos x = c biçimindeki denklemlere lineer (doğrusal) trigonometrik denklem denir. Trigonometri konularından bilindiği üzere A(x) = a·sin x + b·cos x ifadesinin alabileceği en büyük değer +, en küçük değer ise - değeridir.

Dolayısıyla a·sin x + b·cos x = c denkleminin gerçek sayılarda çözüm kümesinin boş küme olmaması (en az bir gerçek kökünün bulunması) için - ≤ c ≤ + yani karesi alındığında c2 ≤ a2 + b2 eşitsizliğinin sağlanması gerekir. Eğer c2 > a2 + b2 ise denklemin gerçek sayılarda kökü yoktur (ÇK = ∅).

Çözüm şartını sağlayan a·sin x + b·cos x = c denklemini çözmek için yardımcı açı yöntemi kullanılır: Eşitliğin her iki tarafı a katsayısına bölünür ve ba = tan φ = sin φcos φ dönüşümü yapılır. Payda eşitlenip toplam formülü uygulandığında sin x·cos φ + cos x·sin φ = sin(x + φ) elde edilir ve denklem sin(x + φ) = c·cos φa (veya doğrudan her iki taraf R = değerine bölünerek sin(x + φ) = cR ya da cos(x - θ) = cR) temel denklemine indirgenerek çözülür.

LİNEER TRİGONOMETRİK DENKLEM: a·sin x + b·cos x = c Çözüm (Gerçek Kök) Varlık Şartı • A(x) = a·sin x + b·cos x ifadesinin alabileceği en büyük değer +kök(a² + b²), en küçük değer ise -kök(a² + b²) değeridir. c² ≤ a² + b² ⇒ Çözüm Kümesi Boş Değil! • Eğer c² > a² + b² ise denklemin gerçek sayılarda çözümü yoktur: ÇK = ∅ Yardımcı Açı (tan φ = b / a) Yöntemi 1. Denklemde her iki taraf a sayısına bölünür ve b / a = tan φ = sin φ / cos φ yardımcı açısı tanımlanır. 2. Toplam formülü uygulanır: sin x · cos φ + cos x · sin φ = sin(x + φ) 3. Veya doğrudan R = kök(a² + b²) ile bölünerek sin(x + φ) = c / kök(a² + b²) temel sinüs denklemine dönüştürülüp çözülür.
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1İki kat açı içeren sin(2x) = 2 trigonometrik denkleminin [0, π] kapalı aralığındaki köklerinin toplamı kaç radyandır?

    Cevabı göster

    Öncelikle 2 = sin(π3) olduğundan denklem sin(2x) = sin(π3) şeklinde yazılır. Birinci dal: 2x = π3 + 2kπ ⇒ x = π6 + kπ; buradan k = 0 için x₁ = π6 bulunur. İkinci dal: 2x = (π - π3) + 2kπ = 2π3 + 2kπ ⇒ x = π3 + kπ; buradan k = 0 için x₂ = π3 bulunur. [0, π] aralığındaki köklerin toplamı π6 + π3 = π2 radyandır.

  2. Örnek 2cos(3x - 20°) = sin(x + 30°) denklemini sağlayan en küçük pozitif x dar açısı kaç derecedir?

    Cevabı göster

    Tümler açı özdeşliği gereği sin(x + 30°) = cos(90° - (x + 30°)) = cos(60° - x) yazılır. Böylece denklem cos(3x - 20°) = cos(60° - x) olur. Birinci daldan: 3x - 20° = 60° - x + 360°·k ⇒ 4x = 80° + 360°·k ⇒ x = 20° + 90°·k (k = 0 için x = 20°). İkinci daldan: 3x - 20° = -(60° - x) + 360°·k ⇒ 2x = -40° + 360°·k ⇒ x = -20° + 180°·k (k = 1 için x = 160°). En küçük pozitif dar açı 20° olarak bulunur.

  3. Örnek 3tan(2x) · tan(x) = 1 denkleminin (0, π2) açık aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

    Cevabı göster

    Her iki taraf tan(x)'e bölünürse tan(2x) = 1tan x = cot(x) elde edilir. cot(x) = tan(π2 - x) olduğundan denklem tan(2x) = tan(π2 - x) biçimine dönüşür. Tanjant denklemi kuralından 2x = π2 - x + kπ ⇒ 3x = π2 + kπ ⇒ x = π6 + kπ3 bulunur. (0, π2) aralığında k = 0 için x = π6 (30°) elde edilir; bu değer tan(x) ve tan(2x) ifadelerini tanımsız yapmadığı için çözüm kümesi π6 değerinden oluşur.

  4. Örnek 4İkinci dereceden homojen sin2 x - 4·sin x·cos x + 3·cos2 x = 0 denklemini sağlayan tan x değerlerinin toplamı kaçtır?

    Cevabı göster

    Denklemde cos x = 0 değeri eşitliği sağlamadığı için her iki taraf cos2 x ile bölünür: tan2 x - 4·tan x + 3 = 0 elde edilir. İfade çarpanlarına ayrıldığında (tan x - 1)·(tan x - 3) = 0 olur. Buradan tan x = 1 veya tan x = 3 bulunur; alabileceği değerlerin toplamı 1 + 3 = 4'tür.

  5. Örnek 5Gerçek sayılarda tanımlı 3·sin x - 4·cos x = 2m - 1 trigonometrik denkleminin çözüm kümesinin boş küme olmaması için m parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

    Cevabı göster

    a·sin x + b·cos x = c denkleminin gerçek kökünün bulunması için -R ≤ c ≤ +R yani - ≤ 2m - 1 ≤ + olmalıdır. Buradan -5 ≤ 2m - 1 ≤ 5 ⇒ -4 ≤ 2m ≤ 6 ⇒ -2 ≤ m ≤ 3 bulunur. Bu aralıktaki m tam sayıları -2, -1, 0, 1, 2, 3 olup toplamları 3'tür.

  6. Örnek 6·sin x + cos x = denkleminin [0, 2π) aralığındaki köklerini yardımcı açı yöntemiyle bulunuz.

    Cevabı göster

    Katsayılar için R = = 2 olduğundan her iki taraf 2'ye bölünür: 2·sin x + 12·cos x = 2. Burada 2 = cos(π6) ve 12 = sin(π6) yazılırsa sin x·cos(π6) + cos x·sin(π6) = sin(x + π6) = sin(π4) elde edilir. Birinci daldan x + π6 = π4 ⇒ x₁ = π12 (15°); ikinci daldan x + π6 = π - π4 = 3π4 ⇒ x₂ = 7π12 (105°) bulunur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Verilen 2·cos(2x) - 1 = 0 trigonometrik denkleminin [0, π] kapalı aralığındaki köklerinin toplamı kaç radyandır?

  2. 2sin(2x) - cos(x) = 0 denkleminin [0, 2π) aralığında kaç farklı gerçek kökü vardır?

  3. 3Doğrusal 5·sin x + 12·cos x = k - 2 trigonometrik denkleminin gerçek sayılarda çözüm kümesinin boş küme olması (ÇK = ∅) için k sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  4. 4sin x + ·cos x = 2 denklemini sağlayan [0, 2π) aralığındaki x açısı kaç radyandır?

  5. 5

    • sin f(x) = a ve cos f(x) = a denklemlerinin gerçek sayılarda kökünün bulunması için a sayısının [-1, 1] kapalı aralığında olması gerekir.
    • Tanjant ve kotanjant denklemlerinin genel çözüm kümesi yazılırken esas periyot olarak 2kπ (360°·k) eklenir.
    • a·sin x + b·cos x = c denkleminin gerçek sayılarda çözümünün olabilmesi için c2 ≤ a2 + b2 eşitsizliği sağlanmalıdır.
    • sin x · cos x = sin x denkleminde her iki taraftaki sin x çarpanlarını sadeleştirmek kök kaybına yol açmaz.
    • Dokuzuncu yüzyılda sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant bağıntılarını astronomik denklemlerde sistemleştiren İslam âlimi El-Battânî'dir.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Birim çemberde sin x = 1 denklemini [0, 2π) aralığında sağlayan tek açı değeri derecedir.
    2. Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının esas periyodu radyan (180 derece) olduğu için genel çözümleri tek dal hâlinde yazılır.
    3. Rasyonel trigonometrik denklemlerde paydayı yapan açı değerleri çözüm kümesinden çıkarılır.
    4. a·sin x + b·cos x = c lineer denklemini çözerken ba = tan φ eşitliğiyle açı yöntemi uygulanır.
    5. Trigonometrik özdeşlikleri ve küresel trigonometri denklemlerini sistemleştiren Harranlı ünlü İslam matematikçisi olarak bilinir.

  8. 8sin x - cos x = 1 lineer trigonometrik denkleminin [0, 2π) aralığındaki çözüm kümesini yardımcı açı (veya her iki tarafın karesini alma ve kontrol etme) yöntemiyle adım adım bulunuz.

Kısaca

  • sin f(x) = sin α denkleminin genel çözümü f(x) = α + 2kπ veya f(x) = (π - α) + 2kπ; cos f(x) = cos α denkleminin genel çözümü ise f(x) = ±α + 2kπ (k ∈ Z) şeklindedir.
  • tan f(x) = tan α ve cot f(x) = cot α denklemlerinin genel çözümü f(x) = α + kπ olup paydayı sıfır yapan tanımsız değerler çözüm kümesinden çıkarılır.
  • Ortak çarpan içeren denklemlerde kök kaybını önlemek için sadeleştirme yapılmaz, tüm terimler bir tarafa toplanarak çarpanlarına ayrılır.
  • a·sin x + b·cos x = 0 homojen denklemi cos x'e bölünerek tan x = -ba eşitliğiyle; 2. dereceden homojen denklemler ise cos2 x'e bölünerek çözülür.
  • a·sin x + b·cos x = c lineer denkleminin gerçek kökünün olması için c2 ≤ a2 + b2 olmalı ve çözümde ba = tan φ yardımcı açı dönüşümü kullanılmalıdır.

Bu dersin öteki kaynakları