İçeriğe geç

12. sınıf · Matematik · 10. hafta (23-27 Kasım 2026)

İki Açının Toplam ve Farkının Trigonometrik Oranları: sin(a±b), cos(a±b), tan(a±b), cot(a±b) Formülleri ve Geometrik Uygulamaları (12.3.1.1)

GEOMETRİ: TRİGONOMETRİ teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Bilinen özel açıların (30°, 45°, 60°) yardımıyla 15°, 75° veya 105° gibi açıların trigonometrik değerlerini tam olarak hesaplayabilmek ve karmaşık trigonometrik ifadeleri sadeleştirebilmek için toplam ve fark formülleri kullanılır. Birim çember ve kosinüs teoreminden elde edilen bu bağıntılar, hem analitik geometride iki doğru arasındaki açının bulunmasında hem de mühendislik hesaplamalarında temel araçtır.

Sinüs ve Kosinüs Toplam-Fark Formülleri

Trigonometrik fonksiyonlar doğrusal (lineer) olmadığı için sin(a + b) ≠ sin(a) + sin(b) ve cos(a + b) ≠ cos(a) + cos(b) eşitsizlikleri geçerlidir. Birim çember üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık bağıntısı ile Kosinüs Teoremi birbirine eşitlendiğinde kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının toplam-fark formülleri elde edilir.

Sinüs Toplam ve Fark Formülleri: Sinüs fonksiyonu paylaşımcı ve uyumlu bir yapı gösterir; terimlerde bir sinüs bir kosinüs çarpılır ve aradaki işaret korunur: • sin(a + b) = sin(a)·cos(b) + cos(a)·sin(b) • sin(a - b) = sin(a)·cos(b) - cos(a)·sin(b)

Kosinüs Toplam ve Fark Formülleri: Kosinüs fonksiyonunda önce kosinüsler, sonra sinüsler birbiriyle çarpılır ve aradaki işaret zıt işaretliye dönüşür: • cos(a + b) = cos(a)·cos(b) - sin(a)·sin(b) • cos(a - b) = cos(a)·cos(b) + sin(a)·sin(b) Bu formüllerle 15° = 45° - 30° veya 75° = 45° + 30° dönüşümleri yapılarak özel olmayan açıların trigonometrik değerleri kolayca hesaplanır.

SİNÜS VE KOSİNÜS TOPLAM - FARK FORMÜLLERİ SİNÜS FORMÜLLERİ (Paylaşımcı & Aynı İşaret) sin(a + b) = sin(a)·cos(b) + cos(a)·sin(b) sin(a - b) = sin(a)·cos(b) - cos(a)·sin(b) • sin(15°) = sin(45° - 30°) = (kök(6) - kök(2)) / 4 • sin(75°) = sin(45° + 30°) = (kök(6) + kök(2)) / 4 Kodlama: "sin·cos ± cos·sin" (İşaret değişmez) KOSİNÜS FORMÜLLERİ (Bencil & Zıt İşaret) cos(a + b) = cos(a)·cos(b) - sin(a)·sin(b) cos(a - b) = cos(a)·cos(b) + sin(a)·sin(b) • cos(15°) = cos(45° - 30°) = (kök(6) + kök(2)) / 4 • cos(75°) = cos(45° + 30°) = (kök(6) - kök(2)) / 4 Kodlama: "cos·cos ∓ sin·sin" (İşaret ters döner)
🔍 Büyütmek için dokunun

Tanjant ve Kotanjant Toplam-Fark Formülleri

Sinüs toplam-fark formüllerinin kosinüs toplam-fark formüllerine oranlanmasıyla (tan(a ± b) = sin(a ± b)cos(a ± b)) ve pay ile paydanın cos(a)·cos(b) çarpımına bölünmesiyle tanjant fonksiyonunun toplam ve fark bağıntıları elde edilir.

Tanjant Toplam ve Fark Formülleri: • tan(a + b) = tan(a) + tan(b)1 - tan(a)·tan(b) • tan(a - b) = tan(a) - tan(b)1 + tan(a)·tan(b) Pay kısmında açılar arasındaki işlem işareti korunurken, payda kısmında 1 ile tanjantlar çarpımı arasındaki işaret tersine döner.

Kotanjant Toplam ve Fark Formülleri: Kotanjant sorularında genellikle önce tan(a ± b) hesaplanıp ardından cot(a ± b) = 1tan(a ± b) çarpmaya göre tersi alınır. Doğrudan formülleri ise cot(a + b) = cot(a)·cot(b) - 1cot(b) + cot(a) ve cot(a - b) = cot(a)·cot(b) + 1cot(b) - cot(a) şeklindedir.

TANJANT VE KOTANJANT TOPLAM - FARK BAĞINTILARI TANJANT TOPLAM VE FARK tan(a + b) = [tan(a) + tan(b)] / [1 - tan(a)·tan(b)] tan(a - b) = [tan(a) - tan(b)] / [1 + tan(a)·tan(b)] • tan(15°) = tan(45° - 30°) = 2 - kök(3) • tan(75°) = tan(45° + 30°) = 2 + kök(3) ÖZEL DURUMLAR VE PRATİK İPUÇLARI • tan(45° + a) = (1 + tan(a)) / (1 - tan(a)) • tan(45° - a) = (1 - tan(a)) / (1 + tan(a)) • Kotanjant Geçişi: cot(a ± b) = 1 / tan(a ± b) • Eğer a + b = 45° ise: (1 + tan(a)) · (1 + tan(b)) = 2 tan(90°) tanımsız ise payda: 1 - tan(a)·tan(b) = 0
🔍 Büyütmek için dokunun

Toplam ve Fark Formüllerinin Geometrik Şekillerde Uygulamaları

Kare, dikdörtgen, dik üçgen veya birim kareli zemin üzerinde verilen ve dik üçgenin içinde yer almayan bir θ açısının trigonometrik oranı (özellikle tan(θ) veya cot(θ)) sorulduğunda, θ açısı dik üçgenlerin dar açıları olan iki açının toplamı (θ = α + β) veya farkı (θ = α - β) biçiminde yazılır.

Üçgende 'komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamı bir dış açının ölçüsüne eşittir' (dış açı = α + β) veya doğrusal açı (α + θ + β = 180° → θ = 180° - (α + β)) özellikleri sıklıkla kullanılır. Bütünler açılarda tan(180° - x) = -tan(x) ve cos(180° - x) = -cos(x) olduğu unutulmamalıdır.

Dik üçgenlerdeki kenar uzunluklarından tan(α) ve tan(β) oranları kolayca okunur ve tanjant toplam veya fark formülünde yerine yazılarak istenen trigonometrik değer bulunur.

KARE VE DİK ÜÇGEN ÜZERİNDE TOPLAM-FARK UYGULAMALARI Kare İçinde Açı Taşıma (θ = 90° - (α + β)) A B C D α θ β • α + θ + β = 90° • θ = 90° - (α + β) • tan(θ) = cot(α + β) • tan(α) = 1/2, tan(β) = 1/2 • tan(θ) = 3 / 4 Geometrik Çözüm Stratejisi (3 Adım) 1. Adım: İstenen açıyı (θ), dik üçgenlerin içindeki dar açıların (α ve β) toplamı veya farkı olarak yaz. 2. Adım: Dik üçgenlerden karşı/komşu oranlarıyla tan(α) ve tan(β) değerlerini rasyonel olarak bul. 3. Adım: tan(α ± β) formülünde yerine koy; eğer sin(θ) veya cos(θ) isteniyorsa dik üçgen çiz! İki iç açının toplamı komşu olmayan dış açıya eşittir.
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1sin(23°)·cos(37°) + cos(23°)·sin(37°) ifadesinin eşitini toplam formülü yardımıyla hesaplayınız.

    Cevabı göster

    Verilen ifade sin(a + b) = sin(a)·cos(b) + cos(a)·sin(b) toplam açılımına uymaktadır (a = 23° ve b = 37°). Buna göre ifade sin(23° + 37°) = sin(60°) değerine eşittir. Özel açılardan sin(60°) = / 2 bulunur.

  2. Örnek 2cos(70°)·cos(25°) + sin(70°)·sin(25°) ifadesinin sayısal değerini bulunuz.

    Cevabı göster

    Önce kosinüsler sonra sinüsler çarpıldığı ve aradaki işaret artı (+) olduğu için bu ifade cos(a - b) = cos(a)·cos(b) + sin(a)·sin(b) fark açılımıdır. Buradan cos(70° - 25°) = cos(45°) = / 2 elde edilir.

  3. Örnek 3tan(a) = 2 ve tan(b) = 1/3 olduğuna göre tan(a + b) ve tan(a - b) değerlerini hesaplayınız.

    Cevabı göster

    Toplam formülünden tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)·tan(b)) = (2 + 1/3) / (1 - 2·(1/3)) = (7/3) / (1/3) = 7 bulunur. Fark formülünden tan(a - b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a)·tan(b)) = (2 - 1/3) / (1 + 2/3) = (5/3) / (5/3) = 1 elde edilir.

  4. Örnek 4Dar açılı a ve b açıları için sin(a) = 3/5 ve cos(b) = 12/13 olduğuna göre cos(a + b) değerini hesaplayınız.

    Cevabı göster

    Dar açılı dik üçgenlerden; sin(a) = 3/5 ise (3-4-5 üçgeni) cos(a) = 4/5 bulunur. cos(b) = 12/13 ise (5-12-13 üçgeni) sin(b) = 5/13 bulunur. Kosinüs toplam formülünden cos(a + b) = cos(a)·cos(b) - sin(a)·sin(b) = (4/5)·(12/13) - (3/5)·(5/13) = 48/65 - 15/65 = 33/65 elde edilir.

  5. Örnek 5tan(75°) değerini toplam formülünü kullanarak köklü ifade biçiminde hesaplayınız.

    Cevabı göster

    75° = 45° + 30° olarak yazılır. tan(45° + 30°) = (tan(45°) + tan(30°)) / (1 - tan(45°)·tan(30°)) = (1 + 1/) / (1 - 1/) = ( + 1) / ( - 1). Pay ve payda ( + 1) eşleniğiyle çarpılırsa (3 + 2 + 1) / (3 - 1) = (4 + 2) / 2 = 2 + bulunur.

  6. Örnek 6ABCD karesinde E noktası [BC] kenarının, F noktası ise [CD] kenarının orta noktasıdır. m(EAF) = θ olduğuna göre tan(θ) değeri kaçtır?

    Cevabı göster

    Karenin bir kenarına 2 birim diyelim; bu durumda |BE| = |EC| = |CF| = |FD| = 1 birim olur. m(BAE) = α ve m(DAF) = β dersek dik üçgenlerden tan(α) = 1/2 ve tan(β) = 1/2 bulunur. tan(α + β) = (1/2 + 1/2) / (1 - (1/2)·(1/2)) = 1 / (3/4) = 4/3'tür. Köşe açısı α + θ + β = 90° olduğundan tan(θ) = cot(α + β) = 1 / (4/3) = 3/4 bulunur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1sin(42°)·cos(18°) + cos(42°)·sin(18°) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

  2. 2(tan(52°) - tan(7°)) / (1 + tan(52°)·tan(7°)) ifadesinin sadeleştirilmiş değeri kaçtır?

  3. 3Dar açılı x ve y açıları için tan(x) = 1/2 ve tan(y) = 1/3 olduğuna göre x + y toplamı kaç derecedir?

  4. 4(cos(50°)·cos(10°) + sin(50°)·sin(10°)) / sin(40°) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  5. 5

    • Her a ve b gerçel sayısı için sin(a + b) = sin(a)·cos(b) + cos(a)·sin(b) özdeşliği geçerlidir.
    • Kosinüs toplam formülü cos(a + b) = cos(a)·cos(b) + sin(a)·sin(b) şeklindedir.
    • tan(15°) değeri tan(45° - 30°) fark formülü yardımıyla 2 - olarak hesaplanır.
    • (1 + tan(x)) / (1 - tan(x)) ifadesi tan(45° + x) toplam açılımına eşittir.
    • Her a ve b açısı için sin(a + b) değeri sin(a) + sin(b) toplamına eşittir.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Kosinüs fark formülünde cos(a - b) açılımı yapılırken terimler arasındaki işlem işareti olur.
    2. Sinüs fark formülü olan sin(a - b) açılımında sin(a)·cos(b) teriminden çarpımı çıkarılır.
    3. tan(45° - x) ifadesinin açılımı (1 - tan(x)) ifadesinin ifadesine bölümüne eşittir.
    4. Özel açılardan yararlanılarak hesaplanan sin(75°) değeri açısının kosinüs değerine eşittir.
    5. Dar açılı a ve b için tan(a + b) tanımsız ise tan(a)·tan(b) çarpımının değeri sayısına eşittir.

  8. 8sin(15°) ve cos(15°) değerlerini 45° ve 30° özel açılarını ve sinüs-kosinüs fark formüllerini kullanarak adım adım hesaplayınız.

Kısaca

  • Sinüs toplam ve fark formüllerinde terimler 'sin·cos ± cos·sin' biçiminde dizilir ve aradaki işaret korunur.
  • Kosinüs toplam ve fark formüllerinde terimler 'cos·cos ∓ sin·sin' biçiminde dizilir ve aradaki işaret tersine döner.
  • Tanjant toplam ve fark formülü tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ∓ tan(a)·tan(b)) bağıntısıyla hesaplanır.
  • Özel olmayan 15°, 75° ve 105° gibi açıların trigonometrik oranları 30°, 45° ve 60° açılarının toplamı veya farkı şeklinde yazılarak bulunur.
  • Kare, dikdörtgen ve dik üçgen üzerindeki açı sorularında istenen açı, dik üçgenlerin dar açılarının toplamı veya farkı cinsinden ifade edilerek çözülür.

Bu dersin öteki kaynakları