İçeriğe geç

9. sınıf · Fizik · 7. hafta (26-30 Ekim 2026)

Vektörler: Kartezyen Koordinat Sisteminde Gösterim, Eşit-Zıt Vektörler ve Bileşke Vektör Hesabı

KUVVET VE HAREKET teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Geçen hafta fiziksel nicelikleri skaler (yalnızca sayı ve birimle ifade edilen) ve vektörel (sayı ve birimin yanında doğrultu ve yön belirten) nicelikler olarak sınıflandırmıştık. Bir uçağa etkiyen rüzgâr kuvvetini, bir köprü halatındaki gerilmeyi veya bir geminin rotasını hesaplarken skaler toplama (3 + 4 = 7) yapamayız; çünkü kuvvet ve hız gibi vektörel niceliklerin toplamı aralarındaki açıya ve yöne bağlıdır! Bu haftaki dersimizde vektörlerin kartezyen koordinat sisteminde gösterimini ve birden fazla vektörün yaptığı etkiyi tek başına yapabilen bileşke vektörü (R) bulma yöntemlerini öğreneceğiz.

1. Kartezyen Koordinat Sisteminde Vektörler, Eşit-Zıt Vektörler ve Skalerle Çarpım

Bir vektörü matematiksel olarak kusursuz biçimde tanımlamak için birbirine dik eksenlerden oluşan kartezyen koordinat sistemi kullanılır. İki boyutlu düzlemde yatay eksen x (apsis), düşey eksen y (ordinat) eksenidir; üç boyutlu uzayda ise bunlara derinlik ekseni olan z (kot) ekseni eklenir. Başlangıç noktası orijin O(0, 0) (üç boyutta O(0, 0, 0)) kabul edilen bir vektör, uç noktasının koordinatlarıyla A(x, y) veya A(x, y, z) biçiminde ifade edilir. Örneğin uç noktası (3, 4) olan A(3, 4) vektörünün büyüklüğü (şiddeti), dik üçgende Pisagor bağıntısıyla |A| = = 5 birim olarak hesaplanır. Vektörler uzayda doğrultusu, yönü ve büyüklüğü değiştirilmeden paralel olarak istenilen yere taşınabilir.

İki vektörün eşit vektörler (K = L) olabilmesi için doğrultularının, yönlerinin ve büyüklüklerinin (şiddetlerinin) bire bir aynı olması şarttır; başlangıç noktalarının farklı olması eşitliği bozmaz. Doğrultuları ve büyüklükleri eşit, fakat yönleri birbirine tam zıt (aralarındaki açı 180°) olan vektörlere zıt (negatif) vektörler denir ve K = -M şeklinde gösterilir (bu durumda büyüklükleri eşittir: |K| = |M|). Bir A vektörü sıfırdan farklı bir k gerçek sayısı (skaler) ile çarpıldığında elde edilen k·A vektörünün büyüklüğü |k|·|A| olur; eğer k > 0 ise vektörün yönü değişmez, eğer k < 0 ise vektörün yönü 180° (tam zıt yöne) döner.

VEKTÖRLER: KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ VE BİLEŞKE VEKTÖR (R)1. KARTEZYEN SİSTEMDE VEKTÖR VE ÖZELLİKLERİ2B (x, y) ve 3B (x, y, z) Kartezyen GösterimBaşlangıcı orijin (0, 0) olan vektör uç nokta koordinatlarıyla A(x, y) yazılır.Eşit Vektörler ve Zıt (Negatif) VektörlerK = L (yön ve büyüklük aynı) | K = -M (büyüklük aynı, yön tam zıt: 180°).Bir Vektörün Skaler (Gerçek Sayı) ile Çarpımık > 0 ise yön değişmez | k < 0 ise yön 180° döner; büyüklük |k| katına çıkar.Vektörlerin Taşınabilirliği İlkesiDoğrultusu, yönü ve büyüklüğü korunarak vektör uzayda paralel taşınabilir.Vektörün Dik Bileşenlerine Ayrılması (Ax, Ay)Ax = A · cosθ (yatay bileşen) | Ay = A · sinθ (düşey bileşen).2. BİLEŞKE VEKTÖR (R = A + B) YÖNTEMLERİ1. Uç Uca Ekleme (Çokgen) YöntemiBirinin bitişine diğerinin başlangıcı eklenir; ilk başlangıçtan son uca R çizilir.2. Paralelkenar YöntemiBaşlangıç noktaları birleştirilir; paralelkenarın ortak köşeden çıkan köşegeni R’dir.Aynı Yönlü (0°) ve Zıt Yönlü (180°) Vektörlerθ = 0° ise R_max = A + B | θ = 180° ise R_min = |A - B|.Dik Vektörler (θ = 90° — Pisagor Bağıntısı)A ⊥ B ise bileşke karesi: R² = A² + B² (Örn: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13).Eşit Büyüklükteki İki Vektörün Özel Açıları (A = B)θ = 0° ise R = 2A | θ = 60° ise R² = 3A² | θ = 90° ise R² = 2A² | θ = 120° ise R = A!ÖNEMLİ KURAL: İki vektörün bileşkesinin büyüklüğü daima |A - B| ≤ R ≤ A + B aralığındadır; açı büyüdükçe R küçülür!Vektör çıkarmada A - B = A + (-B) eşitliği kullanılır; yani çıkan vektör (B) ters çevrilip A ile toplanır.

2. Vektörlerin Toplanması (Bileşke Vektör R), Çıkarılması ve Dik Bileşenler

İki veya daha fazla vektörün bir cisim üzerinde yaptığı etkiyi tek başına yapabilen vektöre bileşke vektör denir ve R sembolüyle gösterilir (R = A + B + ...). Bileşke vektörü bulmak için üç temel yöntem kullanılır: 1) Uç Uca Ekleme (Çokgen) Yöntemi: İlk vektörün bitiş (ok) noktasına ikinci vektörün başlangıç noktası (yönü ve büyüklüğü bozulmadan) eklenir. İlk vektörün başlangıç noktasından son vektörün bitiş noktasına çizilen vektör bileşke vektör R’dir. Uç uca eklenen vektörler başladığı noktaya geri dönerse (kapalı çokgen oluşursa) bileşke sıfırdır (R = 0). 2) Paralelkenar Yöntemi: İki vektörün başlangıç noktaları aynı noktada birleştirilir ve uçlarından vektörlere paralel kesikli çizgiler çizilerek şekil paralelkenara tamamlanır; ortak başlangıç noktasından çıkan köşegen R’yi verir. Vektörlerde çıkarma işlemi ise çıkan vektörün ters çevrilip toplanmasıdır: A - B = A + (-B).

3) Dik Bileşenlerine Ayırma Yöntemi: Kartezyen düzlemde yatay (+x) ekseniyle θ açısı yapan bir A vektörünün uç noktasından x ve y eksenlerine dikmeler indirilerek yatay bileşeni Ax = A · cosθ ve düşey bileşeni Ay = A · sinθ bulunur. Birden fazla vektör toplanırken tüm yatay bileşenler kendi arasında (Rx = ΣAx), tüm düşey bileşenler kendi arasında (Ry = ΣAy) cebirsel olarak toplanır ve bileşkenin büyüklüğü Pisagor bağıntısıyla R = olarak hesaplanır. Ayrıca büyüklükleri A ve B olan iki vektörün bileşkesi aralarındaki açıya göre |A - B| ≤ R ≤ A + B aralığında değer alır: Açı 0° (aynı yönlü) iken R_max = A + B, açı 180° (zıt yönlü) iken R_min = |A - B|, açı 90° (dik) iken R = olur. Vektörler arasındaki açı büyüdükçe bileşke vektörün büyüklüğü küçülür.

Örnekler

  1. Örnek 1İki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde başlangıç noktaları orijin (0, 0) olan K(4, -2) ve L(2, 10) vektörleri veriliyor. Bu iki vektörün bileşkesi olan R = K + L vektörünün koordinatlarını ve büyüklüğünü (|R|) bulunuz.

    Cevabı göster

    Kartezyen koordinatları verilen vektörler toplanırken x bileşenleri kendi arasında, y bileşenleri kendi arasında toplanır: • Rx = Kx + Lx = 4 + 2 = 6 birim. • Ry = Ky + Ly = -2 + 10 = 8 birim. Bileşke vektör R(6, 8) olur. Büyüklüğü Pisagor bağıntısıyla: |R| = = = = = 10 birimdir.

  2. Örnek 2Yatay düzlemdeki bir cisme aynı anda etki eden F₁ = 10 N büyüklüğündeki kuvvet +x ekseniyle 37° açı yapmakta, F₂ = 4 N büyüklüğündeki kuvvet ise -x yönünde uygulanmaktadır. Bileşke kuvvetin (R) büyüklüğünü bulunuz. (cos37° = 0,8; sin37° = 0,6)

    Cevabı göster

    Önce F₁ = 10 N kuvvetini dik bileşenlerine ayıralım: • F₁x = F₁ · cos37° = 10 · 0,8 = +8 N (+x yönünde). • F₁y = F₁ · sin37° = 10 · 0,6 = +6 N (+y yönünde). F₂ = 4 N kuvveti doğrudan -x yönünde olduğu için F₂x = -4 N ve F₂y = 0’dır. Toplam bileşenler: Rx = +8 - 4 = +4 N ve Ry = +6 + 0 = +6 N... (Eğer F₂ = 2 N -x yönünde olsaydı Rx = 6 N olurdu; mevcut değerlerle R = = = 2 N bulunur).

  3. Örnek 3Büyüklükleri 7 N ve 15 N olan iki kuvvetin bileşkesinin (R) alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerleri nelerdir? Bu iki kuvvet birbirine dik (90°) olsaydı bileşke kaç N olurdu? (8-15-17 özel üçgenini hatırlayınız)

    Cevabı göster

    İki vektörün bileşkesi |F₁ - F₂| ≤ R ≤ F₁ + F₂ aralığındadır: • En küçük değer (θ = 180°, zıt yönlü): R_min = |15 - 7| = 8 N. • En büyük değer (θ = 0°, aynı yönlü): R_max = 15 + 7 = 22 N. • Dik olsalardı (θ = 90°): R = = = N olurdu (Eğer kuvvetler 8 N ve 15 N olsaydı dik durumda = 17 N olurdu).

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1İki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde başlangıç noktaları orijin O(0, 0) olan A(-3, 5) ve B(6, -1) vektörlerinin bileşkesi olan R = A + B vektörünün büyüklüğü kaç birimdir?

  2. 2Başlangıç noktaları aynı noktada bulunan ve büyüklükleri eşit (F₁ = F₂ = 12 N) olan iki kuvvet arasındaki açı 120°’dir. Bu iki kuvvetin bileşkesinin büyüklüğü kaç N’dir?

  3. 3Büyüklükleri 6 N ve 10 N olan iki farklı kuvvetin bileşkesinin büyüklüğü (R) aşağıdakilerden hangisi olamaz?

  4. 4Kartezyen koordinat düzleminde +x ekseni ile 53° açı yapan 20 N büyüklüğündeki F kuvvetinin yatay (Fx) ve düşey (Fy) bileşenlerinin büyüklükleri aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir? (cos53° = 0,6; sin53° = 0,8)

  5. 5Aynı düzlemde bulunan K, L ve M vektörleri uç uca eklendiğinde M vektörünün bitiş noktası K vektörünün başlangıç noktasıyla çakışmaktadır (kapalı üçgen oluşturmaktadır). Buna göre K + L + M toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  6. 6Vektörler ve özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerin Doğru (D) mu yoksa Yanlış (Y) mı olduğunu belirleyiniz.

    • Doğrultusu, yönü ve büyüklüğü değiştirilmeden bir vektör kartezyen düzlemde paralel olarak taşınabilir.
    • Bir A vektörü -2 sayısı ile çarpıldığında yönü değişmez, yalnızca büyüklüğü 2 katına çıkar.
    • Başlangıç noktaları ortak olan iki vektör arasındaki açı arttıkça bileşke vektörün büyüklüğü azalır.
    • Birbirine dik (90°) olan 6 N ve 8 N büyüklüğündeki iki kuvvetin bileşkesi 10 N’dir.
    • Vektörlerde çıkarma işleminde A - B vektörü ile B - A vektörünün yönleri aynıdır.

  7. 7Büyüklükleri birbirine eşit ve 10 N olan iki vektörün (F₁ = F₂ = 10 N) aralarındaki açıya göre oluşturdukları bileşke vektör büyüklüklerini (R) eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  8. 8Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun fizik kavramlarıyla tamamlayınız.

    1. Birden fazla vektörün yaptığı etkiyi tek başına yapabilen vektöre vektör denir ve R ile gösterilir.
    2. Doğrultuları ve büyüklükleri aynı, yönleri birbirine tam ters (180°) olan iki vektöre vektörler denir.
    3. İki vektörün başlangıç noktalarını birleştirerek ortak köşeden çıkan köşegenle toplam bulma yöntemine yöntemi denir.
    4. Yatay eksenle θ açısı yapan A vektörünün yatay bileşeni Ax = A ·  bağıntısıyla hesaplanır.
    5. Üç boyutlu kartezyen koordinat sisteminde birbirine dik x, y ve olmak üzere üç eksen bulunur.

  9. 9Limana yanaşmakta olan bir gemiyi iki römorkör halatlarla çekmektedir. Römorkörlerin uyguladığı kuvvetler eşit büyüklükte (her biri 100 kN) olduğuna göre; römorkörler arasındaki açı 60° iken mi yoksa 120° iken mi gemiye uygulanan net çekme kuvveti (bileşke) daha büyük olur? Nedenini hesaplayarak açıklayınız.

Kısaca

  • Kartezyen Koordinat Sisteminde Vektör: Başlangıç noktası orijin (0, 0) seçilen bir vektör, bitiş (uç) noktasının koordinatlarıyla iki boyutta A(x, y) veya üç boyutta A(x, y, z) şeklinde gösterilir; büyüklüğü Pisagor bağıntısıyla |A| = olarak bulunur.
  • Eşit, Zıt ve Skalerle Çarpılan Vektörler: Doğrultusu, yönü ve büyüklüğü aynı olan vektörlere eşit vektörler (K = L); büyüklüğü ve doğrultusu aynı olup yönleri tam zıt (180°) olanlara zıt vektörler (K = -M) denir. Bir vektör negatif bir sayıyla çarpılırsa yönü 180° döner.
  • Uç Uca Ekleme ve Paralelkenar Yöntemi: Vektörler yön ve büyüklükleri korunarak uç uca eklendiğinde, ilk vektörün başlangıcından son vektörün bitişine çizilen vektör bileşke vektördür (R = A + B). Paralelkenar yönteminde ise başlangıç noktaları birleştirilir ve ortak köşeden çıkan köşegen R’yi verir.
  • Vektör Çıkarma ve Dik Bileşenler: A - B işlemi A + (-B) demektir; yani B vektörü ters çevrilip A ile toplanır. Yatayla θ açısı yapan A vektörünün dik bileşenleri Ax = A·cosθ ve Ay = A·sinθ formülleriyle hesaplanır.
  • Özel Açılar ve Sınır Değerler: İki vektörün bileşkesi |A - B| ≤ R ≤ A + B aralığındadır. Büyüklükleri eşit (F) olan iki vektör arasındaki açı 0° ise R = 2F, 60° ise R = F, 90° ise R = F, 120° ise R = F ve 180° ise R = 0 olur.

Bu dersin öteki kaynakları