İçeriğe geç

9. sınıf · Fizik · 9. hafta (9-13 Kasım 2026)

İki Boyutta Vektörlerin Dik Bileşenlerine Ayrılması, Analitik Yöntemle Toplama ve Vektör Uygulamaları (FİZ.9.2.4)

2. TEMA: KUVVET VE HAREKET teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Mühendislikte bir köprü ayağına etki eden halat kuvvetlerinden rüzgârlı havada ilerleyen bir uçağın rotasına kadar pek çok fiziksel olayda kuvvetler aynı doğrultuda değil, iki boyutlu düzlemde farklı açılarla etki eder. Çok sayıda vektörün bileşkesini çizimle bulmak zorlaştığında, her vektörü kartezyen koordinat eksenleri üzerindeki yatay ve düşey dik bileşenlerine ayırarak toplamak en kesin ve sistematik çözüm yolunu sunar.

İki Boyutta Vektörlerin Dik Bileşenlerine Ayrılması

Bir vektörü dik bileşenlerine ayırmak, toplama işleminin tersidir; yani tek bir A vektörünün yaptığı etkiyi, birbirine dik x ve y eksenleri üzerinde tek başlarına yapabilen Ax ve Ay izdüşüm vektörlerini bulmaktır. Başlangıç noktası orijine yerleştirilen A vektörünün bitiş ucundan yatay ve düşey eksenlere dikmeler indirildiğinde, eksenler üzerinde kesilen yönlü doğru parçaları vektörün dik bileşenlerini verir (A = Ax + Ay).

Vektörün yatay +x ekseniyle yaptığı açı θ olarak verildiğinde, oluşan dik üçgende açının komşu dik kenarı yatay bileşeni, karşı dik kenarı ise düşey bileşeni oluşturur. Trigonometrik bağıntılara göre yatay bileşenin büyüklüğü Ax = A · cos θ, düşey bileşenin büyüklüğü ise Ay = A · sin θ formülüyle hesaplanır. Dik bileşenleri bilinen bir vektörün büyüklüğü Pisagor teoreminden A = eşitliğiyle bulunur.

Eğer soruda açı yatay eksenle değil de düşey (y) eksenle verilmişse, açının komşu kenarı y ekseni olacağından bu kez düşey bileşen cos ile, yatay bileşen ise sin ile çarpılır. Fizik problemlerinde en çok kullanılan 37°–53°–90° özel dik üçgeninde (3-4-5 üçgeni katları) cos 37° = sin 53° = 0,8 ve sin 37° = cos 53° = 0,6 değerleri kullanılarak bileşenler kolayca belirlenir.

İKİ BOYUTTA VEKTÖRÜN DİK BİLEŞENLERİNE AYRILMASI +x +y A Vektörü A_x = A · cos θ A_y = A · sin θ θ TRİGONOMETRİK BİLEŞEN HESABI • Yatay Bileşen (Komşu): A_x = A · cos θ • Düşey Bileşen (Karşı): A_y = A · sin θ • Pisagor Bağıntısı: A = kök(A_x² + A_y²) 37° - 53° - 90° Özel Üçgen Oranları: sin 37° = cos 53° = 0,6 | cos 37° = sin 53° = 0,8 Örnek: A = 20 N, θ = 37° → A_x = 16 N, A_y = 12 N
🔍 Büyütmek için dokunun

Analitik (Koordinat) Yöntemle Çoklu Vektör Toplama ve Dengeleyici Kuvvet

Aynı düzlemde bulunan iki veya daha fazla vektörün (F1, F2, F3...) bileşkesi analitik yöntemle bulunurken önce her vektör x ve y dik bileşenlerine ayrılır. Ardından bir bileşen tablosu oluşturularak sağa (+x) bakan bileşenler pozitif, sola (-x) bakanlar negatif; yukarı (+y) bakan bileşenler pozitif, aşağı (-y) bakanlar negatif işaretle yazılır.

Yatay eksendeki tüm bileşenlerin cebirsel toplamı alınarak bileşkenin yatay bileşeni (Rx = ΣFx), düşey eksendeki tüm bileşenlerin cebirsel toplamı alınarak bileşkenin düşey bileşeni (Ry = ΣFy) elde edilir. Son adımda birbirine dik olan Rx ve Ry vektörlerine Pisagor bağıntısı uygulanarak net bileşke vektörün büyüklüğü R = formülüyle hesaplanır.

Bir cisme etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfır ise (R = 0, yani hem Rx = 0 hem Ry = 0 ise) cisim üzerine etki eden net kuvvet sıfırdır ve cisim dengededir. Bileşkesi R olan bir kuvvet sistemini dengeye getirmek (net kuvveti sıfırlamak) için sisteme uygulanması gereken, bileşke vektörle eşit büyüklükte fakat zıt yönlü olan kuvvete dengeleyici kuvvet (E) denir ve E = -R = (-Rx, -Ry) bağıntısıyla ifade edilir.

ANALİTİK (TABLO) YÖNTEMİYLE ÇOKLU VEKTÖR TOPLAMA BİLEŞEN TABLOSU ÖRNEĞİ Vektör Yatay (x) Düşey (y) F₁ +8 N +6 N F₂ -3 N +10 N F₃ +4 N -4 N Toplam: R_x = +9 N R_y = +12 N R = kök(9² + 12²) = kök(81 + 144) = 15 N ANALİTİK TOPLAMA ADIMLARI 1. Eksenlerle açı yapan her vektör x ve y dik bileşenlerine ayrılır. 2. İşaret yönlerine (+x sağ, -x sol; +y yukarı, -y aşağı) dikkat edilerek R_x ve R_y bulunur. 3. Birbirine dik R_x ve R_y vektörlerinden Pisagor ile R = kök(R_x² + R_y²) hesaplanır. Dengeleyen kuvvet: E = -R = (-R_x, -R_y)
🔍 Büyütmek için dokunun

Özel Açılı Vektörlerde Örüntüler, Skaler Çarpım ve Vektör Farkı

Bir A vektörü pozitif bir k gerçek sayısıyla çarpıldığında (k > 0), vektörün yönü ve doğrultusu değişmez, büyüklüğü k katına çıkar. Vektör negatif bir k sayısıyla çarpıldığında (k < 0) ise doğrultusu aynı kalırken yönü 180° ters döner ve büyüklüğü |k| katına çıkar. Özel olarak bir vektörün -1 ile çarpılması, o vektörün ters (negatif) vektörünü (-A) verir.

A 벡터ünden B vektörünü çıkarmak (A - B), A vektörü ile B vektörünün tersini (-B) toplamak demektir: D = A - B = A + (-B). Başlangıç noktaları aynı noktaya konulan A ve B vektörlerinde A - B fark vektörü, doğrudan çıkarılan vektörün (B'nin) bitiş ucundan A vektörünün bitiş ucuna çizilen vektördür. Koordinat gösteriminde ise A(x1, y1) - B(x2, y2) = (x1 - x2, y1 - y2) işlemi yapılır.

Büyüklükleri birbirine eşit (F1 = F2 = F) olan iki vektörün başlangıç noktaları birleştirildiğinde aralarındaki açı α küçüldükçe bileşke büyür: α = 0° iken R = 2F; α = 60° iken R = F·; α = 90° iken R = F·; α = 120° iken R = F; α = 180° iken R = 0 olur. Eğer bir noktaya eşit büyüklükte üç kuvvet 120°'şer açıyla etki ediyorsa, herhangi ikisinin bileşkesi üçüncü kuvvete eşit ve zıt yönlü olacağından üçünün toplam bileşkesi sıfır (R = 0) olur.

ÖZEL AÇILI EŞİT VEKTÖRLER VE VEKTÖR FARKI (A - B) ÖZEL AÇILARDA BİLEŞKE (F₁ = F₂ = F) • α = 0° (Aynı yönlü) → R = 2F (Maksimum) • α = 60° ise → R = F · kök(3) • α = 90° (Dik) ise → R = F · kök(2) • α = 120° ise → R = F • α = 180° (Zıt yönlü) → R = 0 (Minimum) Açı küçüldükçe bileşke vektörün büyüklüğü artar! VEKTÖRLERDE ÇIKARMA VE SKALER ÇARPIM • Vektörün Skaler Sayı (k) ile Çarpımı: - k > 0 ise yön değişmez, boy |k| katına çıkar. - k < 0 ise vektör 180° zıt yöne döner. • İki Vektörün Farkı (A - B): Çıkarılacak vektör ters çevrilip (-B) toplanır: Fark Vektörü: D = A - B = A + (-B) Koordinatla: A(x₁, y₁) - B(x₂, y₂) = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Kartezyen koordinat sisteminde başlangıç noktası orijinde bulunan 25 N büyüklüğündeki F kuvveti, +x ekseni ile pozitif yönde 37° açı yapmaktadır. Bu kuvvetin yatay (Fx) ve düşey (Fy) bileşenlerini bulunuz. (cos 37° = 0,8; sin 37° = 0,6)

    Cevabı göster

    Açı yatay (+x) ekseniyle verildiği için yatay bileşen Fx = F · cos 37° = 25 · 0,8 = 20 N (+x yönünde); düşey bileşen ise Fy = F · sin 37° = 25 · 0,6 = 15 N (+y yönünde) olarak bulunur.

  2. Örnek 2Sürtünmesiz yatay düzlemdeki K cismine aynı anda F1(6, -2) N, F2(-10, 5) N ve F3(10, 5) N kuvvetleri etki etmektedir. Cisme etki eden bileşke kuvvetin (R) büyüklüğünü ve cismi dengeleyen kuvvetin (E) koordinatlarını bulunuz.

    Cevabı göster

    Bileşkenin yatay bileşeni Rx = 6 + (-10) + 10 = 6 N; düşey bileşeni Ry = -2 + 5 + 5 = 8 N olur. Bileşkenin büyüklüğü R = = = 10 N bulunur. Dengeleyici kuvvet bileşkeye zıt yönlü olduğundan E = -R = (-6, -8) N olur.

  3. Örnek 3Başlangıç noktaları O noktasında bulunan eşit büyüklükteki üç kuvvetten F1 = 10 N (+x yönünde), F2 = 10 N (+x ile +120° açıda) ve F3 = 10 N (+x ile -120° açıda) olarak uygulanmaktadır. Bu üç kuvvetin bileşkesi kaç N'dur?

    Cevabı göster

    Aralarında 120° açı bulunan F2 = 10 N ve F3 = 10 N kuvvetlerinin bileşkesi, açıortayları olan -x yönünde 10 N büyüklüğündedir. Bu 10 N (-x) ile F1 = 10 N (+x) birbirine eşit ve zıt yönlü olduğu için üç kuvvetin toplam bileşkesi R = 10 - 10 = 0 N olur.

  4. Örnek 4Aynı düzlemdeki K(5, 3) ve L(2, -1) vektörleri için D = K - L fark vektörünün koordinatlarını ve büyüklüğünü hesaplayınız.

    Cevabı göster

    Fark vektörünün yatay bileşeni Dx = Kx - Lx = 5 - 2 = 3 birim; düşey bileşeni Dy = Ky - Ly = 3 - (-1) = 4 birimdir. Koordinatları D(3, 4) olan fark vektörünün büyüklüğü D = = 5 birim bulunur.

  5. Örnek 5Büyüklükleri 4 N, 7 N ve 10 N olan aynı düzlemdeki üç kuvvetin bileşkesinin alabileceği en büyük (R_max) ve en küçük (R_min) değerler kaç N'dur?

    Cevabı göster

    Üç kuvvet de aynı yönlü olduğunda bileşke maksimum olur: R_max = 4 + 7 + 10 = 21 N. İlk iki kuvvetin (4 N ve 7 N) bileşkesi |7 - 4| = 3 N ile 7 + 4 = 11 N arasındaki her değeri alabilir; 10 N bu aralıkta (3 ≤ 10 ≤ 11) yer aldığı için ilk iki kuvvetin bileşkesi 10 N yapılıp üçüncü kuvvete zıt yönlendirildiğinde R_min = 0 N olur.

  6. Örnek 6Yatay düzlemdeki bir cisme +x ekseniyle 53° açı yapacak biçimde 10 N büyüklüğünde F1 kuvveti ve -y yönünde 2 N büyüklüğünde F2 kuvveti etki etmektedir. Bileşke kuvvetin büyüklüğü kaç N'dur? (cos 53° = 0,6; sin 53° = 0,8)

    Cevabı göster

    Önce F1 = 10 N kuvveti dik bileşenlerine ayrılır: F1x = 10 · cos 53° = 6 N (+x) ve F1y = 10 · sin 53° = 8 N (+y). Toplam yatay bileşen Rx = 6 N (+x); toplam düşey bileşen Ry = 8 N (+y) - 2 N (-y) = 6 N (+y) olur. Birbirine dik iki 6 N'luk bileşkenin toplamı R = 6· N bulunur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Kartezyen koordinat sisteminde başlangıç noktası orijinde bulunan ve düşey (+y) ekseniyle 37° açı yapan 20 N büyüklüğündeki F kuvvetinin yatay (Fx) ve düşey (Fy) bileşenlerinin büyüklüğü aşağıdakilerden hangisidir? (sin 37° = 0,6; cos 37° = 0,8)

  2. 2Birim kareli koordinat düzleminde K(6, -3), L(-2, 8) ve M(4, 1) vektörleri verilmiştir. Bu üç vektörün bileşkesini sıfırlayan 'dengeleyici kuvvetin (E)' koordinatları ve büyüklüğü aşağıdakilerden hangisidir?

  3. 3Başlangıç noktaları çakışık ve büyüklükleri eşit (|A| = |B| = 8 N) olan A ve B vektörleri arasındaki açı 60°'dir. Buna göre |A + B| toplam vektörünün büyüklüğü ile |A - B| fark vektörünün büyüklüğü sırasıyla kaç N'dur?

  4. 4Aynı düzlemde bulunan üç kuvvetin büyüklükleri aşağıdakilerden hangisi gibi olursa bu üç kuvvetin bileşkesi sıfır (R = 0) olamaz?

  5. 5

    • Bir F vektörü yatay +x ekseniyle α açısı yapıyorsa yatay bileşeni Fx = F · cos α bağıntısıyla hesaplanır.
    • Dengeleyici kuvvet (E), bileşke kuvvet (R) ile aynı yönlü ve eşit büyüklüktedir.
    • Bir vektör -2 sayısı ile çarpıldığında yönü 180° ters döner ve büyüklüğü iki katına çıkar.
    • Bir noktaya 120°'şer açıyla etki eden eşit büyüklükteki üç kuvvetin bileşkesi sıfırdır.
    • Dik bileşenleri 5 N ve 12 N olan bir vektörün kendi büyüklüğü 17 N'dur.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Bir vektörün kartezyen koordinat eksenleri üzerindeki dik izdüşümlerine o vektörün dik adı verilir.
    2. Üzerine etki eden net (bileşke) kuvvet sıfır olan bir cisim durumundadır.
    3. Aralarında 90° açı bulunan eşit büyüklükteki iki F vektörünün bileşkesi F ·  büyüklüğündedir.
    4. Bir vektör pozitif bir gerçek sayıyla çarpıldığında vektörün değişmez, büyüklüğü değişir.
    5. Çoklu vektör toplamada yatay bileşenlerin toplamı Rx = 8 N ve düşey bileşenlerin toplamı Ry = 15 N ise bileşke N olur.

  8. 8Sürtünmesiz yatay düzlemdeki O noktasal cismine; +x ekseniyle 37° açı yapan F1 = 15 N, -x yönünde F2 = 6 N ve -y yönünde F3 = 1 N büyüklüğünde üç kuvvet etki etmektedir. Bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve yönünü analitik yöntemle açıklayınız. (cos 37° = 0,8; sin 37° = 0,6)

Kısaca

  • Dik Bileşenlere Ayırma: Yatay +x ekseniyle θ açısı yapan A vektörünün yatay bileşeni Ax = A · cos θ, düşey bileşeni Ay = A · sin θ ve büyüklüğü A = bağıntısıyla bulunur.
  • Açı-Kosinüs Kuralı: Açının temas ettiği (komşu olduğu) eksendeki bileşen cos θ ile, karşı eksendeki bileşen ise sin θ ile hesaplanır.
  • Analitik (Tablo) Toplama: Çoklu vektörlerde önce Rx = ΣFx ve Ry = ΣFy cebirsel toplamları bulunur, ardından R = ile bileşke elde edilir.
  • Denge ve Dengeleyici Kuvvet: Bileşkesi R = 0 olan sistem dengededir; sistemi dengeleyen kuvvet E = -R olup bileşkeyle eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür.
  • Özel Açılar ve Fark: Eşit iki F vektöründe açı 0°, 60°, 90°, 120°, 180° iken bileşke sırasıyla 2F, F·, F·, F ve 0 olur; A - B farkı ise A + (-B) toplamına eşittir.

Bu dersin öteki kaynakları