Üçgende Açı ve Kenar Özelliklerinin Doğrulanması, İspatı ve Yeni Durumlara Uyarlanması; Geometrik Dönüşümlere Giriş: Yansıma, Öteleme ve Dönme

Matematikte bir özelliği doğrulamak, onun belirli örneklerde sağlandığını gözlem, ölçme veya deneyle göstermektir; ispatlamak ise tanımlardan ve daha önce kanıtlanmış özelliklerden mantıksal adımlarla ilerleyerek özelliğin istisnasız her durumda doğru olduğunu göstermektir. Bir üçgenin açılarını iletkiyle ölçüp toplamak, köşeleri kesip bir doğru boyunca yan yana dizmek veya kâğıdı katlayarak üç köşeyi tek noktada buluşturmak güçlü doğrulama yöntemleridir. Dinamik geometri yazılımında köşeleri sürükleyerek yüzlerce üçgeni saniyeler içinde incelemek de varsayımımıza güven kazandırır. Ancak sonsuz sayıda üçgenin hepsi denenemeyeceği için bu yöntemler tek başına genel bir sonuç vermez; kesin bilgi için ispat gerekir.

En bilinen ispat paralel doğru yöntemidir. ABC üçgeninde A köşesinden [BC] kenarına paralel bir d doğrusu çizelim. d ∥ BC ve AB bir kesen olduğundan, d ile [AB] arasında oluşan açı B açısıyla iç ters açı konumundadır ve ölçüsü m(B)'ye eşittir. Aynı şekilde AC keseni için d ile [AC] arasındaki açı m(C)'ye eşittir. A noktasında d doğrusu boyunca yan yana duran bu iki açı ile m(A) birlikte bir doğru açı oluşturur. O hâlde m(A) + m(B) + m(C) = 180° bulunur. Paralel doğru B veya C köşesinden çizilse de aynı sonuca ulaşılır; hangi köşenin seçildiği ispatın geçerliliğini değiştirmez.

Dış açı teoremi de iki farklı yoldan ispatlanabilir. Birinci yol: [BC] kenarını C'nin ötesine uzatıp D noktasını alalım. ACD dış açısı ile ACB iç açısı bütünler olduğundan m(ACD) = 180° − m(C) olur; iç açılar toplamından 180° − m(C) = m(A) + m(B) olduğu için m(ACD) = m(A) + m(B) elde edilir. İkinci yol: C'den [AB]'ye paralel bir ışın çizilirse dış açı iki parçaya ayrılır; parçalardan biri A açısıyla iç ters, diğeri B açısıyla yöndeş olduğundan sonuç doğrudan görülür. Üç dış açının toplamı ise 3 · 180° − 180° = 360° bulunur. Bunu bir kalemi üçgenin kenarları boyunca gezdirip her köşede dış açı kadar döndürerek de doğrulayabiliriz: kalem başladığı yöne bakarak tam bir tur (360°) atmış olur.

Önceki haftalarda sıkça kullandığımız 'büyük kenar karşısında büyük açı bulunur' kuralını şimdi ispatlayalım. ABC üçgeninde b > c, yani |AC| > |AB| olsun. [AC] üzerinde |AD| = |AB| olacak şekilde bir D noktası alalım; AC daha uzun olduğu için D, A ile C arasına düşer. ABD üçgeni ikizkenar olduğundan taban açıları eşittir: m(ABD) = m(ADB) = x. ADB açısı DBC üçgeninin bir dış açısıdır; dış açı teoremine göre x = m(C) + m(DBC) olur, buradan x > m(C) çıkar. Öte yandan D noktası ABC açısının iç bölgesinde olduğu için m(B) = x + m(DBC) olur ve m(B) > x bulunur. İki eşitsizlik birleşince m(B) > x > m(C) yani b > c ise m(B) > m(C) ispatlanmış olur.

Bu önermenin karşıtı olan 'm(B) > m(C) ise b > c' ifadesi olmayana ergi yöntemiyle ispatlanır. Diyelim ki m(B) > m(C) olduğu hâlde b > c olmasın. Bu durumda iki ihtimal kalır: b = c ise üçgen ikizkenardır ve taban açıları eşit olmalıdır, yani m(B) = m(C) olur; bu varsayımla çelişir. b < c ise az önce yaptığımız ispat (harflerin rolü değişerek) m(B) < m(C) sonucunu verir; bu da çelişkidir. Her iki ihtimal de çelişkiye götürdüğü için geriye tek seçenek kalır: b > c. Böylece açı ile karşısındaki kenar arasındaki sıralamanın iki yönde de geçerli olduğu kesinleşir.

Üçgen eşitsizliğinin ispatında da aynı fikri, yani ikizkenar üçgen kurmayı kullanırız. [BA] kenarını A'nın ötesine uzatıp |AD| = |AC| = b olacak şekilde D noktasını alalım. ACD üçgeni ikizkenar olduğundan m(ACD) = m(ADC) = y olur. A noktası [BD] üzerinde olduğu için CA ışını BCD açısının içinde kalır ve m(BCD) = m(BCA) + y > y = m(BDC) bulunur. BCD üçgeninde büyük açı karşısında büyük kenar olduğundan |BD| > |BC| olur. |BD| = c + b olduğu için a < b + c elde edilir. Aynı yol b < a + c ve c < a + b eşitsizliklerini verir; bunlardan b − c < a ve c − b < a, yani |b − c| < a sonucuna ulaşılır. Eğer a = b + c olsaydı üç nokta aynı doğru üzerinde olur, üçgen 'düzleşirdi'; eşitsizliğin kesin (eşitsiz) olmasının nedeni budur.

Üçgende kanıtladığımız özellikler, daha karmaşık şekiller için hazır bir araç kutusudur. Dışbükey bir n-genin bir köşesinden çizilebilen n − 3 köşegen, çokgeni n − 2 üçgene ayırır. Bu üçgenlerin açıları bir araya gelerek tam olarak çokgenin iç açılarını oluşturduğundan iç açılar toplamı (n − 2) · 180° olur: dörtgende 360°, beşgende 540°, altıgende 720°. İspatı farklı bir yoldan da doğrulayabiliriz: çokgenin içinde bir P noktası alıp köşelerle birleştirirsek n üçgen oluşur; toplam n · 180° olur, ancak P çevresindeki tam açı (360°) çokgenin açısı olmadığından çıkarılır ve yine n · 180° − 360° = (n − 2) · 180° bulunur. Her köşedeki dış açı iç açının bütünleri olduğundan dış açılar toplamı n · 180° − (n − 2) · 180° = 360° olur ve n'ye bağlı değildir. Düzgün n-gende bir dış açı 360°n, bir iç açı 180° − 360°n değerindedir.

Kelebek şekli: İki doğru parçası bir E noktasında kesişip uçları birleştirildiğinde, E'de tepe tepeye iki üçgen oluşur. E'deki açılar ters açılar olduğu için eşittir; her iki üçgenin iç açıları toplamı da 180° olduğundan, iki üçgende kalan açıların toplamları da eşit olmalıdır: a + b = c + d. Ok ucu (içbükey dörtgen): D noktası ABC üçgeninin iç bölgesinde olmak üzere ABDC şeklinde [BD] doğru parçası uzatılıp [AC]'yi E'de kessin. ABE üçgeninde dış açı teoreminden m(BEC) = m(BAC) + m(ABD); DEC üçgeninde ise m(BDC) = m(BEC) + m(ACD) olur. Böylece m(BDC) = m(BAC) + m(ABD) + m(ACD), kısaca x = a + b + c bulunur. Dış açı teoremi iki kez uygulanarak yeni bir kural üretilmiştir.

Beş köşeli yıldız: Yıldızın uç açılarına a, b, c, d, e diyelim. Bir ucu (örneğin a açısını) içeren ve tabanı yıldızın bir kolu üzerinde duran üçgeni ele alalım. Bu üçgenin diğer iki açısının her biri, yıldızın başka bir küçük üçgeninin dış açısıdır; dış açı teoremine göre bu açılar ikişer uç açının toplamına, yani (b + d) ve (c + e) değerlerine eşittir. Üçgenin iç açıları toplamından a + (b + d) + (c + e) = 180° elde edilir: beş köşeli yıldızın uç açıları toplamı her zaman 180°'dir. Bu sonuç, ölçerek doğrulanabilecek ama ancak üçgen özellikleriyle ispatlanabilecek güzel bir genellemedir. Uyarlamanın sınırlarını da değerlendirmek gerekir: köşegenle üçgenlere ayırma yöntemi dışbükey çokgende doğrudan uygulanır; içbükey şekillerde ise yukarıdaki ok ucu örneğindeki gibi ek çizimlerle akıl yürütmek gerekir.

Düzlemdeki her noktayı belirli bir kurala göre tek bir noktaya eşleyen işleme geometrik dönüşüm denir. Dönüşüm altında A noktasının eşlendiği nokta A′ (A üssü) ile gösterilir. Dönüşüm uygulanmadan önceki noktaya veya şekle ön görüntü, dönüşümden sonra elde edilene görüntü denir. Gündelik hayatta dönüşümler her yerdedir: aynadaki aksimiz bir yansımadır, yük asansörünün düz yukarı çıkışı bir ötelemedir, saatin yelkovanı dönmeyi gösterir. Çini, kilim ve Selçuklu taş süslemelerindeki motiflerin kendini tekrar ederek bütün bir yüzeyi kaplaması da bu üç dönüşümün ustaca birleştirilmesiyle oluşur.

Bu hafta inceleyeceğimiz yansıma, öteleme ve dönme dönüşümlerinin ortak özelliği uzunluğu korumalarıdır: herhangi iki nokta arasındaki uzaklık, görüntüleri arasındaki uzaklığa eşittir. Uzaklıkları koruyan dönüşümlere izometri (eşlik dönüşümü) denir. Bir üçgen izometri altında dönüştürüldüğünde üç kenarı da korunur; Kenar-Kenar-Kenar eşliğinden üçgen ile görüntüsü eştir. Bu yüzden açı ölçüleri, çevre ve alan da değişmez; doğrular doğrulara, paralel doğrular paralel doğrulara gönderilir. Bir varsayım kurmak için şeklini aydınger kâğıdına çizip kâğıdı kaydırabilir, ters çevirebilir veya bir raptiye etrafında döndürebilirsin: şeklin boyutunun ve biçiminin hiç değişmediğini görürsün.

Peki hiçbir şey değişmiyor mu? Değişen iki şey vardır: konum ve bazen yönelim. Yönelim, köşelerin A → B → C sırasıyla dolaşıldığında saat yönünde mi yoksa tersinde mi ilerlendiğini anlatır. Öteleme ve dönmede bu dolanım yönü aynı kalır; yansımada ise ters döner, tıpkı aynada sağ elimizin sol el gibi görünmesi gibi. İkinci ayırt edici özellik sabit noktadır: görüntüsü kendisine eşit olan nokta. Yansımada eksen üzerindeki her nokta sabittir, dönmede yalnızca merkez sabittir, sıfırdan farklı bir ötelemede ise hiç sabit nokta yoktur. Bu iki özellik, verilen bir şekil-görüntü çiftine hangi dönüşümün uygulandığını tahmin etmemizi sağlar: yönelim ters ise yansıma; yönelim aynı ve tüm noktalar aynı yönde aynı miktarda kaymışsa öteleme; yönelim aynı ve bir nokta sabit kalmışsa dönme söz konusudur.

Bir A noktasının d doğrusuna göre yansıması, d'ye göre A'nın tam karşısında ve d'ye aynı uzaklıkta bulunan A′ noktasıdır. Daha kesin bir ifadeyle d doğrusu, [AA′] doğru parçasının kenar orta dikmesidir: AA′ ⊥ d olur ve d, [AA′]'yü orta noktasından keser. Burada geçen haftaların üçgen bilgisi devreye girer: kenar orta dikme üzerindeki her P noktası uç noktalara eşit uzaklıktadır, yani |PA| = |PA′| olur. Bu özellik yansımanın uzunluğu koruduğunu doğrulamaya yardım eder. Eksen üzerindeki noktalar yansımada yerinden kıpırdamaz; bunlar yansımanın sabit noktalarıdır.

Koordinat düzleminde yansımaları örüntülerle genelleyebiliriz. A(3, 2) noktasını x eksenine göre yansıttığımızda yatay konum aynı kalır, dikey konum işaret değiştirir: A′(3, −2). Pek çok nokta denendiğinde kural (x, y) → (x, −y) olarak genellenir. Aynı yolla y eksenine göre (x, y) → (−x, y), orijine göre (x, y) → (−x, −y), y = x doğrusuna göre (x, y) → (y, x), y = −x doğrusuna göre (x, y) → (−y, −x) kuralları bulunur. Eksen x = k gibi düşey bir doğru olduğunda eksen, [AA′]'nün orta noktasından geçtiği için x + x′2 = k olur ve görüntü (2k − x, y) çıkar; y = k doğrusu için de görüntü (x, 2k − y) olur.

Öteleme, şeklin bütün noktalarını aynı yönde ve aynı miktarda kaydıran dönüşümdür. (a, b) ötelemesinde her nokta (x, y) → (x + a, y + b) kuralıyla taşınır: a > 0 ise sağa, a < 0 ise sola; b > 0 ise yukarı, b < 0 ise aşağı kayma olur. Örneğin (−4, 1) ötelemesiyle A(3, 2) noktası A′(−1, 3) olur. Ötelemede [AA′], [BB′] ve [CC′] doğru parçaları birbirine eş ve paraleldir; bu yüzden ABB′A′ bir paralelkenar oluşturur. İki öteleme art arda uygulandığında (a, b) ile (c, d) toplanarak tek bir (a + c, b + d) ötelemesi elde edilir; (−a, −b) ötelemesi ise şekli eski yerine geri getirir. Ötelemede yönelim korunur ve (0, 0) dışındaki ötelemelerde hiç sabit nokta yoktur.

O merkezli ve α açılı dönme, her A noktasını |OA| = |OA′| ve m(AOA′) = α olacak şekilde bir A′ noktasına götürür. Dönme yönü belirtilmelidir: matematikte saat ibrelerinin tersi pozitif yön, saat ibreleri yönü negatif yön kabul edilir. Tanım gereği OAA′ üçgeni bir ikizkenar üçgendir; taban açılarının her biri 180° − α2 olur. Böylece üçgen bilgimiz dönmeyi incelemede de iş görür. Orijin etrafındaki dönmeler için örüntü şöyledir: pozitif yönde 90° dönmede (x, y) → (−y, x), 180° dönmede (x, y) → (−x, −y), 270° (yani negatif yönde 90°) dönmede (x, y) → (y, −x); 360° dönme ise her noktayı kendisine götürür. Örneğin A(3, 2) noktası 90° dönmeyle A′(−2, 3) olur ve |OA| = |OA′| = 13 birim olduğu doğrulanır.

Örneklerden önemli genellemeler çıkar. Orijin etrafında 180° dönme ile orijine göre yansıma aynı kuralı verir: (x, y) → (−x, −y). Bir noktayı önce x eksenine, sonra y eksenine göre yansıtırsak (x, y) → (x, −y) → (−x, −y) olur; yani dik kesişen iki eksene göre art arda yansıma 180° dönmeye eşittir. Daha genel olarak iki paralel doğruya göre art arda yansıma bir ötelemedir ve öteleme miktarı doğrular arasındaki uzaklığın iki katıdır: x = 1 ve x = 4 doğrularına göre art arda yansıtmada (x, y) → (2 − x, y) → (8 − (2 − x), y) = (x + 6, y) olur, 6 = 2 · 3'tür. Kesişen iki doğruya göre art arda yansıma ise bir dönmedir ve dönme açısı doğrular arasındaki açının iki katıdır: x ekseni ve y = x doğrusu arasındaki açı 45° olduğundan (x, y) → (x, −y) → (−y, x) ile 90° dönme elde edilir.

Bu genellemeleri karşılaştırarak önermeler kurabiliriz. Tek bir yansıma yönelimi ters çevirir; iki yansıma art arda uygulanınca yönelim iki kez ters dönüp eski hâline gelir. Bu yüzden yönelimi koruyan her izometri (öteleme ve dönme) iki yansımanın birleşimi olarak yazılabilir. Başka bir önerme: bir şekil ile görüntüsünün yönelimi farklıysa, uygulanan tek bir dönüşüm öteleme ya da dönme olamaz. Dönmenin merkezi bilinmiyorsa önermeler yeni çıkarımlar yaptırır: O merkezi hem A ile A′'ye hem B ile B′'ye eşit uzaklıkta olduğundan [AA′] ve [BB′] doğru parçalarının kenar orta dikmelerinin kesişim noktasıdır. Bu, üçgenin çevrel çember merkezini bulurken kullandığımız fikrin dönüşümlere taşınmış hâlidir.